借助概率統(tǒng)計知識，科學(xué)決策開放性問題

?甘肅省武山縣第一高級中學(xué) 馬青湖

借助概率、統(tǒng)計中的相關(guān)知識，科學(xué)決策現(xiàn)實生活中的開放性問題，是近年高考中比較常見的一類創(chuàng)新性應(yīng)用問題.此類開放性決策問題，要用數(shù)據(jù)說話，根據(jù)相應(yīng)的數(shù)據(jù)支撐，計算事件發(fā)生的概率或者均值等數(shù)據(jù)；同時表達要準確，開放性決策的理由陳述不能偏離主旨，要加以合理科學(xué)決策.

1 根據(jù)概率合理決策

例1(2021屆山東省德州市高三一模數(shù)學(xué)試題)2021年春晚首次采用“云”傳播，“云”互動形式，實現(xiàn)隔空連線心意相通，全球華人心連心“云團圓”，共享新春氛圍，“云課堂”亦是一種真正完全突破時空限制的全方位互動性學(xué)習(xí)模式.某市隨機抽取200人對“云課堂”倡議的了解情況進行了問卷調(diào)查，記Y表示了解，N表示不了解，統(tǒng)計結(jié)果如表1，2所示：

表1

(1)請根據(jù)所提供的數(shù)據(jù)，完成上面的2×2列聯(lián)表(表2)，并判斷是否有99%的把握認為對“云課堂”倡議的了解情況與性別有關(guān)系；

表2

(2)用樣本估計總體，將頻率視為概率，在男性市民和女性市民中各隨機抽取4人，記“4名男性中恰有3人了解云課堂倡議”的概率為P1，“4名女性中恰有3人了解云課堂倡議”的概率為P2.試求出P1與P2，并判斷二者哪個更優(yōu)秀.

附：臨界值參考表及參考公式：

P(K2≥K0)0.100.050.0250.0100.0050.001K02.7063.8415.0246.6357.87910.828

解析：(1)列聯(lián)表的填寫結(jié)果如表3.

表3

對照臨界值表知，有99%的把握認為對“云課堂”倡議了解情況與性別有關(guān)系.

顯然P1>P2，第一種更優(yōu)秀.

點評：借助概率合理決策實際應(yīng)用問題，根據(jù)不同問題所對應(yīng)的事件概率的求解，借助代數(shù)運算，利用概率大小的比較與分析，作出合理科學(xué)的決策.

2 根據(jù)樣本估計合理決策

例2數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖1中，折線圖是某公司從2010年到2019年這10年研發(fā)投入占當年總營收的百分比，條形圖是當年研發(fā)投入的確切數(shù)值(單位：億元).

圖1

(1)從2010年至2019年中隨機選取兩個年份，設(shè)X表示其中研發(fā)投入超過500億元的年份的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)據(jù)統(tǒng)計圖中的信息，結(jié)合統(tǒng)計學(xué)知識，判斷該公司在發(fā)展過程中是否重視研發(fā)投入，并說明理由.

所以X的分布列為：

X012P295929

(2)從兩個方面可以看出，該公司是比較重視研發(fā)投入的：

①從2010年至2019年，每年的研發(fā)投入是逐年增加的(2018年除外)，并且增加的幅度總體上逐漸加大；

②研發(fā)投入占當年總營收的比例總體上也是逐漸增加的，雖然2015年以后有些波動，但是總體占比還是較高的.

點評：借助樣本估計合理決策實際應(yīng)用問題.通過樣本的平均值、眾數(shù)、中位數(shù)等數(shù)據(jù)信息的運算,或利用圖表信息，直觀、合理比較，科學(xué)決策.

3 根據(jù)期望方差合理決策

例3[2021屆山東省淄博市高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量摸底檢測(零模)數(shù)學(xué)試題]某商場在“雙十二”進行促銷活動，現(xiàn)有甲、乙兩個盒子，甲盒中有3紅2白共5個小球，乙盒中有1紅4白共5個小球，這些小球除顏色外完全相同.有兩種活動規(guī)則：

規(guī)則一：顧客先從甲盒中隨機摸取一個小球，從第二次摸球起，若前一次摸到紅球，則還從該盒中摸取一個球，若前一次摸到白球，則從另一個盒中摸取一個球，每摸出1個紅球獎勵100元，每個顧客只有3次摸球機會(每次摸球都不放回)；

規(guī)則二：顧客先從甲盒中隨機摸取一個小球，從第二次摸球起，若前一次摸到紅球，則要從甲盒中摸球一個，若前一次摸到白球，則要從乙盒中摸球一個，每摸出1個紅球獎勵100元，每個顧客只有3次摸球機會(每次摸球都不放回).

(1)按照“規(guī)則一”，求一名顧客摸球獲獎勵金額的數(shù)學(xué)期望；

(2)請問顧客選擇哪種規(guī)則進行抽獎更有利，并說明理由.

隨機變量X的分布列為：

X0123P22514251350110

(2)若選規(guī)則二，設(shè)顧客經(jīng)過3次摸球后摸取的紅球個數(shù)為Y，則Y可以取0，1，2，3，有

隨機變量Y的分布列為：

X0123P6251750825110

因為E(100X)>E(100Y)，所以選擇規(guī)則一更有利.

點評：根據(jù)實際問題合理選擇，利用問題中數(shù)學(xué)期望最大(或最小)的方案作為最優(yōu)決策方案，在數(shù)學(xué)期望相同的情況下，則進一步選擇方差值最小(或最大)的方案作為最優(yōu)決策方案.

借助概率統(tǒng)計知識，在解決日常生活、社會活動和經(jīng)濟活動等中的開放性應(yīng)用問題時，選擇科學(xué)的最佳的決策方案，體現(xiàn)創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).