一堂“均值與方差的實際應用”課的選題立意

?江蘇省無錫市青山高級中學 魏 慧

1 背景

高中數學課程內容突出函數、幾何與代數、概率與統計、數學建?；顒优c數學探究活動四條主線，而且數學建模活動中也包括概率與統計的應用，所以“概率與統計”在高中數學課程中的地位更高了.高考中概率統計內容的考查試題富有時代氣息，基于生產、生活、科研等背景，展現“互聯網+”大數據時代特色.通過創設源于社會生活中的真實情境，注重學生解決實際問題的能力，以此考查學生的閱讀、識圖、計算、表達等能力，以及數學建模、數據分析、數學運算等核心素養.

為了更清楚地了解概率與統計在全國卷中的考查情況，筆者統計了近七年全國卷中概率統計大題考查位置和具體方向.筆者發現其中均值與方差部分的考查頻繁，并對此類問題進行了研究歸納，然后以此為方向在一次無錫市級公開課中執教的一節高三二輪復習研討課“均值與方差在實際問題中的應用”，獲得了專家好評.下面對本節課的選題立意作出整理和說明，希望得到同行和專家的指正.

2 例題及選題立意

例1(2017年全國Ⅱ卷)養殖場進行水產品的新、舊養殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100個網箱，測量各箱水產品的產量(單位：kg),其頻率分布直方圖如圖1與圖2：

圖1 舊養殖法

圖2 新養殖法

請根據頻率分布直方圖，對這兩種養殖方法的優劣進行比較.

方法二：通過觀察兩種養殖法下水箱的產量頻率分布直方圖可以看出，舊養殖法下每箱均產量在45～50 kg，新養殖法下每箱均產量在50～55 kg，而且新養殖法比舊養殖法分布更集中.說明新養殖法產量高且穩定.

題目特點：產量信息統計以頻率分布直方圖呈現，直觀明了，但是數據多不利于計算；問題較含蓄，比較優劣的維度需要選擇.

選題立意：(1)關于均值和方差的比較，常規方向是選擇計算，因此學生容易產生慣性思維.其實還有一個方向，那就是在不需要具體數據的前提下，如果頻率分布兩邊較對稱，可以大致看出產量的均值和集中程度.

(2)這是一個半開放式問題，學生不但要會做題，還要會表達.新課程標準提出要培養學生會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，也要會用數學的語言表達世界.

(3)這是一道較為簡單的均值、方差公式運用問題，為例2作鋪墊.

解析：設方案一的日薪為X，則X=152,154,156,158,160，可得

E(X)=152×0.2+154×0.3+156×0.2+158×0.2+160×0.1=155.4(元).

設方案二的日薪為Y，則Y=140,152,176,200,可得E(Y)=140×0.5+152×0.2+176×0.2+200×0.1=155.6(元).

又發現方案一日薪的分布比方案二更集中，說明方案一的收入更穩定.

回答一：雖然方案二日薪均值相對略高，但與方案一的差距很小，且方案二的方差遠大于方案一，說明波動性大，風險大，所以選擇方案一.

回答二：方案二日薪均值較高，故選擇方案二.

題目特點：題目篇幅較長信息數據多；問題委婉，決策標準需要選擇.

選題立意：(1)解答本題既要會閱讀圖表語言也要會閱讀文字語言、符號語言，如果沒有相應的知識作為基礎，讀起來晦澀難懂，無法抓住題目的有效信息和關鍵.

(2)需要整合數據.數據信息多、亂、雜，需要學生分析材料，準確找出材料中的關鍵信息，并結合所有核心信息選擇合適的方法重新整合.

(3)匹配數學模型.能聯想學過的數學知識和數學模型，進行融合，得出解決策略.

(4)數據分析.決策性問題的結論需要數據又不完全依賴數據.本題中兩個方案的均值非常接近，但當決策者要求不同，可能會有不一樣的決策方案.

例3新能源汽車技術日益成熟，產品越來越受到大家歡迎.某新能源汽車在A地預售，預售場面異?；鸨?，所以經銷商決定采用競價策略，規則如下：(1)競價者網絡報價，不知道其他競價者的報價和參與競價的總人數；(2)當月競價時間截止后，系統根據當期汽車配額，按照競價人的出價從高到低分配名額.某市場調研機構利用回歸分析預測了今年11月份擬參加競價的人數為2萬,并對其中200位競價人員的報價進行了抽樣調查，得到如下表的頻數表：

報價區間/萬元[6,8)[8,10)[10,12)頻數206060報價區間/萬元[12,14)[14,16)[16,18)頻數302010

易得s2=6.8，且x～N(11,6.8).

設最低成交價為x0(x0≥μ),則

又P(μ-σ

故今年11月份預測的最低成交價為13.6萬元.

題目特點：問題背景新潮實際，題目篇幅長、信息數據多；正態分布的均值與方差的應用.

選題立意：(1)本題以統計思想為引導，從統計角度求得概率，讓概率為統計服務，考查樣本估計總體的思想，體現了數學的應用價值.

(2)本題是例1和例2用均值和方差作為決策依據的延伸，考查等價轉換和數形結合思想.

(3)考查正態分布的含義.

3 教學反思

有關概率統計應用部分的教學選題，要側重關注以下三個方面：

(1)關注閱讀，培養讀功

高考越來越重視對數學閱讀能力的考查.理解數學語言是數學閱讀的核心問題，需加強三種類型數學語言的閱讀：一是圖表語言；二是實際生活語言；三是復雜的數學關系.培養學生在短時間內用統計的眼光閱讀材料，整合數據，進而解決問題的能力.

(2)關注運算，培養算功

從課標卷來看，概率計算問題，既注重計算概率的基本根據——計數原理的應用，更注重從統計的觀點來計算概率，尤其在統計與概率的解答題中體現地淋漓盡致，是新課標理念的極致體現.一方面要加強必備知識和主線核心內容，熟練使用公式和常用數學模型，注意運算技巧；另一方面也要關注統計圖表的本質，在一些決策問題上能多想一點、少算一點.

(3)關注表達，培養說功

增加對數據解釋的開放性，包容多種解釋，學生只要給出一種解釋，或者其他合理的解釋都可以.鼓勵學生創造性地回答問題，體會評價的滿意原則和加分原則.培養學生用統計語言去表達實際問題和形成決策知識的能力，體現統計的應用價值.