數學廣角“鴿巢問題”教學設計

丁海生

觀察人教版小學數學教材，可以發現每冊教材中都有一個單元是關于“數學廣角”的內容，但它的作用是什么呢？為什么教材要這樣設置呢？“數學廣角”為什么不直接叫做“數學單元應用”呢？

其實仔細閱讀后可以發現在這一部分的課題中，教材著重向學生滲透一些數學思想及方法，使學生深入理解本冊教材中抽象的數學理念、公式、定理，并加以綜合應用，將數學問題與實際生活相聯系，使數學原理不再是束之高閣的真理，而是平易近人的解決方式，培養學生的數學核心素養。本文將以人教版小學數學六年級下冊的“數學廣角”單元的“鴿巢問題”教學設計為例，觀察“數學廣角”單元在教學中發揮的獨特作用。

一、教學目標

★初步認識“鴿巢問題”；通過觀察、比較、判斷、歸納等方法，經歷“鴿巢問題”的探究過程；理解幾個不同原理雖然使用的名字不同，但是其本質相同。

★明白“鴿巢問題”的推導過程，掌握“鴿巢問題”的一般形式；能夠應用“鴿巢問題”解決實際問題。

★通過“鴿巢問題”的靈活運用，對數學推理有進一步的認識，對數學的嚴密性和科學性有更深的體會；感受數學的獨特魅力，滲透數學的模型思想。

二、教學重、難點

教學重點：

理解“鴿巢問題”的具體內容，掌握先“平均分”，再分配的方法。

教學難點：

學生理解“總有”“至少”詞語的意義，知道數量與種類之間的聯系；建立鴿子與鳥巢的數學模型。

三、教材分析

“鴿巢問題”中包含著一個重要而又基礎的數學問題，應用其中的原理可以解決很多問題，本節課學生初步認識這一問題中蘊含的定理，了解定理的由來，通過幾個直觀的數學情境，明白重點詞匯下的組合分配方式，在理解的基礎上，對一些簡單的實際問題加以“模型化”，應用“鴿巢問題”解決。在模型的不斷建立過程中，加深對“鴿巢問題”的理解應用，從而在復雜的數學問題中可以拓展應用。

四、學情分析

學生對“平均分”有一定的了解?！皵祵W是思維的體操”，“鴿巢問題”就是學生應用數學知識推理得出結論的過程。但由于“鴿巢問題”關鍵是一個抽象的存在性問題，學生理解易存在偏差，故教師教學中要把握實際與抽象轉換的界限，使學生深刻理解數學原理，并建立起自己的思維模型，這具有一定的挑戰性。

五、教學過程

（一）復習舊知，導入主題

師：同學們，老師家里有兩個蘋果，但是卻有四個家人需要分享蘋果，應該怎么分配呢？

生：我知道！可以將蘋果對半切開，然后就可以進行平均分配了。（引導學生說出“平均分”的概念）

師：看來大家都很聰明呢！那如果老師需要分配的物品不能拆分呢，現在老師家里養了四只鴿子，需要將它們放在三只鳥籠里，你還會分配嗎？

（教師通過“平均分”概念導入，但是與之前平均分配問題不同的是本節課中的物品不可拆分，引導學生從平均分配的狀態進入推理分配的情境）

（設計意圖：通過兩個小的生活情境導入，第一情境采用可以拆分的物品，學生可以采用平均分的方式進行分配，第二個情境采用不可拆分物品進行提問，二者形成對比，學生借此思考在不同物品狀態下的推理。導入今天的新課，不可拆分物品下的分配狀態。）

（二）創設情境，引出問題

師：看來同學們對“鴿子的家在哪里”都很感興趣，那現在我們一起動手操作模擬一下這個情境。

教師指導學生利用身邊力所能及的物品模擬情境。用鉛筆替代鴿子，筆筒代替鳥籠，以小組為單位，嘗試將物品進行分配。

師：如果將四支鉛筆放入三個筆筒，你會怎么分配呢？

（引導學生再次明確探究的問題，關注問題本質，不單單是某個物體或者情境，而是類似情境需要解決問題的遷移）

（設計意圖：指導學生進行情境的模擬，為之后的動手操作作準備，也使學生了解到這個問題并不是僅僅只存在特定情境下，而是通過不同的生活情境總結出的一類問題的特性。）

（三）自主探究，解決問題

學生探究，分小組反饋成果。

（學生操作，教師巡視指導）

1.直觀列舉

這一組學生認為鴿子只有四只，數量不多，可以將所有的可能情況列出再進行探究。

他們將四支鉛筆進行分配，分配方式有四種：

第一種，所有筆筒先進行平均分配，采用之前所學的除法算式進行列式，發現余下一支鉛筆，而這只鉛筆只能隨機分配給其中的一個筆筒，才能保證所有的鉛筆都能有筆筒放置。

第二種，筆筒的大小并未確定，這組學生認為可以直接都放進一個筆筒，這樣就不存在分配的問題。

第三種，在上一組學生的影響下發現有兩個筆筒處于空置狀態，如果只有一個筆筒空置的話，我們就可以將四支鉛筆平均放入兩個筆筒中。

第四種，有一個筆筒空置的情況時，我們可以將其余兩個筆筒中的一個放入三支，一個放入一支，也不失為一種分配方式。

在進行完情況的模擬后，他們還進行了作圖列舉，如圖1。

2.理論推理

另一組學生則是直接進行思考，然后根據一種情況進行推理。

首先他們還是維持“平均分”的思想進行分配，發現鴿子和鳥籠如果是一一對應的狀態，那三個筆筒中必有三支鉛筆。可是現在我們手中多出一支鉛筆，所以總有一個筆筒至少有兩支鉛筆。

（設計意圖：設計學生采用兩種不同的分配方式進行分配，學生的思維是發散的，而且他們的想法并不會受到思維的拘束，所以教師要針對學生可能出現的各種情況進行模擬，就像本文中學生探究的“直觀列舉法”就是學生最常采用的方式，在此基礎上學生也有可能跳出“平均分”的概念進行分配。教學設計既要考慮學生的既有水平，也要關注學生發展水平的進步。）

（四）構建模型，總結方法

師：同學們的想法非常多呢！在同學們的表述中出現了兩個特別的詞匯“總有”和“至少”，有沒有同學能結合你們兩組的想法談一談這兩個詞在其中的含義呢？

（引導學生根據列舉法解釋詞匯含義）

生：通過列舉法可以發現“總有”是在所有情況中這個特性是固定不變的，“至少”則是在問題中有多余的數量需要我們劃分，在調整之后分得的數量。

師：同學們的觀察很細心，但是如何找到這個多出來的數量或者“至少數”呢？

生：可以平均分，多余的數量再加上平均分的數量就是“至少數”。

師：看來同學們都有自己的想法呢？但是老師想問問大家如果老師手中有100根鉛筆需要分配到99支筆筒里，你們的方法還能使用嗎？

師：有的同學面露難色，是的，在數量龐大的物品分配中，我們使用列舉法時情況會非常復雜，所以一般我們會采用“平均分”的方式進行劃分。那“平均”后我們具體需要怎樣調整呢？

（引導學生思考問題解決步驟）

生：我們需要先找到這個“至少數”，可以通過列有余數的除法計算，得出多余的數量，再將多余數量調整。

（設計意圖：學生根據之前的問題探究操作解決“總有”和“至少”的情況，再找到“至少數”，最后通過龐大數量的物品分配，得出使用先“平均分”再調整的方式解決問題更為廣泛和簡捷。同時引導學生思考問題解決步驟，使學生聯想到應用有余數的除法算式的數學方法解決問題。）

（五）運用模型，綜合實踐

師：同學們的思路非常清晰，那這種思路是否能在實際問題中應用操作呢？讓我們一起來試一試。（教師出示問題情境）

問題1：把7本書放進3個抽屜，不管怎么放，總有1個抽屜里至少放進3本書。為什么？

根據之前的思路進行“平均分”，列出式子。

7÷3=2（本）……1（本）

得到多余數量為1本，下一步我們就需要將這一部分多余的數量放入抽屜，這樣就會導致有一個抽屜里的數量由之前的2本增加到現在的3本，所以總有一個抽屜里至少放進3本書。

師：同學們的操作非常順暢，但是如果書籍的數量增多，情況會發生改變嗎？一起動手算一算10本書時的情況。

10÷3=3（本）……1（本）

10本書時，總有一個抽屜里至少放進4本書?？梢园l現這個至少的數量就是我們算式里的“商+1”。

（設計意圖：學生在之前初步得出“鴿巢問題”解決方法的基礎上實踐應用，再次拓展提升，發現“鴿巢問題”的第二種類型，對之前的方法進一步細化、優化。）

（六）回顧知識，歸納原理

師：同學們，回顧本節課的內容，你們還記得我們做了什么嗎？

生：我們今天提到了一個新的問題“鴿巢問題”，但是其并不只是鴿與巢的問題，而更像是一種物品分配問題，并且關鍵是對推理能力的鍛煉，應用一些數學運算對事件發生情況進行一個簡單的推理。

師：今天我們學習了兩種“鴿巢問題”發生的類型，你還記得有什么嗎？

（引導學生回顧問題的同時進行總結）

師生總結“鴿巢問題”的兩種類型：

如果有m+1個數量的物品放入m個格子中，則總有一個格子至少有2個數量的物品。

如果有多于kn個數量的物品放入n個格子中，則總有一個格子中至少有（k+1）個數量的物品，其中k為正整數。

在解決這兩種問題時，學生都需要根據先“平均分”再調整的思路進行探究，列出有余數的除法算式，知道“至少數”為算式中的“商+1”。

（設計意圖：根據本節課內容進行知識回顧，學生在教師的引導下總結出“鴿巢問題”的兩種類型，知道解決問題的思路及方法，加深對這一類問題模型的認識，鞏固應用方法。從問題開始，到問題解決結束。同時幫助學生建立邏輯思維，培養學生自主總結模型問題的能力。）

六、教學反思

本節課的教學設計第一步以學生日常中所見的小事開啟，加強實際生活與數學推理之間的聯系，從“可拆分物體”引出“平均分”概念，為之后的首步思路作準備；第二步以“鴿子”與“鳥籠”的問題引出本課教學內容，這個“鴿巢問題”的題目也體現了數學教學中的生活化，從生活問題出發，探究數學思維；第三步小組討論解決課堂開始的問題，得到解決思路，動手操作，得出結論；第四步在總結方法的基礎上進一步深入探究不同問題類型下的解決方式，得出結論；第五步回顧總結，將遇到的“鴿巢問題”總結出問題模型，同時再次確定問題解決的思路和方式。

在教學時，需要注意“鴿巢問題”不只應用于實際的物品分配中，也可以在幾何問題、數字整除關系、“連續時間”問題、“人的相識”問題等多個數學場景中出現。

編輯：溫雪蓮