立體幾何中垂直關系典例解析

?甘肅省平涼市靜寧縣界石鋪中學 周建軍

1 引言

立體幾何證明中，課本上的概念、性質定理、判定定理是處理文字、圖形和數學符號之間關系的最好工具，線與面、面與面的垂直可轉化為線與線的垂直.線與線的垂直關系模型常見的有：①等腰(等邊)三角形中“三線合一”性質的應用模型；②菱形(正方形)對角線互相垂直性質的應用模型；③線面垂直的定義模型；④滿足勾股定理的三角形模型；⑤直徑所對的圓周角是90°；⑥墻角模型(三條直線兩兩垂直)；⑦拐彎模型；⑧兩平行直線中的一條直線垂直于第三條直線，則另一條直線也垂直于這條直線.只要熟練運用好上面的幾種垂直模型，立體幾何中的垂直關系便可迎刃而解.

2 例題解析

2.1 空間折疊題型和墻角模型的應用

例1如圖1，已知△ABC中，AD是邊BC上的高，以AD為折痕折疊△ABC，使∠BDC為直角.求證：(1)平面ABD⊥平面BDC；(2)平面ADC⊥平面ABD.

圖1

分析：該題是由平面圖形折疊成立體圖形，不管△ABD折疊到哪個位置，AD始終與BD，CD保持垂直關系，這也是這道題的題眼.

證明：(1)∵AD⊥BD,AD⊥DC,BD∩CD=D，

∴AD⊥平面BDC.

∵AD?平面ABD，

∴平面ABD⊥平面BDC.

(2)∵∠BDC=90°,

∴CD⊥BD.

又∵CD⊥AD，AD∩BD=D，

∴AD⊥CD.

又∠BDC=90°，且AD∩BD=D，

∴CD⊥平面ABD.

∵CD?平面ADC，

∴平面ADC⊥平面ABD.

點評：證明線面垂直的關鍵是在所證平面內找到兩條相交直線分別與已知直線垂直，墻角模型恰好可以提供這種關系，以解決該題.面面垂直是通過轉化思想，在線面垂直的基礎上，找到一個平面經過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.

2.2 幾何體結構特征的應用

例2如圖2，在圓錐PO中，C是AB弧上一點(異于A，B)，D為AC的中點.

圖2

求證：平面POD⊥平面PAC.

分析：①該題涉及到幾何體的基本結構，PO為圓錐的高線，所以PO垂直于底面圓所在平面；②利用線面垂直的定義，PO垂直于底面圓，則PO垂直于底面圓內的所有直線；③圓的直徑所對的圓周角等于90°；④添加輔助線.

證明：如圖3，連接BC.

圖3

∵AB是⊙O的直徑,

∴∠ACB=90°.

∵點O，D是AB，AC的中點,

∴OD//BC.

∴AC⊥OD.

又在圓錐PO中，PO垂直于⊙O所在的平面，

∴PO⊥AC.

∵OD∩PO=O,

∴AC⊥平面POD.

∵AC?平面PAC,

∴平面POD⊥平面PAC.

點評：立體幾何垂直證明的推理過程，培養了學生的邏輯推理能力，更培養了學生的幾何觀察能力[1].通過對圖形的觀察，運用數學符號語言進行合情推理，印證了垂直的性質定理和判定定理在實際問題中的合理應用，加強了學生在推理活動中的觀察、操作、分析、論證能力.

2.3 三角形中邊長滿足勾股定理的垂直模型的應用

例3如圖4，在三棱錐P-ABC中，D，E，F分別為棱PC，AC，AB的中點，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求證：平面BDE⊥平面ABC.

圖4

分析：由題意易證DE⊥AC，根據圖形利用三角形的邊長，結合勾股定理可證DE⊥EF，根據兩個平面垂直的判定定理證明.

證明：∵PA⊥AC，且DE//PA，

∴DE⊥AC.

又EF//BC，

∴DE⊥BC.

又AC∩BC=C，

∴DE⊥平面ABC.

又DE?平面BDE，

∴平面BDE⊥平面ABC.

點評：當證明線線垂直的條件不足時，就要認真閱讀題目中給出的邊長條件，善于觀察，結合勾股定理構造直角三角形，從而完成邏輯推理證明，激發學習數學、解決問題的熱情.

2.4 多重垂直證明

例4如圖5，空間四邊形PABC中，∠ACB=90°,PA⊥平面ABC，E，F分別是PC和PB上的點，且滿足AE⊥PC,AF⊥PB,求證：PB⊥平面AEF.

圖5

分析：這道題中涉及到“拐彎垂直模型”和多重垂直的證明.“拐彎垂直模型”，如圖5中的“PA⊥AC→AC⊥BC”,這種模型在很多題目中出現，需要學生熟練掌握.

多重垂直證明，是不斷地通過垂直關系，找到新的垂直條件.可從結論出發，逆向尋找成立條件，即“PB⊥平面AEF→AE⊥PB→AE⊥平面PBC→AE⊥BC→BC⊥平面PAC→BC⊥PA→PA⊥平面ABC”，最終向已知靠近，需要反復應用直線與平面垂直的定義和判定定理.

證明：∵PA⊥平面ABC，且BC?平面ABC，

∴PA⊥BC.

∵∠ACB=90°，

∴AC⊥BC.

又PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC.

∵AE?平面PAC，

∴BC⊥AE.

又AE⊥PC,PC∩BC=C，

∴AE⊥平面PBC.

∵PB?平面PBC，

∴AE⊥PB.

∵AF⊥PB,AE∩AF=A，

∴PB⊥平面AEF.

點評：當題目中涉及多重垂直時，考查學生觀察圖形、系統整合、快速轉化的能力[2].我們可以從結論出發，逆向推理尋找所需條件，從一個垂直到另一個垂直關系的轉化中，要時刻保持清醒，明確在轉化的過程中哪些條件變了，哪些條件沒有改變，這些條件之間有什么聯系，必須保持嚴密性，逐步尋找結論成立的充分條件，向已知靠攏，最后應用綜合法，規范表述因果關系.

3 結束語

立體幾何中垂直關系的學習，是通過對簡單幾何體模型的觀察到模型畫圖，再到識圖.從點、線、面的位置關系的表述，到依據定義、定理運用邏輯推理方法正確表達幾何圖形語言和數學符號語言，這是一個系統的工程，需要學生多看、多想、多練，多總結經驗，以強化空間思維能力和邏輯推理能力.