基于課堂教學(xué)的數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)策略研究*

?西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 許則林 高 明

1 問題的提出

數(shù)學(xué)具有重要的價值，數(shù)學(xué)教育在培養(yǎng)各項能力全面發(fā)展的應(yīng)用型、創(chuàng)新型人才中起著不可或缺的作用.數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種方式，也是連接現(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)世界的一座橋梁.數(shù)學(xué)建模是解決現(xiàn)實問題的基本手段之一，在現(xiàn)實生活中占據(jù)重要地位.因此，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力至關(guān)重要，優(yōu)質(zhì)的培養(yǎng)策略會帶來事半功倍的效果.本文中先對中學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的現(xiàn)狀進(jìn)行分析，再結(jié)合新人教版高中數(shù)學(xué)教材與課堂教學(xué)，給出培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的策略.

2 中學(xué)生數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)現(xiàn)狀

將數(shù)學(xué)建模納入高中數(shù)學(xué)課程并不是最近幾年才提出的，它已有著將近20年的歷史，但數(shù)學(xué)建模課程的實施卻一直存在很多問題.主要表現(xiàn)在以下幾個方面：一是學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識薄弱，在面對現(xiàn)實問題時，無從下手；二是對數(shù)學(xué)建模流程不熟悉，沒有數(shù)學(xué)建模的經(jīng)驗；三是學(xué)生模型選擇的能力弱，在建模時不知道如何選擇合適的數(shù)學(xué)模型；四是學(xué)生計算能力較弱，在求解數(shù)學(xué)模型時，無法下筆.

3 數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)策略

3.1 在例題講解中滲透建模思想，增強(qiáng)建模意識

例題是教師向?qū)W生示范解題技巧，傳遞知識的重要橋梁.新教材中有關(guān)數(shù)學(xué)建模的例題數(shù)量，相對于舊教材來說提高了百分之四，這些例題往往都與現(xiàn)實生活相聯(lián)系，涉及物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)等方方面面.教師可以利用這些例題，在講解的過程中逐漸向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)建模思想.接下來，筆者結(jié)合圖1中的例題進(jìn)行簡述.

圖1

首先可以讓學(xué)生思考如何建立三種投資方案所對應(yīng)的函數(shù)模型.通過分析題干，易知方案一可以采用常函數(shù)，方案二可以采用一次函數(shù)，方案三可以采用指數(shù)函數(shù).接下來指導(dǎo)學(xué)生用計算機(jī)畫出三個函數(shù)的圖象并制作累計收益的表格.通過分析圖象與表格可知：投資1～6天，可以選擇方案一；投資7天，可以選擇方案一或方案二；投資8～10天，可以選擇方案二；投資11天(含11天)可以選擇方案三.

該例題貼合生活實際，符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ).通過對該例題的講解，可以讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)建模的實用性，明白數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實生活，最終也要為現(xiàn)實服務(wù).其實，在教材中還有很多類似的例題，如必修一第三章的個人所得稅問題、煙花高度問題，第四章第四節(jié)(對數(shù)函數(shù))中溶液濃度的測量問題，第五章第七節(jié)中彈簧振幅問題和交變電流問題，等等.在講解這些例題的時候，既要講解題技巧和方法，也要著重介紹例題的現(xiàn)實背景.這能增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的意識，讓學(xué)生能夠在今后的生活中學(xué)會用從數(shù)學(xué)建模的視角看待世界，有意識地去發(fā)現(xiàn)和提出問題，體會現(xiàn)實與數(shù)學(xué)之間的關(guān)聯(lián)性.

3.2 開展小組探究活動，熟悉數(shù)學(xué)建模流程

當(dāng)擁有數(shù)學(xué)建模意識之后，學(xué)生雖然學(xué)會了從數(shù)學(xué)的視角去看待問題，但并不一定能夠獨(dú)立地用數(shù)學(xué)的手段去解決實際問題.究其原因，是他們對數(shù)學(xué)建模的流程還不熟悉，沒有積累起數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗.為了讓學(xué)生能夠清晰地理解數(shù)學(xué)建模的每一個步驟的實施過程.教師可以專門用幾節(jié)課來開展數(shù)學(xué)建模的專題學(xué)習(xí)，在課上通過共同探究實際案例來讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的流程，接著再對數(shù)學(xué)建模的每個流程進(jìn)行系統(tǒng)講解.在熟悉數(shù)學(xué)建模流程后，可以通過小組合作學(xué)習(xí)的方式讓學(xué)生共同解決一個生活實際問題.新教材數(shù)學(xué)必修一中專門給出了一個數(shù)學(xué)建?；顒拥膶嵗?，這個問題是這樣的：某種綠茶需要用85 ℃的熱水沖泡，當(dāng)茶水溫度降至60 ℃時飲用口感最佳，當(dāng)天室內(nèi)氣溫為25 ℃，那么剛沖泡的綠茶大約要放置多長時間才能達(dá)到最佳飲用口感？教師可以將學(xué)生分成幾個小組，每個小組五名成員.在小組內(nèi)，再確定一名課題負(fù)責(zé)人，讓每位同學(xué)都有明確的分工.拿到這個問題后，各個小組對該問題進(jìn)行了討論.大家一致認(rèn)為：“茶水的溫度是隨著時間的變化而變化的，即茶水溫度是關(guān)于時間的函數(shù).”但是有學(xué)生提出了自己的疑惑：“既然茶水溫度是關(guān)于時間的函數(shù)，那么函數(shù)模型又該如何選取？”有學(xué)生認(rèn)為：“可以先收集茶水隨溫度變化的數(shù)據(jù)，再畫出圖象.分析曲線的變化規(guī)律，選取適合圖象的函數(shù)模型”.受到該學(xué)生的啟發(fā)，大家開始分工合作.在一個小組內(nèi)，一名學(xué)生通過計時器和溫度計等工具收集數(shù)據(jù)，其他同學(xué)在對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上畫出了圖象，建立了合適的函數(shù)模型并對模型進(jìn)行檢驗，最后將數(shù)據(jù)代入模型中進(jìn)行計算求解，獲得答案.在這一系列的數(shù)學(xué)建模過程，雖然有些組選取的模型不同，但他們最終都算得沖泡一杯口感最佳的茶水所需時間大約是7分鐘.在求解得到最終答案后，每個小組還需要對答案進(jìn)行檢驗.

通過以上的小組探究活動，學(xué)生不僅熟悉了數(shù)學(xué)建模的流程，提升了數(shù)學(xué)建模能力，同時也培養(yǎng)了合作交流能力，提升了自主學(xué)習(xí)能力.

3.3 教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生模型選擇的能力

在數(shù)學(xué)建模的過程中想要快速地選擇合適的數(shù)學(xué)模型，必須體會解決問題的過程中所需要用到的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想方法是一般思想方法在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的具體應(yīng)用，它既包含了層次分析法、線性規(guī)劃、回歸分析等統(tǒng)計方法，也包含了數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.學(xué)生只有在掌握了某種數(shù)學(xué)思想方法的前提下，才有可能會運(yùn)用這種思想方法，因此他們的頭腦中必須儲備一定量的數(shù)學(xué)方法.教師在日常的課堂教學(xué)中，可以向?qū)W生滲透有關(guān)數(shù)學(xué)建模的具體思想方法.例如，在講“分段函數(shù)”時，教師需要著重滲透分類討論與數(shù)形結(jié)合思想.在這一節(jié)中，有這樣一道練習(xí)題：某城市對居民生活用水實行“階梯水價”，不超過12 m3的部分，水價為3元/m3.超過12 m3但不超過18 m3的部分，水價為6元/m3.超過18 m3的部分，水價為9元/m3.若某用戶本月繳納水費(fèi)48元，求該用戶本月用水量.

顯而易見，要想解決這個問題，學(xué)生需要具備分類討論與數(shù)形結(jié)合思想.只有積累了這些數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生才能自然想到選取分段函數(shù)作為數(shù)學(xué)模型，畫出不同區(qū)間段上的函數(shù)圖象，再結(jié)合圖象進(jìn)行討論求解.對于“統(tǒng)計”這一章節(jié)中，求父子身高相關(guān)度等問題，可以向?qū)W生介紹線性規(guī)劃的方法.對于涉及求最短路徑、最長路徑等問題，可以向?qū)W生講解層次分析法.當(dāng)學(xué)生再次遇到類似的數(shù)學(xué)問題時，他們自然而然就能將這些數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行遷移并應(yīng)用，進(jìn)而選擇到合適的數(shù)學(xué)模型.

3.4 建模后及時交流討論，培養(yǎng)學(xué)生模型檢驗?zāi)芰?/h3>

當(dāng)學(xué)生完成數(shù)學(xué)建模的全部流程后，教師還可以與學(xué)生一起對建模的過程與結(jié)果進(jìn)行總結(jié)與反思.教師可以要求每個小組撰寫一份研究報告，并派一名代表在課堂上展示研究成果.接下來教師可以與學(xué)生一起對建模步驟、建模結(jié)果展開交流，提出質(zhì)疑并進(jìn)行辯論，開展教師評價、學(xué)生自評和學(xué)生互評.例如，在教完“解三角形”這一章后，可以向?qū)W生呈現(xiàn)這樣一道問題：在可以自己選擇工具的情況下，你能想到用什么方法測量廣州電視塔的高度？

由于剛學(xué)完解三角形的知識，有些學(xué)生想到了可以利用正弦定理轉(zhuǎn)化邊角關(guān)系，提出：“可以選擇一根長度已知的竹竿，先將竹竿垂直豎立在點A處，竹竿的另一端點為點B，測出A,B兩點與塔頂?shù)难鼋?，結(jié)合上面的條件，再利用正弦定理和正切函數(shù)可以算出塔的高度.”還有部分學(xué)生結(jié)合所學(xué)的物理知識，提出：“可以選擇一個鐵球和計時器作為測量工具，將小球從塔頂扔下，讓小球做自由落體運(yùn)動，測出下落時間，算出的下落高度即為塔高.”還有學(xué)生想到了相似三角形的知識，提出：“可以選擇竹竿和卷尺作為測量工具，測出竹竿的長度、竹竿影子的長度和塔的影子的長度，再結(jié)合相似三角形對應(yīng)邊成比例算出塔高.”有些學(xué)生還想到了海拔升高，對應(yīng)的氣溫和氣壓會發(fā)生變化，可以利用溫度計和氣壓表測出塔頂?shù)臏囟群蜌鈮海龠x擇合適的函數(shù)模型算出塔高.

這是一道開放性的題目，切合生活實際.學(xué)生提出了很多方法，教師可以與學(xué)生一起對這些方法進(jìn)行評價反思，探討這些方法的可行性、操作的難易程度等.經(jīng)歷數(shù)學(xué)建?；顒拥慕涣饔懻摵?，學(xué)生的數(shù)學(xué)模型檢驗?zāi)芰Φ玫搅颂嵘?在交流中，學(xué)生能夠相互借鑒、取長補(bǔ)短，數(shù)學(xué)建模能力最終也在不斷提升.

4 結(jié)束語

數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)是一個長期的過程，在課前要對數(shù)學(xué)建?；顒舆M(jìn)行精心設(shè)計，在課中要有意識地滲透數(shù)學(xué)建模思想，在完成數(shù)學(xué)建?；顒雍笠皶r交流討論.數(shù)學(xué)建模是學(xué)習(xí)的一種方式，可以提升自我.數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)也符合社會對人才培養(yǎng)的期望，通過數(shù)學(xué)建模，個體最終能夠達(dá)到自我價值與社會價值的雙重實現(xiàn).