高考數學中的“本手”“妙手”“俗手”
——2022年新高考Ⅰ卷數學試卷分析

?湖北襄陽市第二中學 戴 輝

作為“雙減”后的高考數學Ⅰ卷，因其題型新、難度高、計算量大，充滿挑戰而久居熱搜.但這些“超難”的數學命題卻符合“雙減”背景下以能力立意的命題原則，符合新課標數學核心素養培養方向，回歸數學基本定義，強調用數學語言表達問題，用數學思維解決問題，提升學生綜合素質，達到選拔人才的目的.

1 重在“本手”之基礎能力考查

試題回歸數學考綱本源，主要考查基本概念、常見方法、傳統考點.三角函數部分主要考查三角函數的圖象性質、解三角形(6，18)；數列部分主要考查數列的性質、數列求通項、數列求和(17)；立體幾何主要考查空間幾何體的位置關系、求角、求各種距離及八大定理(4，8，9，19)；圓錐曲線主要考查求圓錐曲線的方程、定義、直線和曲線的位置關系(11，14，16，21)；概率統計主要考查計數原理、條件概率、數字特征及統計分析(5，13，20)；導數主要考查構造函數、導函數與單調性、應用導數研究函數(7，10，12，15，22).

從學科整體意義和思想價值立意，注重通性通法，淡化特殊技巧,有效檢測考生對中學數學知識中所蘊涵的數學思維和方法的掌握程度.

回歸數學思想本源.試題考查綜合運用各種數學思想的能力，試卷貫穿對函數與方程思想(6，8，12，15，16，21)、數形結合思想(3，4，8，9，10，11，12，14，16，19，21，22)、分類討論思想(5，8，13，14，22)、化歸與整合思想(8，12，17，18，22)以及思維能力、運算能力、空間想象能力、實踐能力與創新意識等全方位的考查.

重視數學抽象符號和數學推理的考查.數學符號是對數學問題的抽象和概括，提高數學抽象符號的理解運算能力,才能加深對數學問題本質的理解.第12題要求學生在抽象函數的背景下，理解函數的奇偶性、對稱性、導數的概念以及它們之間的聯系，對數學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養都有較高要求，對抽象數學符號思維的考查也很深入.第20題用條件概率證明也是較復雜的抽象字母的運算，考查學生后續學習數學的能力.

2 貴在“妙手”之命題“三增三減”

2.1 一增“思考量”減“刷題量”

根據數學學科特點和選拔功能的需要，試題的難度設計有層次性，在思維的靈活性和深刻性，方法的綜合性、探究性等方面科學把握試題的思維深度，要求學生具備解決較復雜問題的綜合素養和關鍵能力，體現高考數學的選拔功能.

第7題極具挑戰性.如果用函數與導數的思路求解，需要學生有很強的觀察能力和構造函數的能力.如果用二項式定理展開式求解，也需要學生的觀察力和思維能力以及對放縮法和估算法的靈活運用.如果用泰勒公式估算，要求學生深入鉆研課本上的習題并加以拓展或者有競賽功底.第12小題考查學生抽象思維能力，需要學生有較強的邏輯思維能力，若缺乏對函數及導數本質內涵的理解，則刷再多的題也是白搭.第14小題，要求學生寫出一條直線方程，為不同層次的考生給了不同層次的思維空間，對知識之間的聯系、直觀想象素養、數形結合思想作了深入的考查，鼓勵學生運用創造性、發散性思維分析和解決問題，考查思維的靈活性和深刻性，具有很好的區分度.解答題17題把構造數列、用疊乘法求通項和用裂項法求和數列的三個難點糅合在一起，每一步都需要學生思考透徹，形成閉環式知識系統.解答題20題考查學生對條件概率定義的理解及代數的證明，回歸數學本質，考查學生數學素養.

2.2 二增“新題型”減“套路題”

試題突出對學科基本概念、基本原理的考查，強調知識之間的內在聯系，引導學生形成學科知識系統.多知識點綜合考查的題目增多.第12題對數學符號的理解、函數與導數的關系、偶函數的定義、圖象的平移、函數圖象的對稱問題都作了深刻的考查，體現知識的相互交匯融合，要求學生有一定的數學思維素養和綜合解題能力.第20題考查運用條件概率的公式進行證明，對數學抽象符號的理解及代數證明題有很高要求.第17題考查了構造法求數列、疊乘法求通項、裂項求和，一道題把數列主要的知識揉在一起，強調知識的內在聯系，引導學生建立知識體系.第18題把倍角、半角公式與用正、余弦定理解三角形組合在一起，是一種全新組合.第19題一改傳統第一問用“八大定理”來證明線線、線面、面面的平行和垂直的關系，而是求點到面的距離，考查學生的應變能力.第20題以現實生活中的醫療衛生為例，關注數學運用，設計統計概率應用題，考查學生對獨立性檢驗、條件概率定義的理解，考查代數證明，改變以往主要對運算的考查，引導師生重視實驗和數學運用，特別是回歸數學定義的考查，都是減少套路的新穎題型，極具創新.總之，每一道大題無論從知識的交叉考查力度、難易的坡度，還是試題的樣式都煥然一新.

2.3 三增“重點內容”減“面面俱到”

從數學知識面上看，重點知識重點考.其中第7，10，12，15，22題全部考查導數知識，共計32分.高中導數內容是聯系中學數學與高等數學的紐帶,是整個微積分學中的基礎部分，也是最重要的部分，有助于考查學生進入高校繼續學習的能力.第5，14，20題考查統計，計20分.在當今信息時代，概率統計知識在科學研究、工程技術、人文社會科學以及經濟生活中的作用越來越重要，高中的概率與統計知識是大學學習概率論與統計論的基礎.第11，14，16，21題考查解析幾何，計27分.考查了直線與圓、橢圓、雙曲線、拋物線的知識，重點考查學生用代數方法研究幾何問題的能力.第16小題以橢圓為載體，考查解析幾何中的“設而不求”法以及橢圓的第一定義；用弦長公式，思路常規，但運算量大；如果用焦點弦坐標公式，運算量小，但思維靈活性高；用橢圓的焦點弦傾斜角公式來求是最快的，但只有那些特別善于鉆研的學生才知道這個公式.第4，8，9，19題考查立體幾何，計27分.重點考查學生的空間想象能力.第9題考查線線角及線面角，選取正方體的對角線以及對角面這些代表性的幾何元素，考查基本點、線、面的關系，八大定理的證明以及三種角的計算能力.

3 規避“俗手”之妙招

3.1 “運算量大”的應對妙招

第7，8，11，12，15，16小題均涉及大量運算，第21題連續兩問都需要大量計算.第11，16，21三道解析幾何題更是把運算考到極致，運算耗去太多時間，并且這三題有重復計算的嫌疑.比如第16題大部分學生只會想到用弦長公式求解，而用弦長公式就要求將直線與橢圓方程聯立再用韋達定理計算，這樣一個填空題就變成一道大題的運算量，短時間內根本無法算出，就算算出來了，也變相擠占了解其他題的時間；同時這個運算和21題的直線和雙曲線方程聯立用韋達定理計算明顯是重復的.大多數學生做不完試卷.應對大題妙招，首先預估計算量，選擇最優解題法：轉化條件→選定主元→代入運算.而每一步都需要掌握多種方法和技巧，練好本手，提高效率.應對小題妙招，拓寬知識面，挖掘常見的二級結論.比如第16小題用焦點弦傾斜角公式最快.

3.2 “坡度大辨識度小”的應對妙招

第7小題是導數壓軸題的難度，放在此位置，“坡度”有些陡.第8小題運算量大.填空題基本沒有送分題.第17，18題，以往是“送分題”或分步送分，但今年考生得分要么零分，要么滿分.應對妙招：全面理解，吃透原理，避免死記硬背、刷題突擊，提升分析推理能力以及靈活運用多個知識點綜合解決問題能力.

3.3 “難度大區分度小”的應對妙招

整個試卷逐題看，不是特別難，但是把較多中偏難題放在一起，感覺學了三年數學就像沒有學習一樣.應對妙招是科學合理安排答題順序、培養應考心態.改變學習方式，不僅學會，更要會用；不僅要練，更會復盤，從多個角度分析思考問題.

求木之長者必固其根本，欲流之遠者必浚其泉源，練好本手、方得妙手.思維量大，僅僅靠“刷題”不行；運算量大，盲目“刷題”亦不行.規避俗手方法:只有立足基本功，回歸數學本質，融會貫通，培養學生抽象邏輯思維能力、計算能力，提高空間想象能力，隨機應變，夯實綜合運用數學思想解決問題的能力，轉變應試思想，才是高考備考必須具備的新思路.