從教學(xué)設(shè)計(jì)的角度談高中數(shù)學(xué)資優(yōu)生的培養(yǎng)*
——以“不等式”為例

?安徽省淮北市教育科學(xué)研究所 張建明

?安徽省淮北市第一中學(xué) 周 林

1 資優(yōu)生的能力培養(yǎng)

立足于教育的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展，資優(yōu)生的教育有著特殊的重要性和現(xiàn)實(shí)意義.通過(guò)對(duì)資優(yōu)生的教學(xué)研究，主要培養(yǎng)學(xué)生的自主思考能力，創(chuàng)造能力以及解決問(wèn)題等能力[1].在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)能快速與已學(xué)知識(shí)之間建立聯(lián)系.從整體上把握知識(shí)點(diǎn)，形成框架.善于挖掘題目中的隱含條件，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)、方法的轉(zhuǎn)化.對(duì)于日常生活中的實(shí)際問(wèn)題，能夠建立數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)思想、方法來(lái)解決問(wèn)題.這個(gè)過(guò)程是創(chuàng)造和解決問(wèn)題的過(guò)程.下面以北師大版必修一第一章預(yù)備知識(shí)“不等式”的教學(xué)為例來(lái)展開(kāi)說(shuō)明.

2 “不等式”的教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施建議——教學(xué)建議

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出了高中數(shù)學(xué)課程實(shí)施的指導(dǎo)思想：高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).提倡獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展.

資優(yōu)生已經(jīng)初步具有較好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)能力，要讓不同的學(xué)生獲得不同的發(fā)展需要教師在課程標(biāo)準(zhǔn)的指導(dǎo)下設(shè)計(jì)好教學(xué)活動(dòng)，既要整體把握學(xué)科課程，又要抓住學(xué)科本質(zhì).

2.2 合理設(shè)計(jì)學(xué)生活動(dòng)

目標(biāo)：(1)反思用一元一次函數(shù)認(rèn)識(shí)一元一次方程和不等式的過(guò)程，形成用一元二次函數(shù)對(duì)一元二次方程的再認(rèn)識(shí)，學(xué)會(huì)用一元二次函數(shù)研究一元二次不等式，生成求解程序思維，感悟如何運(yùn)用函數(shù)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)一步理解模型和探索模型之間的關(guān)系.

(2)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)兩個(gè)運(yùn)算對(duì)象：數(shù)與可以替代數(shù)的字母(代數(shù)式).學(xué)會(huì)通過(guò)類(lèi)比(數(shù)與字母、等式與不等式)，掌握不等式的性質(zhì)；掌握基本不等式，學(xué)會(huì)通過(guò)“換元”得到一些變形的條件不等式，并能運(yùn)用這些不等式解決一些最值問(wèn)題；提升有目標(biāo)的恒等變形能力(運(yùn)算能力)，感悟不等關(guān)系與變化(函數(shù))關(guān)系.

通過(guò)本節(jié)的教學(xué)可以加深教師對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的發(fā)展.依據(jù)目標(biāo)，結(jié)合資優(yōu)生的學(xué)習(xí)能力和思維特點(diǎn)，把課前、課中、課后有機(jī)結(jié)合起來(lái)，可以設(shè)計(jì)如下學(xué)生活動(dòng).

活動(dòng)一：不等關(guān)系——課前.請(qǐng)學(xué)生梳理實(shí)數(shù)和代數(shù)式中(初中)與“不等”有關(guān)的內(nèi)容，并給出整體描述，盡可能用字母去表示.(看書(shū)、上網(wǎng).)

活動(dòng)二：不等關(guān)系——課前.請(qǐng)學(xué)生梳理初中學(xué)習(xí)過(guò)的等量關(guān)系的內(nèi)容，并給出整體描述，盡可能用字母去表示.同時(shí)，通過(guò)舉例，說(shuō)明等量關(guān)系的作用.(看書(shū)、上網(wǎng).)

活動(dòng)三：不等關(guān)系——課后.請(qǐng)學(xué)生類(lèi)比等量關(guān)系和不等量關(guān)系的性質(zhì)，說(shuō)明類(lèi)比的原則，類(lèi)比的結(jié)果說(shuō)明什么.

活動(dòng)四：用函數(shù)求解不等式——課后.給出求解一元二次不等式的兩種思路，請(qǐng)比較、討論，并說(shuō)明各自的特點(diǎn)、不足，以及得到了什么啟示.

在活動(dòng)四的實(shí)施過(guò)程中，通過(guò)探究，促進(jìn)學(xué)生智力參與；借助相互評(píng)價(jià)，促進(jìn)學(xué)生合作參與；利用典型例題引入，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)參與.

活動(dòng)五：基本不等式——課后.請(qǐng)學(xué)生思考利用不等式求最值與利用函數(shù)求最值之間的關(guān)系，以及與勾股定理、距離的三角不等關(guān)系.(查閱資料)

這五個(gè)活動(dòng)可以讓不同水平的資優(yōu)生獲得不同的知識(shí)體驗(yàn)，讓自己動(dòng)起來(lái)，逐漸明晰本節(jié)課知識(shí)結(jié)構(gòu)(如圖1)，進(jìn)而讓學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生.

圖1

2.3 提供多樣選擇，滿(mǎn)足不同需求

選擇性與多樣性是當(dāng)今數(shù)學(xué)課程的一個(gè)主要特征，根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)及未來(lái)社會(huì)對(duì)人才的不同需求因材施教，實(shí)施分流成為主流.學(xué)生的選擇應(yīng)該在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行，資優(yōu)生的學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)并不意味著可以淡化教師的地位，很多知識(shí)是通過(guò)幾千年的積累發(fā)展形成的，因此教師的定位不應(yīng)該僅僅是引導(dǎo)者、組織者、合作者，還應(yīng)該是知識(shí)的傳授者.因此，教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)可以適度增加高于課本的課外知識(shí)，擴(kuò)展資優(yōu)生數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)領(lǐng)域，從高視角培養(yǎng)資優(yōu)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高數(shù)學(xué)能力.

筆者針對(duì)“不等式”中的最值問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一個(gè)微專(zhuān)題，鼓勵(lì)資優(yōu)生自主探究、合作交流，敢于挑戰(zhàn)自己的思維極限，提升變形、運(yùn)算能力.

微專(zhuān)題：最值問(wèn)題

解法一：配湊法.

解法二：換元法.

解法一根據(jù)條件，通過(guò)構(gòu)造與已知條件有關(guān)的等式關(guān)系，結(jié)合等式的恒等變形，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)最值的求解.解法二借助不同思維視角，引入?yún)?shù)進(jìn)行代數(shù)換元，合理恒等變形，巧妙求出最值.通過(guò)對(duì)比、歸納，學(xué)生的思維能力得到提升，積累了解決陌生情境問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn).根據(jù)資優(yōu)生的學(xué)習(xí)能力，還設(shè)計(jì)了以下變式題組：

采取這種層層遞進(jìn)的形式設(shè)計(jì)教學(xué)，有助于資優(yōu)生熟知均值不等式的使用條件，深入理解最值的概念，初步形成恒等變形的能力，探究問(wèn)題的本質(zhì).同時(shí)，這種變式教學(xué)充分基于資優(yōu)生的學(xué)情，結(jié)合資優(yōu)生的學(xué)習(xí)能力，最大限度地挖掘?qū)W習(xí)潛力，培養(yǎng)資優(yōu)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中生成.

3 資優(yōu)生的培養(yǎng)策略

資優(yōu)生具有較好的學(xué)習(xí)素養(yǎng)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科有濃厚的學(xué)習(xí)興趣，求知欲強(qiáng)，思維具有廣泛性、深刻性和靈活性，在學(xué)習(xí)過(guò)程中呈現(xiàn)較強(qiáng)的系統(tǒng)思維能力，同時(shí)也能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際生活中遇到的問(wèn)題，促進(jìn)其他學(xué)科的學(xué)習(xí).新課標(biāo)提出：“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.”因此，筆者結(jié)合資優(yōu)生的特質(zhì)，在資優(yōu)生的培養(yǎng)策略上遵循循序漸進(jìn)的過(guò)程，注意類(lèi)比聯(lián)想，進(jìn)而促進(jìn)知識(shí)的深度遷移；加強(qiáng)抽象概括，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生的深度理解；通過(guò)題組對(duì)照，進(jìn)而促進(jìn)知識(shí)間的深度聯(lián)系.在具體實(shí)施過(guò)程中，筆者注重如下兩個(gè)方面.

3.1 注重教法、學(xué)法

給學(xué)生足夠的時(shí)間去思考，去解決問(wèn)題.在學(xué)習(xí)概念性知識(shí)時(shí)，可以先展示實(shí)際例子，讓學(xué)生歸納特征并用語(yǔ)言進(jìn)行總結(jié).在學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等知識(shí)時(shí)，可以已學(xué)過(guò)的知識(shí)為鋪墊，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新的內(nèi)容.學(xué)習(xí)幾何等語(yǔ)言時(shí)，經(jīng)歷“實(shí)物和模型→幾何圖形→文字表示”的過(guò)程及逆過(guò)程，將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力.

3.2讓學(xué)習(xí)真實(shí)地發(fā)生

(1)啟發(fā)式教學(xué)

立足于資優(yōu)生的學(xué)習(xí)能力和思維，以問(wèn)題的方式引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考和解決問(wèn)題，例如，在方程的基礎(chǔ)上思考函數(shù)的問(wèn)題，在方程的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)不等式，等等.給與學(xué)生足夠的時(shí)間去挖掘兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系與區(qū)別[3].

(2)經(jīng)歷問(wèn)題解決過(guò)程

學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中問(wèn)題最大的是抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，需要牢固的基礎(chǔ)知識(shí)，以及將抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體問(wèn)題，并建立數(shù)學(xué)模型的能力.實(shí)質(zhì)上是讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程.讓學(xué)生經(jīng)歷整個(gè)過(guò)程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探索精神[4].

(3)注重?cái)?shù)學(xué)思想的運(yùn)用

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用范圍比較廣泛.運(yùn)用較多的數(shù)學(xué)思想有分類(lèi)討論思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想等，其中，最重要的是數(shù)形結(jié)合思想.圖形具有直觀性、便捷性，利用數(shù)形結(jié)合思想可以將圖形的問(wèn)題與用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)表達(dá)的問(wèn)題進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化.數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用是學(xué)習(xí)能力的重要體現(xiàn).

(4)鼓勵(lì)發(fā)散思維

提倡資優(yōu)生具有獨(dú)立思考、合作探討與創(chuàng)新精神，這對(duì)于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展尤為重要.討論的內(nèi)容可以是新知識(shí)中的概念、習(xí)題的解答、證明過(guò)程等.允許學(xué)生發(fā)表不同的意見(jiàn)，討論氣氛活躍、平等，教學(xué)相長(zhǎng).通過(guò)討論，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解[5].在討論時(shí)，要給予學(xué)生適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，始終圍繞中心內(nèi)容討論.對(duì)學(xué)生的解法要有點(diǎn)評(píng)和評(píng)析.

(5)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)考查類(lèi)型及解題方法

數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程具有連貫性，且數(shù)學(xué)方法是相通的.引導(dǎo)學(xué)生對(duì)專(zhuān)項(xiàng)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)，將零散知識(shí)系統(tǒng)化，加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系.只有掌握知識(shí)的重難點(diǎn)及考查類(lèi)型才能有重點(diǎn)地學(xué)習(xí).在學(xué)習(xí)一個(gè)新的知識(shí)點(diǎn)后，還應(yīng)進(jìn)行多角度的練習(xí).對(duì)于善于總結(jié)的資優(yōu)生來(lái)說(shuō)，要能做到舉一反三，事半功倍[6].