2022年高考數學北京卷第10題賞析*

?北京市第五中學 許文軍

1 真題呈現

A.[-5，3] B.[-3，5] C.[-6，4] D.[-4，6]

此題以直角三角形為問題背景，結合單位圓上動點的“動”，帶領平面向量數量積的“靜”，串聯起平面幾何的“形”與平面向量數量積的“數”，動靜結合，數形轉化，展示一幅動人的畫卷.

本題難度中等，切入點眾多，可以借助平面向量中常用的基底思維、坐標思維以及極化恒等式思維等來展開與應用，實現問題的解決，并在此基礎上進一步加以深入與拓展，形成良好的思維習慣，收獲更多的知識、思想方法與能力等.

2 真題破解

方法1：基底法.

解后反思：根據平面向量的線性運算，抓住平面圖形的幾何特征，通過基底的選取與轉化，利用平面向量的數量積公式加以展開與轉化.再結合平面向量夾角的轉化，以及三角函數中輔助角公式的應用，借助三角函數的圖象與性質來確定對應的取值范圍.基底法是破解平面向量問題最常用的基本技巧方法，也是平面向量中“形”的特征的重要體現.

方法2：坐標法.

解析：如圖1所示，以點C為坐標原點，CA，CB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系xCy，則A(3，0)，B(0，4).

圖1

由PC=1，可設P(cosθ，sinθ)，θ∈[0，2π)，則

解后反思：根據平面直角坐標系的構建，確定對應點的坐標，借助坐標法合理表示對應的平面向量，通過坐標運算來分析與解決平面向量中的相關問題.坐標法是平面向量“數”的性質的重要體現，以“數”的運算來實現“形”的特征，達到解決問題的目的.

方法3：極化恒等式法.

解析：由△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°，可得AB=5.

圖2

利用平面向量中的極化恒等式，可得

解后反思：根據平面向量中的極化恒等式，將平面向量的數量積由平面向量的線性運算的模導出，合理溝通平面向量的數量積與線性運算之間的聯系，是解決平面向量數量積問題的一種有力手段.抓住平面向量中的極化恒等式，建立起平面向量與幾何長度(數量)之間的橋梁，有效實現向量與幾何、代數的巧妙結合與合理轉化，也為問題的深入、拓展與提升提供理論支持.

3 變式拓展

探究1結合以上高考真題以及相應的極化恒等式法的破解，將問題中的數據加以一般化，可以得到下面更具一般性的結論.

利用平面向量中的極化恒等式，可得

探究2保留高考真題的情境與設置，只改變三角形中角的度數，其他條件不改變，可以得到以下對應的變式問題，考查的基本知識點與能力點更多，難度更大.

利用余弦定理，可得

圖3

利用平面向量中的極化恒等式，可得

4 教學啟示

4.1 技巧策略，歸納總結

解決此類平面向量數量積的值、最值或取值范圍等問題，常見的技巧策略總結如下：

(1)坐標法.借助平面直角坐標系的合理構建，利用坐標表示與坐標運算，將問題轉化為相關的函數(或三角函數)問題來求解.此方法比較容易想到，特別在涉及一些有直角、垂直等要素的平面幾何圖形時，經常采用此方法來解決.

(2)基底法.借助平面向量基底的合理選擇，利用平面向量的線性運算與數量積公式等，結合平面幾何特征與圖形直觀來求解.此方法的關鍵就是進行平面向量的合理轉化，思維量相對復雜一些，也是比較常用的一種方法.

4.2一題多變，深入探究

對于平面向量的一些創新、綜合與應用問題，可以合理深入挖掘，形成變式拓展，構建知識網絡，從更多層面、更多視角進行深入思考.題目背景、條件要素、結論創設等各個視角都可以加以拓展，真正實現“一題多變”“一題多得”的良好效果，達到做一題、懂一片、會一類，脫離“題海戰術”，拓寬數學基礎知識，切實提高數學能力，真正達到舉一反三、融會貫通的效果.