數(shù)學(xué)廣角“鴿巢問題”教學(xué)設(shè)計

丁海生

觀察人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，可以發(fā)現(xiàn)每冊教材中都有一個單元是關(guān)于“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容，但它的作用是什么呢？為什么教材要這樣設(shè)置呢？“數(shù)學(xué)廣角”為什么不直接叫做“數(shù)學(xué)單元應(yīng)用”呢？

其實仔細(xì)閱讀后可以發(fā)現(xiàn)在這一部分的課題中，教材著重向?qū)W生滲透一些數(shù)學(xué)思想及方法，使學(xué)生深入理解本冊教材中抽象的數(shù)學(xué)理念、公式、定理，并加以綜合應(yīng)用，將數(shù)學(xué)問題與實際生活相聯(lián)系，使數(shù)學(xué)原理不再是束之高閣的真理，而是平易近人的解決方式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。本文將以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級下冊的“數(shù)學(xué)廣角”單元的“鴿巢問題”教學(xué)設(shè)計為例，觀察“數(shù)學(xué)廣角”單元在教學(xué)中發(fā)揮的獨特作用。

一、教學(xué)目標(biāo)

★初步認(rèn)識“鴿巢問題”；通過觀察、比較、判斷、歸納等方法，經(jīng)歷“鴿巢問題”的探究過程；理解幾個不同原理雖然使用的名字不同，但是其本質(zhì)相同。

★明白“鴿巢問題”的推導(dǎo)過程，掌握“鴿巢問題”的一般形式；能夠應(yīng)用“鴿巢問題”解決實際問題。

★通過“鴿巢問題”的靈活運用，對數(shù)學(xué)推理有進(jìn)一步的認(rèn)識，對數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性和科學(xué)性有更深的體會；感受數(shù)學(xué)的獨特魅力，滲透數(shù)學(xué)的模型思想。

二、教學(xué)重、難點

教學(xué)重點：

理解“鴿巢問題”的具體內(nèi)容，掌握先“平均分”，再分配的方法。

教學(xué)難點：

學(xué)生理解“總有”“至少”詞語的意義，知道數(shù)量與種類之間的聯(lián)系；建立鴿子與鳥巢的數(shù)學(xué)模型。

三、教材分析

“鴿巢問題”中包含著一個重要而又基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)問題，應(yīng)用其中的原理可以解決很多問題，本節(jié)課學(xué)生初步認(rèn)識這一問題中蘊含的定理，了解定理的由來，通過幾個直觀的數(shù)學(xué)情境，明白重點詞匯下的組合分配方式，在理解的基礎(chǔ)上，對一些簡單的實際問題加以“模型化”，應(yīng)用“鴿巢問題”解決。在模型的不斷建立過程中，加深對“鴿巢問題”的理解應(yīng)用，從而在復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題中可以拓展應(yīng)用。

四、學(xué)情分析

學(xué)生對“平均分”有一定的了解。“數(shù)學(xué)是思維的體操”，“鴿巢問題”就是學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識推理得出結(jié)論的過程。但由于“鴿巢問題”關(guān)鍵是一個抽象的存在性問題，學(xué)生理解易存在偏差，故教師教學(xué)中要把握實際與抽象轉(zhuǎn)換的界限，使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)原理，并建立起自己的思維模型，這具有一定的挑戰(zhàn)性。

五、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)舊知，導(dǎo)入主題

師：同學(xué)們，老師家里有兩個蘋果，但是卻有四個家人需要分享蘋果，應(yīng)該怎么分配呢？

生：我知道！可以將蘋果對半切開，然后就可以進(jìn)行平均分配了。（引導(dǎo)學(xué)生說出“平均分”的概念）

師：看來大家都很聰明呢！那如果老師需要分配的物品不能拆分呢，現(xiàn)在老師家里養(yǎng)了四只鴿子，需要將它們放在三只鳥籠里，你還會分配嗎？

（教師通過“平均分”概念導(dǎo)入，但是與之前平均分配問題不同的是本節(jié)課中的物品不可拆分，引導(dǎo)學(xué)生從平均分配的狀態(tài)進(jìn)入推理分配的情境）

（設(shè)計意圖：通過兩個小的生活情境導(dǎo)入，第一情境采用可以拆分的物品，學(xué)生可以采用平均分的方式進(jìn)行分配，第二個情境采用不可拆分物品進(jìn)行提問，二者形成對比，學(xué)生借此思考在不同物品狀態(tài)下的推理。導(dǎo)入今天的新課，不可拆分物品下的分配狀態(tài)。）

（二）創(chuàng)設(shè)情境，引出問題

師：看來同學(xué)們對“鴿子的家在哪里”都很感興趣，那現(xiàn)在我們一起動手操作模擬一下這個情境。

教師指導(dǎo)學(xué)生利用身邊力所能及的物品模擬情境。用鉛筆替代鴿子，筆筒代替鳥籠，以小組為單位，嘗試將物品進(jìn)行分配。

師：如果將四支鉛筆放入三個筆筒，你會怎么分配呢？

（引導(dǎo)學(xué)生再次明確探究的問題，關(guān)注問題本質(zhì)，不單單是某個物體或者情境，而是類似情境需要解決問題的遷移）

（設(shè)計意圖：指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行情境的模擬，為之后的動手操作作準(zhǔn)備，也使學(xué)生了解到這個問題并不是僅僅只存在特定情境下，而是通過不同的生活情境總結(jié)出的一類問題的特性。）

（三）自主探究，解決問題

學(xué)生探究，分小組反饋成果。

（學(xué)生操作，教師巡視指導(dǎo)）

1.直觀列舉

這一組學(xué)生認(rèn)為鴿子只有四只，數(shù)量不多，可以將所有的可能情況列出再進(jìn)行探究。

他們將四支鉛筆進(jìn)行分配，分配方式有四種：

第一種，所有筆筒先進(jìn)行平均分配，采用之前所學(xué)的除法算式進(jìn)行列式，發(fā)現(xiàn)余下一支鉛筆，而這只鉛筆只能隨機分配給其中的一個筆筒，才能保證所有的鉛筆都能有筆筒放置。

第二種，筆筒的大小并未確定，這組學(xué)生認(rèn)為可以直接都放進(jìn)一個筆筒，這樣就不存在分配的問題。

第三種，在上一組學(xué)生的影響下發(fā)現(xiàn)有兩個筆筒處于空置狀態(tài)，如果只有一個筆筒空置的話，我們就可以將四支鉛筆平均放入兩個筆筒中。

第四種，有一個筆筒空置的情況時，我們可以將其余兩個筆筒中的一個放入三支，一個放入一支，也不失為一種分配方式。

在進(jìn)行完情況的模擬后，他們還進(jìn)行了作圖列舉，如圖1。

2.理論推理

另一組學(xué)生則是直接進(jìn)行思考，然后根據(jù)一種情況進(jìn)行推理。

首先他們還是維持“平均分”的思想進(jìn)行分配，發(fā)現(xiàn)鴿子和鳥籠如果是一一對應(yīng)的狀態(tài)，那三個筆筒中必有三支鉛筆。可是現(xiàn)在我們手中多出一支鉛筆，所以總有一個筆筒至少有兩支鉛筆。

（設(shè)計意圖：設(shè)計學(xué)生采用兩種不同的分配方式進(jìn)行分配，學(xué)生的思維是發(fā)散的，而且他們的想法并不會受到思維的拘束，所以教師要針對學(xué)生可能出現(xiàn)的各種情況進(jìn)行模擬，就像本文中學(xué)生探究的“直觀列舉法”就是學(xué)生最常采用的方式，在此基礎(chǔ)上學(xué)生也有可能跳出“平均分”的概念進(jìn)行分配。教學(xué)設(shè)計既要考慮學(xué)生的既有水平，也要關(guān)注學(xué)生發(fā)展水平的進(jìn)步。）

（四）構(gòu)建模型，總結(jié)方法

師：同學(xué)們的想法非常多呢！在同學(xué)們的表述中出現(xiàn)了兩個特別的詞匯“總有”和“至少”，有沒有同學(xué)能結(jié)合你們兩組的想法談一談這兩個詞在其中的含義呢？

（引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)列舉法解釋詞匯含義）

生：通過列舉法可以發(fā)現(xiàn)“總有”是在所有情況中這個特性是固定不變的，“至少”則是在問題中有多余的數(shù)量需要我們劃分，在調(diào)整之后分得的數(shù)量。

師：同學(xué)們的觀察很細(xì)心，但是如何找到這個多出來的數(shù)量或者“至少數(shù)”呢？

生：可以平均分，多余的數(shù)量再加上平均分的數(shù)量就是“至少數(shù)”。

師：看來同學(xué)們都有自己的想法呢？但是老師想問問大家如果老師手中有100根鉛筆需要分配到99支筆筒里，你們的方法還能使用嗎？

師：有的同學(xué)面露難色，是的，在數(shù)量龐大的物品分配中，我們使用列舉法時情況會非常復(fù)雜，所以一般我們會采用“平均分”的方式進(jìn)行劃分。那“平均”后我們具體需要怎樣調(diào)整呢？

（引導(dǎo)學(xué)生思考問題解決步驟）

生：我們需要先找到這個“至少數(shù)”，可以通過列有余數(shù)的除法計算，得出多余的數(shù)量，再將多余數(shù)量調(diào)整。

（設(shè)計意圖：學(xué)生根據(jù)之前的問題探究操作解決“總有”和“至少”的情況，再找到“至少數(shù)”，最后通過龐大數(shù)量的物品分配，得出使用先“平均分”再調(diào)整的方式解決問題更為廣泛和簡捷。同時引導(dǎo)學(xué)生思考問題解決步驟，使學(xué)生聯(lián)想到應(yīng)用有余數(shù)的除法算式的數(shù)學(xué)方法解決問題。）

（五）運用模型，綜合實踐

師：同學(xué)們的思路非常清晰，那這種思路是否能在實際問題中應(yīng)用操作呢？讓我們一起來試一試。（教師出示問題情境）

問題1：把7本書放進(jìn)3個抽屜，不管怎么放，總有1個抽屜里至少放進(jìn)3本書。為什么？

根據(jù)之前的思路進(jìn)行“平均分”，列出式子。

7÷3=2（本）……1（本）

得到多余數(shù)量為1本，下一步我們就需要將這一部分多余的數(shù)量放入抽屜，這樣就會導(dǎo)致有一個抽屜里的數(shù)量由之前的2本增加到現(xiàn)在的3本，所以總有一個抽屜里至少放進(jìn)3本書。

師：同學(xué)們的操作非常順暢，但是如果書籍的數(shù)量增多，情況會發(fā)生改變嗎？一起動手算一算10本書時的情況。

10÷3=3（本）……1（本）

10本書時，總有一個抽屜里至少放進(jìn)4本書。可以發(fā)現(xiàn)這個至少的數(shù)量就是我們算式里的“商+1”。

（設(shè)計意圖：學(xué)生在之前初步得出“鴿巢問題”解決方法的基礎(chǔ)上實踐應(yīng)用，再次拓展提升，發(fā)現(xiàn)“鴿巢問題”的第二種類型，對之前的方法進(jìn)一步細(xì)化、優(yōu)化。）

（六）回顧知識，歸納原理

師：同學(xué)們，回顧本節(jié)課的內(nèi)容，你們還記得我們做了什么嗎？

生：我們今天提到了一個新的問題“鴿巢問題”，但是其并不只是鴿與巢的問題，而更像是一種物品分配問題，并且關(guān)鍵是對推理能力的鍛煉，應(yīng)用一些數(shù)學(xué)運算對事件發(fā)生情況進(jìn)行一個簡單的推理。

師：今天我們學(xué)習(xí)了兩種“鴿巢問題”發(fā)生的類型，你還記得有什么嗎？

（引導(dǎo)學(xué)生回顧問題的同時進(jìn)行總結(jié)）

師生總結(jié)“鴿巢問題”的兩種類型：

如果有m+1個數(shù)量的物品放入m個格子中，則總有一個格子至少有2個數(shù)量的物品。

如果有多于kn個數(shù)量的物品放入n個格子中，則總有一個格子中至少有（k+1）個數(shù)量的物品，其中k為正整數(shù)。

在解決這兩種問題時，學(xué)生都需要根據(jù)先“平均分”再調(diào)整的思路進(jìn)行探究，列出有余數(shù)的除法算式，知道“至少數(shù)”為算式中的“商+1”。

（設(shè)計意圖：根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容進(jìn)行知識回顧，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下總結(jié)出“鴿巢問題”的兩種類型，知道解決問題的思路及方法，加深對這一類問題模型的認(rèn)識，鞏固應(yīng)用方法。從問題開始，到問題解決結(jié)束。同時幫助學(xué)生建立邏輯思維，培養(yǎng)學(xué)生自主總結(jié)模型問題的能力。）

六、教學(xué)反思

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計第一步以學(xué)生日常中所見的小事開啟，加強實際生活與數(shù)學(xué)推理之間的聯(lián)系，從“可拆分物體”引出“平均分”概念，為之后的首步思路作準(zhǔn)備；第二步以“鴿子”與“鳥籠”的問題引出本課教學(xué)內(nèi)容，這個“鴿巢問題”的題目也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)中的生活化，從生活問題出發(fā)，探究數(shù)學(xué)思維；第三步小組討論解決課堂開始的問題，得到解決思路，動手操作，得出結(jié)論；第四步在總結(jié)方法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深入探究不同問題類型下的解決方式，得出結(jié)論；第五步回顧總結(jié)，將遇到的“鴿巢問題”總結(jié)出問題模型，同時再次確定問題解決的思路和方式。

在教學(xué)時，需要注意“鴿巢問題”不只應(yīng)用于實際的物品分配中，也可以在幾何問題、數(shù)字整除關(guān)系、“連續(xù)時間”問題、“人的相識”問題等多個數(shù)學(xué)場景中出現(xiàn)。

編輯：溫雪蓮