借助競(jìng)賽試題提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力

?南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué) 盧 芳

1 高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽概述

高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽是在眾多數(shù)學(xué)家和教育家的共同倡導(dǎo)下舉辦起來的，該競(jìng)賽致力于促進(jìn)高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，引導(dǎo)學(xué)生深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)在生活實(shí)踐中的重要作用.競(jìng)賽分為初賽和決賽兩部分.初賽部分為開卷考試，要求學(xué)生通過查閱相關(guān)資料、利用相關(guān)工具來完成解題；決賽部分為閉卷考試，不僅要求學(xué)生能夠完成試卷，還要求學(xué)生撰寫小論文.不論是初賽還是決賽，所有題目都與生活實(shí)踐密切相關(guān)，注重利用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決現(xiàn)實(shí)問題.新課程改革背景下，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)更應(yīng)該注重學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力的培養(yǎng)，提高學(xué)生的社會(huì)適應(yīng)能力.借助高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽試題，圍繞競(jìng)賽知識(shí)題目的本質(zhì)特點(diǎn)，將其進(jìn)行改編，降低題目難度，使其符合多數(shù)學(xué)生的認(rèn)知水平，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力的最為行之有效的手段之一.

2 高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽試題分析

從題目設(shè)置的背景來看，高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽試題的背景以生活背景和科學(xué)背景為主，在命題的過程中，為了兼顧學(xué)生的認(rèn)知水平，競(jìng)賽題目主要以生活背景為主，科學(xué)背景為輔.另外，部分題目的背景還會(huì)涉及到其他學(xué)科的知識(shí)，會(huì)體現(xiàn)出學(xué)科融合的特點(diǎn)，以此來引導(dǎo)學(xué)生，在日常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有意識(shí)地注意學(xué)科融合，提高利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活實(shí)際問題的能力.

從題目參數(shù)設(shè)置和運(yùn)算水平上來看，高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽參數(shù)題目相對(duì)較少，這主要與該競(jìng)賽“發(fā)展學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題”的宗旨有關(guān).因?yàn)椋谖覀兊纳顚?shí)踐當(dāng)中，很少有問題會(huì)涉及到參數(shù)，因此，參數(shù)問題不會(huì)影響題目的難度.另外，高中數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽題目對(duì)運(yùn)算水平的要求并不高，大多是簡(jiǎn)單的符號(hào)運(yùn)算，其應(yīng)用場(chǎng)景更加貼近現(xiàn)實(shí)生活.

從推理能力和知識(shí)含量的設(shè)置來看，高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽更加注重學(xué)生推理能力的考查，尤其是復(fù)雜推理能力占據(jù)了絕大多數(shù)，這是導(dǎo)致題目難度較大的重要因素.另外，從知識(shí)含量的設(shè)置上來看，高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽試題主要以對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考查為主，題目設(shè)置的綜合性不強(qiáng).這也從另一個(gè)角度說明在生活實(shí)踐中解決問題時(shí)，并不是都需要將很多知識(shí)綜合起來運(yùn)用，而是選擇更合適的知識(shí)來解決問題.

從解題思維的設(shè)置上來看，高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽題目對(duì)學(xué)生順向思維的考查大于逆向思維的考查，這與我們的生活實(shí)踐極為貼近.另外，注重分析水平的題目要多于運(yùn)用水平的題目，學(xué)生在解題過程中，能夠直接利用的已知條件并不多，需要學(xué)生深入分析給出的已知條件，將它們作進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化才能夠用來解題.

例1通過研究人員的觀察，鮭魚在河水中逆流游動(dòng)時(shí)所消耗的能量為E=cv3T，其中v是相對(duì)于河水的速度，T為行進(jìn)的時(shí)間(單位：h)，c為常數(shù)，如果水流的速度為4 km/h，那么鮭魚要在河水中逆流行進(jìn)200 km，要選擇怎樣的速度才能夠使消耗的能量最少？

題目分析：該題目以科學(xué)為背景，結(jié)合生物和物理部分的相關(guān)知識(shí)，含有常值參數(shù)，其中運(yùn)算主要包含了加、減、乘、除、乘方和開方等簡(jiǎn)單的數(shù)值運(yùn)算，還需要經(jīng)過三步以上的推理.第一步，要借助已知條件確定出鮭魚相對(duì)于河岸的速度.第二步，要確定出鮭魚在運(yùn)動(dòng)過程中相對(duì)于河水的速度v與時(shí)間之間的關(guān)系.第三步，根據(jù)推理寫出鮭魚消耗的能量E與相對(duì)于河水的速度v的關(guān)系式.最后，根據(jù)前面的推理解決問題.題目中暗含的條件較多，需要學(xué)生進(jìn)行深入分析，通過順向思維來完成解題.

3 借助競(jìng)賽試題提高學(xué)生知識(shí)應(yīng)用能力的策略

高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽試題主要以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力來設(shè)計(jì)的，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中引入高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽試題能夠有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).但是，高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽原題難度較大，并不適合多數(shù)的高中學(xué)生.這就要求我們對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽原題進(jìn)行改編，使其適合普通學(xué)生的認(rèn)知水平，從而發(fā)揮出高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽試題在提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力過程中的重要作用.

3.1 對(duì)題目中已有的關(guān)鍵陌生詞匯給予適當(dāng)提示

高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽具有一定的時(shí)代性，信息前沿性較為明顯.在試題中，很多關(guān)鍵信息都是學(xué)生沒有接觸過的，部分詞匯學(xué)生會(huì)感覺很陌生，而這些詞匯恰恰是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)生如果不理解就會(huì)導(dǎo)致解題障礙，影響解題效果.此時(shí)，我們就可以對(duì)原有題目中的陌生關(guān)鍵詞匯進(jìn)行解釋，幫助學(xué)生理解題意，從而降低題目的難度，使其符合多數(shù)學(xué)生的認(rèn)知水平.

例2內(nèi)輪差是車輛在轉(zhuǎn)彎的過程中，前內(nèi)輪的轉(zhuǎn)彎半徑和后內(nèi)輪的轉(zhuǎn)彎半徑之差.在生活實(shí)踐中，車輛在轉(zhuǎn)彎的過程中前后輪的運(yùn)動(dòng)軌跡是不重合的，相對(duì)于前輪，后輪的轉(zhuǎn)彎軌跡會(huì)向所轉(zhuǎn)方向的內(nèi)側(cè)發(fā)生偏移，產(chǎn)生內(nèi)輪差.車輛的軸距越大，偏移量就越大，內(nèi)輪差就越大.在行車轉(zhuǎn)彎過程當(dāng)中，如果我們只關(guān)注前輪的運(yùn)動(dòng)軌跡而忘記內(nèi)輪差，就會(huì)導(dǎo)致車輛前輪順利通過，而后輪會(huì)駛出路面或發(fā)生碰撞.如圖1所示，為一輛右轉(zhuǎn)彎時(shí)大貨車前后輪的運(yùn)動(dòng)軌跡，如果該車輛前后軸距為5 m，前輪的轉(zhuǎn)向角為30°，請(qǐng)求出右前輪與右后輪的內(nèi)輪差，并對(duì)站在路邊等待通行的行人依次提出安全建議.

圖1

問題分析：在該題目中，結(jié)合圖片和文字信息，尋找和理解轉(zhuǎn)向角是重點(diǎn)，尤其是如何表示轉(zhuǎn)向角，尋找前后內(nèi)輪的轉(zhuǎn)彎半徑和轉(zhuǎn)向角的關(guān)系是關(guān)鍵.在對(duì)這一題目進(jìn)行改編時(shí)，可以將轉(zhuǎn)向角這一概念通過數(shù)學(xué)模型(如圖2)的形式給出，降低學(xué)生的理解難度；還能夠使學(xué)生在閱讀題目和觀察數(shù)學(xué)模型的過程中，提高對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)，加深對(duì)數(shù)學(xué)模型與生活實(shí)踐之間關(guān)系的理解.

圖2

3.2 替換試題背景

試題背景信息也是影響試題難度的一個(gè)重要因素.如果選擇的試題信息背景較為陌生，學(xué)生在閱讀過程中就會(huì)產(chǎn)生陌生感，無(wú)形之中就會(huì)增加題目的難度.因此，在對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽試題進(jìn)行改編時(shí)，可以在保留題目原有考查知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)上換成學(xué)生熟悉的問題背景，從而降低題目難度.

例3春節(jié)期間為了活躍氣氛，大家喜歡在微信群里玩搶紅包的游戲.該游戲共有10人參與，每人在群內(nèi)發(fā)一次額度一樣的紅包，每發(fā)一次紅包系統(tǒng)都會(huì)將其拆分成10個(gè)金額不等的紅包，搶到手之前誰(shuí)也不知道自己手中紅包的金額.在一次派發(fā)紅包的過程中，我們將搶到紅包金額最小的稱之為“手氣最差”，將搶到紅包金額最大的稱之為“手氣最佳”，參與10次搶紅包后，請(qǐng)計(jì)算出：

(1)全部搶到“手氣最差”的概率；

(2)至少搶一次“手氣最佳”的概率；

(3)如果將搶到紅包的金額由大到小依次排序，列出第一名到第十名，那么搶到紅包的最高名次為第五名的概率是多少？

問題分析：該題目的背景選自微信群紅包問題，對(duì)很多家庭較為貧困，父母平時(shí)管教嚴(yán)格的學(xué)生來說，這個(gè)生活場(chǎng)景他們較為陌生.我們可以選擇體育比賽場(chǎng)景來替換微信群紅包.

3.3 加入引導(dǎo)性問題

層層遞進(jìn)的問題引導(dǎo)能夠激活學(xué)生的思維，有效降低問題的難度.我們對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽試題進(jìn)行改編的時(shí)候，可以適當(dāng)加入引導(dǎo)性問題，降低題目的難度.

例4我們?cè)谕砩腺u鞋的時(shí)候經(jīng)常看到這樣的尺碼對(duì)照表(表1)：

表1 尺碼對(duì)照表

(1)尋找滿足上面條件的計(jì)算公式，通過實(shí)際腳長(zhǎng)x計(jì)算出鞋號(hào)y.

(2)“30號(hào)”童鞋對(duì)應(yīng)的腳實(shí)際尺寸是多少？

(3)某籃球運(yùn)動(dòng)員的腳長(zhǎng)為282 mm，他應(yīng)該選購(gòu)多大號(hào)的鞋子？

問題分析：題目中的問題有三問，我們可以將其拆分為五問.(1)觀察表1的第一行數(shù)據(jù)，用通項(xiàng)式公式表示出國(guó)際碼的規(guī)律.(2)觀察第二行數(shù)據(jù)，用通項(xiàng)式公式表示出歐碼的規(guī)律.(3)尋找二者的關(guān)系，根據(jù)實(shí)際腳長(zhǎng)x計(jì)算鞋號(hào)y.(4)“30號(hào)”童鞋的尺寸是多少？(5)某籃球運(yùn)動(dòng)員的腳長(zhǎng)為282 mm，他應(yīng)該選購(gòu)多大號(hào)的鞋子？