在高中數學課堂教學中發展學生核心素養

?廣州市海珠區教育發展研究院 王桂芹

《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出：數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的.數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.這些核心素養既相對獨立、又相互交融，是一個有機的整體[1].

可以說，抓住核心素養就等于抓住了新課程的“鼻子”.下面筆者就如何在課堂教學中發展學生數學學科核心素養談幾點自己的學習和思考.

1 教學目標的制定要突出數學學科核心素養

教師在進行教學設計與教學目標的制定時，要充分關注學生數學核心素養的發展.首先，要充分思考本節課、本主題中蘊含了哪些核心素養，將其“孕育點、生長點”挖掘出來；其次，要思考將核心素養的“孕育點、生長點”融入教學內容和教學過程的載體及教學策略，思考如何通過教學活動潛移默化地讓核心素養在學生的思考和行為方式中生根、發芽、成長.

案例1人教A版高中數學(必修第一冊)第五章“5.2.1三角函數的概念”教學目標及目標解析.

教學目標：

(1)通過實例，了解三角函數的背景，體會三角函數與現實世界的密切聯系；

(2)經歷三角函數概念的建構過程，理解任意角三角函數(正弦、余弦、正切)的定義，發展數學抽象、數學建模的核心素養.

(3)能根據定義求特殊角的三角函數值,發展數學運算素養.

達成上述目標的標志：

(1)學生在經歷“周期現象—勻速圓周運動—單位圓上影響點的坐標因素分析”的探索中理解點的橫、縱坐標與角的對應關系是函數關系，這種函數關系定義為三角函數，學生數學抽象、數學建模素養得到發展.

(2)能體會到勻速圓周運動是“周而復始”變化現象的幾何模型，三角函數是刻畫現實世界中“周而復始”變化規律的代數模型.

(3)能根據定義求給定角的三角函數值,數學運算素養得到發展.

評析：本節課教學目標明確了核心素養的“孕育點、生長點”在三角函數概念的建構過程中,所以要設計恰當的數學活動，讓學生在求特殊角的三角函數值的過程中經歷三角函數概念的建構過程,而不是教師直接講給學生聽；要讓學生根據定義自己計算,而不能教師算,學生看.

2 恰當的情境創設和問題設計

數學學科核心素養的發展不是在單一的情境下就能實現的,通常是在綜合化、復雜化的情境中，通過個體與情境的有效互動生成的，可見核心素養的形成與情境有著密不可分的關系.創設恰當的情境與問題,教師要做到以下幾點：

(1)突出數學本質.創設情境時，要抓住數學的本質，圍繞要建構的核心概念、原理和要解決的問題及其思維方式創設情境、提出問題.

(2)創設的情境要合適.結合教學任務設計符合學生認知范圍、認知能力、年齡特點的情境和問題，包括現實的、數學的、科學的情境和問題.

(3)創設情境和提出問題需要較高的專業素養，比較寬闊的知識視野，教師需要不斷提升自身的專業水平和綜合素養，了解數學與生活、數學與其他學科的聯系.

案例2人教A版高中數學(選擇性必修第二冊)第五章“5.1.1變化率問題”.

問題1在一次跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數關系：h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何描述運動員從起跳到入水的過程中運動的快慢程度呢？

(1)運動員在這段時間內是靜止的嗎？

(2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎？

探究1瞬時速度與平均速度有什么關系?你能利用這種關系求運動員在t=1 s,2 s時的瞬時速度嗎?

思考:如何求運動員從起跳到入水過程中在某一時刻t0的瞬時速度?

問題2我們知道，如果一條直線與一個圓只有一個公共點，那么這條直線與該圓相切.對于一般的曲線C，如何確定它的切線呢？下面我們以拋物線y=x2為例進行研究.

探究2你認為應該如何定義拋物線y=x2在點P0(1,1)處的切線？

探究3我們知道,斜率是確定直線的一個要素,如何求拋物線y=x2在點P0(1,1)處切線的斜率呢?

評析：本節課的情境創設和問題設計讓學生充分經歷用平均速度“逼近”瞬時速度的過程，理解瞬時速度就是平均速度的極限;充分經歷曲線上經過某點處的割線斜率“無限趨近于”該點處切線斜率的過程，加深學生對運動變化觀點的理解，體會極限思想.發展學生數學抽象、邏輯推理、直觀想象和數學運算核心素養的同時,導數概念的建構便也水到渠成.

3 指導學生學會學習

在課堂教學中，教師要根據不同的內容和學習任務，在教學的重點和關鍵環節，采用恰當的教學策略，設計切實可行的數學活動，讓學生充分經歷、參與和體會用數學的思維、語言、眼光解決問題的方法途徑，促進學生學會學習.

3.1 讓學生經歷構建概念、發現原理的過程

數學概念是反映一類事物在數量關系和空間形式方面本質屬性的思維形式，是現實世界的數量關系和空間形式的簡明、概括的反映，是具體性與抽象性的辯證統一，是過程與對象的統一，是數學學習的基礎.數學原理包括數學法則、公式、定理等,一般由若干概念組成.學生理解和掌握概念的過程就是掌握同類事物的共同、本質屬性,正確形成數學概念的內涵與外延的過程,數學原理的學習實際上是數學概念之間關系的學習.

案例3人教A版高中數學(必修第一冊)第四章“4.3.1對數的概念”.

(1)創設情境，引入新知

師生活動：(1)抽象出三個方程的共同結構，形如ax=N(a>0且a≠1)的式子稱之為指數式，明確每個字母的名稱；(2這三個方程都是已知了什么？求什么？你會解嗎？

(2)引導探索，形成概念

問題2對于方程2x=3，x存在嗎？為什么？

師生活動：①通過畫圖發現方程中的x存在且唯一；②既然x存在且唯一，如何表示這個數呢？③引入對數符號，2x=3?x=log23.

問題3對于等式ax=N(a>0，且a≠1)，如何表示這里的x？

師生活動：①學生模仿2x=3?x=log23，寫出ax=N?x=logaN(a>0，且a≠1)；②教師給出對數的定義，書寫格式，讀法，與指數式對比字母名稱的變化，理解指數式與對數式的等價關系等.

評析：本案例由學生熟知的指數方程提出問題，產生認知沖突，進而通過恰當的數學活動引入對數概念，讓學生經歷對數概念的自然產生過程.活動設計簡潔、流暢，由特殊到一般，由具體到抽象，發展了學生的數學抽象素養.

3.2 設計適當的探究活動

所謂的問題就是人們在做某件事情時所面臨的困境、需要解決的疑難.數學問題不僅包括教科書上的問題，也包括那些來自實際的問題；不僅包括能夠確定解決這些問題的程序以及實施這個程序的一般步驟的問題，也包括非常規問題；不僅包括條件充分、結論確定的問題，也包括條件不充分、結論不確定的問題.在教學過程中，我們常常碰到一個個需要解決的問題，這時，是教師直接講給學生聽，還是讓學生在活動中自己發現、自己提出、自己分析、自己解決，這是兩種截然不同的教學理念.顯然，前一種是應該摒棄的，后一種是應該提倡的.怎樣把活動設計得合理、恰當，讓學生在活動中理解問題，在活動中發展核心素養是我們值得思考的問題.

案例4人教A版高中數學(必修第一冊)第五章“5.4.3正切函數的性質與圖象”(片段).

探究1畫函數圖象的基本方法是描點法，而正弦函數的圖象是根據正弦函數定義的幾何意義，利用單位圓用幾何描點法得到的.那么正切函數定義的幾何意義又是什么呢？

圖1

①

師生活動:學生發現①式是個比值，并不能直接利用MB的長畫出正切函數的圖象.回想利用正弦函數定義的幾何意義是如何畫圖的，正弦函數為什么可以利用單位圓描點？

預設答案：正弦函數定義的幾何意義就是角的終邊與單位圓交點的縱坐標，是一條有向線段，可以直接利用這條線段畫出某個角所對應的正弦值.

師生活動:優化①式，以方便描出正切函數圖象上的點.

預設答案：保持①式中的比值不變,讓分母中的線段數值變為1即可.

如圖2，過點A(1,0)作x軸的垂線，與角x的終邊交于點T，則

圖2

②

評析：新課程提倡教師在解決問題、突破難點時,要重視學生探究活動的設計.確實教師是重視起來了，但是在實踐中發現，一些探究活動缺乏恰當的、環環相扣的問題引領，一個大問題甩給學生，探究吧!教師的想法就是真正地放開讓學生探究,但理想很豐滿,現實很骨感,大多數情況下探究成效甚微.這種探究是空泛的、低效的!沒有恰當問題引領的探究是不得要領的、無序的、低效的.本案例中，由于正切函數的定義是一個比值，無法利用單位圓畫出，那么怎么解決這一問題呢？為了解決這一問題，教師在關鍵點、難點處設計了有深度的微探究.由于探究引領到位，難點一經突破,問題也就解決了，正切函數的圖象也就呼之欲出了,整堂課教學目標的實現也就水到渠成了，同時發展了學生邏輯推理、直觀想象的核心素養.

4 注重信息技術與數學課程的深度融合

在“互聯網+”時代，信息技術正廣泛應用于我國的各行各業,從宇宙探索、深海探索到工廠生產線等,信息技術的應用無處不在,也深刻影響著數學教育.首先,課程標準基本理念明確指出:注重信息技術與數學課程的深度融合,提高教學的實效性[1].在這一理念指導下,教材編寫也非常突出信息技術的應用.這就決定了數學教師在教育教學中必須重視信息技術的應用，且必須不斷提高信息技術應用的本領,優化教學策略,提高教學效率，引領學生學習方式的轉變.例如，為學生抽象概念屬性、理解概念本質創設情境；為學生探索變化中的不變性和變化中的規律性啟發思路；為學生解決問題、突破難點提供直觀、可視的幾何圖形以及函數圖象的運動變化過程；引導學生自主獲取資源、數據，繪制統計圖表；等等.教師要有意識地積累與信息技術有關的數學活動案例，改善自身的教學方式和學生的學習方式,提高課堂效益.基于此，本文主要談以下兩點.

(1)助力繪制函數圖象,凸顯變化規律，發展學生邏輯推理、幾何直觀的數學素養.

新課標、新教材對信息技術與數學教育的深度融合是非常重視的，與以往相比有很多的不同與變化，在新教材中處處可見，教師一定要關注并落實到位.

例如，在“正弦函數、余弦函數的圖象”一節，2019年人教A版高中數學必修第一冊教材(簡稱新教材)第197頁有下面一段話:

事實上，利用信息技術，可使x0在區間[0,2π]上取到足夠多的點T(x0,sinx0)，將這些點用光滑的曲線連接起來，可得到比較精確的函數y=sinx，x∈[0,2π]的圖象.

“事實上”后面這段話以及畫圖方式與2007年人教A版實驗教材高中數學必修4(簡稱舊教材)第31頁是有區別的.舊教材把單位圓([0,2π])分成長度相等的12等份，得到相應的正弦線，再把正弦線的終點用光滑的曲線連接起來，就得到y=sinx(x∈[0,2π])的圖象.

新教材中畫出了12個點，但并沒有用光滑的曲線連接起來，而是在[0,2π]上取足夠多的值而畫出足夠多的點，然后再將這些點用光滑的曲線連接起來.事實上，只畫12個點太少了，很稀疏，你怎么知道由它們連起的圖象是光滑的，是凸還是凹？所以借助信息技術去讓學生較為深刻地感受到其圖象的特征就顯得很有必要.新教材中類似的例子還有很多.

(2)展示運動變化,突破教學難點,發展學生數學抽象、邏輯推理、數學建模的核心素養.

圖3

圖4

圖5

圖6

在獲取資源、數據，處理數據,繪制統計圖表等時也要大量運用信息技術,在此不再贅述.

在高中數學課堂教學中發展學生核心素養，還有許多方面需要深入的研究.例如，如何在課堂教學中深度融入數學文化？所謂深度融入，就是數學文化的融入不僅有助于學生對數學文化的了解，有助于激發學生的學習興趣,還要有助于學生對相關概念、原理的理解.例如,在講對數這節課時，融入對數的發明過程應使學生進一步體會對數可以將很大的數轉化為較小的數，可以把乘方和乘法運算轉化為乘法和加法運算，這有助于學生理解對數的概念和運算性質.《普通高中數學課程標準(2017年版)》在基本理念中明確提出:高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向,創設合適的教學情境,啟發學生思考,引導學生把握數學內容的本質[1].實現這一理念任重而道遠,需要高中數學教師上下求索、左右追問，在理論與實踐中不斷錘煉和提高，唯有此才能不負人民教師的光榮使命.