數形結合思想在高中函數教學中的運用分析

雷 星

一、 引言

高中數學中的函數部分比較抽象，需要學生重點理解和吸收。如果教師僅依靠口述或者文字，那么學生就會很難理解，對函數的學習浮于表面。而數形結合思想將函數的虛擬問題轉換為清晰可見的圖形，幫助學生建立圖形概念，并且可以通過圖形將生活中的內容聯系起來建立更加清晰的數學模型，從而促進學生深層次吸收函數內容，掌握函數學習的規律，幫助學生建立學習數學的信心，提升學生的數學成績和學習效果。

二、 數形結合思想在高中函數數學中的概述

(一)數形結合思想的概念

數形結合思想，顧名思義指的是將數學中抽象的數字、符號或者等式等內容以圖形或者曲線的形式直觀地表現出來，實現數學函數學習的化繁為簡，促進學生對函數內容的深度理解。

數形結合思想重要的是建立數字和圖形的轉換思維。利用圖形解決數學函數問題確實會更加高效便捷，但是學生進行數形轉換需要較高的數學基礎和數學素養。高中學生的數學能力會存在一定的差距，有的學生計算能力和邏輯能力有限，因此要想數形結合思想利用得好，就需要進行刻意練習，不斷強化數學基礎。而教師在教學過程中要著重反復強調數形結合，從而幫助學生深化對數形結合的認知。

(二)數形結合思想在高中函數教學中的重要性

1. 深化學生對函數的認知

高中數學中，函數屬于重要的組成部分，也可以說起到了基礎性的作用。因此，學生在數學學習中，要格外注重函數的學習。但是，函數內容相對虛擬，需要學生具備較強的邏輯思維能力。函數問題如定義、奇偶性、不等式、三角函數等如果只用文字描述，學生會對函數產生相對模糊的概念，不具備具體性和清晰性。因此，要在函數問題中引入圖形這一工具，從而將抽象問題轉變為直觀的內容，將復雜變為簡單，便于學生更為深刻地理解函數問題，在腦海中構建出數學模型，促進對數學問題的應用，做到舉一反三。

2. 提升學生的解題速度和正確率

數形結合思想作為解決數學函數問題的一種有效手段，可以很大程度上提升學生的解題速度和正確率。數形結合將函數轉換為圖形，使得問題變得更為具體，將復雜的文字語言轉化為直觀的圖形語言，從而可以幫助學生更快獲取有效的信息，排除一些無用的信息，掌握圖形中的規律，得出更為準確的答案。另外，在利用數形結合思想解答函數問題時，也可以將圖形問題轉換為學生可以清晰理解的等式或者數量關系，兩者的相互轉換，使得學生可以更加快速深入地理解函數問題。學生在運用數形結合思想解決函數問題時，需要具備較為細致的觀察力、較強的邏輯思維能力，以及仔細分析題目保證圖形繪制無誤，因此數形結合思想的應用也可以培養學生的數學核心素養，提升學生的數學學習效率。

3. 提升教師的教學效果

高中數學教師在進行教學時首先需要考慮的就是如何通過較為淺顯的數學語言幫助學生理解較為深刻的數學問題，保證學生的數學學習效果。從這一角度看，教師引入數形結合思想是必要的途徑和手段。數形結合本身就是相互轉換的，看到函數問題可以轉換為圖形問題，看到圖形問題也可以轉換為函數問題，從中選擇出更容易理解的方法。因此，在面對函數問題時，可以通過建立數形之間的相互聯系、相互證明以及相互補充，從而充分保證學生對數學題目的理解。高中數學教師在教學過程中要注重培養學生的數形結合思想，幫助學生理解數學問題的含義、邏輯以及解題思路，從而培養學生的思考能力，提升教學效果。

三、 數形結合思想的應用現狀

數形結合思想是高中函數學習的重要手段，但是在其應用過程中會有一些問題。而問題主要集中在兩個方面，即教師和學生。

(一)教師問題

在高中函數的實際教學中，大部分教師對學生數形結合思想的培養都頗為重視，但是學生在應用過程中出現達不到教學目標的現象，而造成這一結果的原因有以下幾個方面。

1. 高中數學教師的經驗不足

教師都是通過考試加面試進入學校的，近年來更多年輕化的教師參與教學，加上高中的教學對教師本身的要求就偏高，教師的經驗不足，對學生的學習情況了解不足或者教學經驗不夠，都容易產生數形結合效果不明顯的情況。

2. 教學方式不當

數學本身就是比較抽象的，函數問題尤是。因此，教師要選取學生容易理解和接受的方式進行教學，但是具體的教學方式需要教師在實踐中進行探索，這中間會產生一定的誤差。

3. 教師對教材內容的準備不足

教師在講解函數問題前，要進行備課，這需要教師做到充分理解教材中的內容，但是存在有的教師抱著對教材內容已經很熟悉了，于是就忽略了備課這一習慣。教材的內容可以長時間使用，但是一些具體的實例是在不斷變化的，教師在備課中，要注意學生的學習特點，教學有側重。

4. 教師本身不具備數形結合思想

教師的教學水平會直接影響學生的學習質量，而在教學中存在極個別教師本身就不具備數形結合思維，這也難以培養學生的數形結合思想。

(二)學生問題

1. 學生的邏輯和推理能力不足

數學學習本身就注重邏輯和推理能力，而函數的學習尤其注重，這就對學生的數學基礎提出了較高的要求。部分高中學生對函數的定義、轉換或者應用缺乏足夠的掌握力，而對函數的認知也相對較弱，在實際的應用中難以做到很好的數形結合。

2. 學生的構圖能力不足

數形結合思想的關鍵就是將數字語言轉化為圖形語言，有的學生因為計算能力較差，雖然能繪制出圖形，但是會出現一定的偏差，難以為解題提供正確的依據。

四、 數形結合思想在高中函數數學中的具體應用

高中函數對數形結合思想的應用主要體現在函數的求值、函數的單調性以及三角函數和其融合應用等方面，因此要強化這些模塊的數形結合思想。

(一)數形結合思想在函數求值方面的應用

函數的求值問題在函數學習中占據了重要的部分，其包括函數值的個數、范圍以及極值等，要想快速解決這些問題，就要用到數形結合思想。在具體的函數求值問題上往往會涉及較多的數字、變量或者符號，如果只用文字進行理解，往往會給學生造成理解上的困難。反之，將其結合圖形，則會直觀簡單很多。因此教師在講解函數求值相關問題時，需要引入圖形，并且要注意繪制圖形的準確性。

例如，教師在解答“y=|x+3|-|x-2|”的最大值和最小值時，需要充分掌握絕對值的解題規律。要想解出該題的正確答案，就需要分情況進行討論。依據絕對值的應用特征，也就是要考慮絕對值的零點問題。并且依據這一零點，將該問題分成三段，逐一討論、分析之后得出最大值和最小值。

首先，考慮當兩個絕對值內均為正值，即不變更符號的情況，可以得出當x+3≥0，x-2≥0時，則x≥2，該數值的最大值為5。

其次，考慮當兩個絕對值均為負值，即全部變更符號的情況，就可以得出當x≤-3時，該等式的最小值為-5。

最后，探討中間部分，其中一個變號，另一個不變號的情況，即“y=(x+3)+(x-2)”，由此得出在-3

將三段情況探討之后就可以將所有的點連接起來，從而得出該函數的最大值和最小值。

分段討論函數的求值問題是函數求值中經常遇到的問題，學生需要對這些問題進行分析，反復練習，形成思維慣性。當在函數中看到絕對值、平方或者不等式等問題時，可以第一時間察覺出題者的意圖，直接用數形結合的思想來解決這一類問題，做到舉一反三，從而盡快解決求值問題，提升解題的效率和保證其正確性。

(二)數形結合思想在函數單調性方面的應用

數學函數的學習是一個長期的過程，從小學到高中是一以貫之的。其實早在初中數學學習中，學生就接觸過關于函數單調性的問題。函數在某一區間內隨著變量的增大而逐漸增大，則稱為單調遞增；而在某一區間內隨著變量的增大而逐漸減小，則稱為單調遞減。在初中接觸的是較為簡單的函數單調問題，而在高中函數的學習中則會相對比較復雜，會出現分區間進行討論的情況。而要考查不同區間的函數單調問題，則可以通過畫圖的形式直觀展示出來。

例如，在研究最簡單的二次函數“f(x)=x2”時，教師可以畫出其圖形。

首先，看到關于平方的問題，就要進行關于零點問題的討論。

針對函數單調性的考查，可以幫助學生更快地理解函數數值的大小對比，并且理解函數之間的關系，直觀展示出函數的運動變化情況，從而幫助學生更好地理解函數的變化。并且學生在理解函數單調性的基礎上，還可以進一步理解關于函數的對稱性、奇偶性等內容，可以將這些函數問題做到充分的融合理解，從而建立一個整體的數學概念模型，提升學生的學習效率。

(三)數形結合思想在三角函數方面的應用

三角函數作為高中數學重點考查的內容，加上學生在高中之前并未接觸過該學習內容，所以三角函數也是學生數學學習的難點，需要做到重點突破。三角函數涉及的內容很多，如正弦函數、余弦函數、正切函數等，每種函數都有其對應的函數圖形，并且三角函數也會在基礎的函數圖形上加以變換，這就使得學生需要掌握其變換規律，做到舉一反三，靈活運用。

針對三角函數的學習，教師應該首先引導學生學會繪制最基礎的三角函數，如正弦函數，明確其定義域、值域、上下平移或者左右平移等內容。在學生掌握最基礎的三角函數內容后，再加以升級如討論函數的周期性、三角函數之間的相互轉換等內容。

三角函數的數形結合對學生的數學基礎具有較高的要求，并且其中涉及的公式和定理內容很多，學生除了需要熟記其轉換的規律，還要掌握其圖形變換的特點，從而通過給出的信息，繪制出正確的圖形，進而充分理解三角函數。

(四)數形結合思想在不同函數問題之間的應用

函數問題是一個大的數學問題，其中具有較多的分支。但是這些小的函數問題之間并不是相互割裂的，而是可以在應用中彼此融合，教師在函數問題上要幫助學生建立函數的思維導圖，建立函數之間的聯系。遇到不同的函數問題時，可以將不用的圖形繪制到同一個圖形之上，更為直觀明晰地解決函數問題，提升解決函數問題的速度，保證解題的效率。

例如，教師在解答“直線y=x和函數y=sinx的交點個數”這一問題時，就需要同時用到函數的單調性和三角函數的知識點。教師在講解該問題時，首先要將直線y=x和函數y=sinx的圖形進行繪制，從圖形上直觀地顯示出交點個數。因為這兩個圖形的繪制較為容易，學生也可以在圖形中直觀展示個數，因此學生在基礎掌握該內容之后就需要教師再做一些難度的升級，由此可以做到函數學習的鞏固提高。

比如該題的解法，還可以直接用到導數的知識。假設f(x)=x-sinx，x≥0，求導則可以得到f′(x)=1-cosx，我們也可以將導數函數進行圖形繪制。則可以得到當x≥0時，函數f(x)是單調遞增的，所以我們知道f(x)≥f(0)，也就是中間出現一個交點。但是當x<0時，沒有交點。再加上通過圖形我們可以知道兩個函數都是奇函數，因此，這兩個函數只有一個交點。

不同函數的融合使用，可以培養學生的數學發散思維，用不同的方法解決同一個數學問題，在最快的時間選擇最適合的解題方法，幫助學生順利解決函數問題，并且在其過程中，不斷培養學生的邏輯思維能力和計算推理能力。同時，函數問題的融合使用，也可以為其他數學問題的學習打下基礎。而在不同函數問題中引入數形結合思想，將復雜的問題簡單化，可以直觀清晰地解決數學問題。

五、 數形結合思想引入高中函數問題中的策略

針對數形結合思想在實際教學中的發展現狀，師生需要共同努力，做到有的放矢，重點突破。

(一)教師方面

教師的教學水平和質量可以直接決定學生對知識點的學習吸收情況，因此，教師要不斷提升自身的教學水平。針對教學經驗不足的問題，有的教師是因為剛剛參加工作，缺少經驗，每個教師都是從缺乏經驗走過來的，因此，教師要在教學中不斷積累經驗，也可以讓學生或者其他教師指出教學中存在的問題以便加以改進，從而提升教學質量。對教學準備方面的問題，教師要做到充分備課，教材內容相同，但是在備課中可以選用當下的熱點問題或者依據本班學生的學習特點，打造適用于學生的課堂。教師在教學過程中，應不斷向學生強調數形結合思想可以有效解決函數問題，通過反復強調，讓學生形成慣性記憶，從而將數形結合思想滲透到學生心中。

(二)學生方面

數學具有其獨有的嚴謹性和邏輯性，對學生的要求較高。函數問題較為抽象，有的學生理解起來確實會存在一定的難度，因此更需要相對簡便的方法來理解這一問題。學生針對函數的學習，首先要理解和掌握函數的定理和推論，并將其應用到數學解題上。在掌握了基礎的定理之后，再通過教師的講解以及反復的數學練習建立數形結合思想，從而幫助學生將函數問題簡單化，提升其學習效果。另外，數學的學習效果關鍵在于學生本人，學生應該充分發揮其能動性，找尋規律。

六、 結語

綜上所述，高中數學的內容相對來說較為抽象，單純依靠文字講解學生難以做到充分理解知識點。因此，引入數形結合思想是非常有必要的。通過將抽象概念轉化為具體圖形，直觀展示數學問題，可以提升學生的邏輯推理能力和思考能力。并且在數形結合思想的實際教學中會存在一定的問題，需要教師和學生的共同努力。函數問題重點會考查函數的求值、單調性和三角函數等內容，教師和學生都要對此內容不斷加以強化，做到舉一反三，靈活應用。