強化學(xué)生模型意識

◇周 琳（福建：廈門實驗中學(xué) 小學(xué)部）

2022年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準》明確地將“三會”提升為學(xué)生核心素養(yǎng)進行培養(yǎng)，其中“會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界”是最能體現(xiàn)時代特征的一個目標(biāo)，而數(shù)學(xué)建模則是數(shù)學(xué)語言表達的最高層次。當(dāng)下，義務(wù)教育階段雖未將數(shù)學(xué)建模直接明確地引入學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)任務(wù)，但是學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表達世界已經(jīng)充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模最重要的教育價值。通過概括總結(jié)，可將小學(xué)數(shù)學(xué)語言簡化表達為數(shù)據(jù)意識、模型意識、應(yīng)用意識。如何進行小學(xué)數(shù)學(xué)模型意識的培養(yǎng)，以優(yōu)化課堂教學(xué)環(huán)節(jié)、提高課堂教學(xué)實效？筆者結(jié)合自己的教學(xué)實踐經(jīng)驗談幾點策略。

一、觸形找?！獜默F(xiàn)實到抽象，初步感知模型

數(shù)學(xué)模型離不開數(shù)學(xué)語言，使用抽象的、概括的、近似的描述方法描述現(xiàn)實世界中研究對象的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式，構(gòu)成了數(shù)學(xué)模型的獨特數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。使用模型的描述方法，將數(shù)學(xué)中所創(chuàng)造的語言、符號和方法用之于現(xiàn)實世界中的問題，從而搭建起數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的直接聯(lián)系，宛若知識海洋的擺渡舟。具體到小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)之中所使用的文本概念、數(shù)量關(guān)系式、方程、圖表、運算法則、計算公式等都是數(shù)學(xué)模型。不難發(fā)現(xiàn)，我們所稱的“數(shù)學(xué)教學(xué)”，其本身即包含數(shù)學(xué)模型的指導(dǎo)運用，模型概念并未懸浮于數(shù)學(xué)概念的天空中，其定義簡單至來源于隨處可見的生活。所以，我們在培養(yǎng)學(xué)生模型意識的時候，要從現(xiàn)實到抽象，讓學(xué)生初步感知模型。

從日常生活原型到數(shù)學(xué)模型，需要經(jīng)歷簡化、抽象的過程。對于小學(xué)生，教師更應(yīng)采用循序漸進的教學(xué)方法，從真實的情境出發(fā)，從現(xiàn)實到抽象，讓其初步感知模型，為后續(xù)模型的建立做好鋪墊。培養(yǎng)學(xué)生的模型意識，要以學(xué)生知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生生活的情境，讓學(xué)生從中感受到生活中的原型，再慢慢抽象出來。

以教學(xué)《周長的認識》為例，在學(xué)生認識周長概念時，教師可以創(chuàng)設(shè)運動會的情境，喚醒學(xué)生記憶，將已有的生活經(jīng)驗作為基礎(chǔ)，觸摸到生活中的形。教師可以結(jié)合動畫展示，通過對幾位運動員的運動路線對比，讓學(xué)生能夠充分感知：什么是泳池的一圈？一圈有什么特點？學(xué)生結(jié)合自己體育課上跑步的經(jīng)驗，用自己的語言進行生動描述，如小鴨沒有沿著邊運動，小兔沒有跑完泳池的一圈，小貓多跑了一點、超過了一圈，只有小豬跑的路線才是完整的一圈，等等。這時候，學(xué)生通過觀察對比，將生活中的原型逐步抽象出來，初步感知一周，為之后周長模型的建立奠定了基礎(chǔ)。

緊接著，教師追問學(xué)生一周有著怎樣的特點。學(xué)生通過觀察，以形觸型，并用數(shù)學(xué)的語言表達：“要從起點回到起點，這樣才算一周。且不論從哪一點出發(fā)，只要最終回到起點，就是它的一周?！碑?dāng)學(xué)生有了一周的模型后，再讓學(xué)生理解物體表面一周的長度叫作周長，他們對這一概念的理解便簡單了許多。當(dāng)學(xué)生有了初步的模型，教師再從生活中具體的物體，抽象到圖形，讓學(xué)生閉眼想象、充分感知：如果拿掉這些物品，只剩下圖形，這些圖形的一周在哪里？

學(xué)生通過觀察、對比、描、摸、指等多元動作表征過程，充分經(jīng)歷由具象到表象、再到抽象的過程，周長的模型呼之欲出。這為之后學(xué)生解決周長計算問題打好了基礎(chǔ)，同時為其日后學(xué)習(xí)面積模型做好示范，避免了兩種模型混淆。學(xué)生通過觸現(xiàn)實的形，抽象出了數(shù)學(xué)的型，這體現(xiàn)了從現(xiàn)實到抽象的模型感知教育方法。

二、立型建?！獜牟孪氲津炞C，充分建立模型

史寧中教授提出：現(xiàn)代數(shù)學(xué)得以健康發(fā)展的重要源泉，離不開數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與應(yīng)用。具體而言，數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)在于幫助學(xué)生建立起“數(shù)學(xué)模型”思想，將一系列的數(shù)學(xué)模型的理解、把握過程，貫穿到學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)之中，從而極大地提高學(xué)生模型意識的建立。小學(xué)階段的模型意識不能過分地追求復(fù)雜化概念的滲入，而應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)起學(xué)生普遍而扎實的初步模型思想感悟。因此，在小學(xué)課堂中，教師可以讓學(xué)生在公式、法則推導(dǎo)的過程中感悟模型的普遍意義。同時，可以將數(shù)學(xué)模型用于解決一類具體而明確問題的思想，引入數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)用的基本路徑之中，培養(yǎng)起學(xué)生日常生活的數(shù)學(xué)模型思想，啟發(fā)學(xué)生處理生活中的方方面面問題，真正行之有效地將數(shù)學(xué)概念與現(xiàn)實生活相結(jié)合。

比如，在教學(xué)《平行四邊形的面積》時，教師可以從貼近學(xué)生生活的現(xiàn)實情境中引入。例如：學(xué)校勞動實踐基地中有兩塊菜地，它們分別是長方形和平行四邊形，要比較兩塊菜地誰大誰小，就要求它們的面積。學(xué)生根據(jù)已有的知識基礎(chǔ)，能夠快速答出長方形的面積等于長乘寬，但是對于平行四邊形的面積，他們卻不太確定。此時，不妨放心地讓學(xué)生先行研究“如何得出平行四邊形的面積”這一問題，學(xué)生可能會提出鄰邊相乘或者底乘高的想法。這時教師可以通過“數(shù)一數(shù)”的方式，借用方格紙格數(shù)，讓學(xué)生數(shù)出平行四邊形的面積。采用對比觀察的方式，引導(dǎo)學(xué)生進一步啟發(fā)公式猜想：平行四邊形面積的計算方式為底乘高。再進一步引導(dǎo)學(xué)生探究：究竟平行四邊形的面積計算方式是不是底乘高？是不是所有的平行四邊形都適用呢？此時，再讓學(xué)生將方格紙畫一畫、剪一剪、拼一拼，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形后，雖然它的形狀變了，但是面積不變，轉(zhuǎn)化后長方形的長是原來平行四邊形的底，長方形的寬是轉(zhuǎn)化前平行四邊形的高。由此，學(xué)生可以推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式模型確實是底乘高，之前的猜想得以驗證。

從猜想到驗證，學(xué)生通過數(shù)、畫、剪、拼等數(shù)學(xué)操作活動，充分體驗了將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形的過程。長方形與平行四邊形關(guān)系的發(fā)現(xiàn)，離不開學(xué)生在此體會過程中的分析、對比及概括，這將有助于學(xué)生充分建立起平行四邊形的面積模型，并且抽象成用含有字母的公式來概括表示。在此過程中，學(xué)生并非簡單地得出數(shù)學(xué)公式結(jié)論，而是在思維的激蕩中充分地進行數(shù)學(xué)表達，其相關(guān)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)得到了進一步深化與提高。

再比如，在教學(xué)《長方形和正方形的周長》時，可以先放手讓學(xué)生思考如何計算長方形的周長。此時學(xué)生會有多種想法：有的學(xué)生認為周長的計算為長+長+寬+寬；有的則認為可以長+寬+長+寬，總之要把四條邊加起來；但是也有的學(xué)生通過觀察會發(fā)現(xiàn)，只要算出一組長+寬即可，然后可以將所得數(shù)值乘二。教師此時可以通過把一個長方形的四條邊展開來驗證學(xué)生的想法，逐步建立起長方形的周長模型為：（長+寬）×2。同時，通過長方形周長模型的展示，也為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)正方形周長、平行四邊形周長及其他圖形的周長，奠定了良好的模型基礎(chǔ)。因此，教師在日常課堂教學(xué)活動中要有意地將模型意識培養(yǎng)與知識講授相結(jié)合，給予學(xué)生充分的時間觀察、猜想、操作、驗證、表達，進而充分建立起數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識。

三、踐行用模——從理解到運用，形成模型意識

新課標(biāo)指出：模型意識有助于開展跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)，增強對數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，是形成模型觀念的經(jīng)驗基礎(chǔ)。如何定義小學(xué)數(shù)學(xué)建模？其不僅僅是讓學(xué)生掌握新知識，更在于提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，從而形成新思想，引導(dǎo)學(xué)生體驗數(shù)學(xué)活動，進行深度學(xué)習(xí)。學(xué)生在此學(xué)習(xí)過程中，將深度轉(zhuǎn)化從“學(xué)會”到“會學(xué)”，掌握學(xué)習(xí)方法；從“理解”到“運用”，真正地將知識融入生活中。體驗是新課標(biāo)強調(diào)的方法重點，學(xué)生不僅應(yīng)當(dāng)在學(xué)習(xí)過程獲得新的數(shù)學(xué)知識，其所能收獲的數(shù)學(xué)體驗亦是教學(xué)重點。要引導(dǎo)學(xué)生在獲取數(shù)學(xué)體驗的基礎(chǔ)上，理解數(shù)學(xué)、將數(shù)學(xué)運用到生活中，學(xué)會應(yīng)用模型解決實際生活中的一類問題，真正地將學(xué)生對知識被動化接受轉(zhuǎn)化成主動吸收，充分建立起學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

在《怎樣拼，周長最短》一課的教學(xué)中，如果一下子給學(xué)生16 個小正方形拼擺，學(xué)生不易抓住本質(zhì)，感覺無從下手。因此，可以化繁為簡，從較少的個數(shù)拼起，有層次地引導(dǎo)學(xué)生。學(xué)生通過拼、算、比等活動，逐步建立起拼成正方形或越接近正方形時周長最短的模型。學(xué)生從最簡單的4 個小正方形開始，在動手拼擺4 個小正方形的活動體驗中，通過觀察發(fā)現(xiàn)，隱藏的邊的組數(shù)越多，周長越短，從而抓住了周長之所以會變化，是因為重合的邊的組數(shù)在變化的本質(zhì)。進而再到16 個小正方形的拼擺，學(xué)生通過在格子圖中畫一畫來模擬拼擺，在小組交流匯報中，對比不同的拼法，他們會發(fā)現(xiàn)拼成正方形時周長最短，因為此時重合的邊的組數(shù)最多。此時，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)只要拼成正方形周長就最短的模型。如果該課只到此結(jié)束，未免可惜，因為這是對特殊個數(shù)的小正方形進行拼擺，模型并不完全。如果小正方形的個數(shù)沒有辦法拼成正方形，什么時候周長才是最短的呢？所以該課最后通過12 個小正方形的拼擺去完善模型，學(xué)生在此會有一個小小的認知沖突：如果是12 個小正方形拼擺，沒有辦法拼成正方形，但是會發(fā)現(xiàn)只要拼得越接近正方形，拼成圖形的周長就越短。而之所以這樣，其本質(zhì)都是因為拼擺后，隱藏的邊的組數(shù)越多，周長就越短。

有了這樣一步一步有層次的模型的建立，學(xué)生在日后生活中遇到此類問題，便會用該節(jié)課學(xué)到的模型去解決。例如：對兩幅長方形的美術(shù)作品進行拼擺，怎樣拼才能讓拼成后的圖形周長最短？學(xué)生就會想到將兩條長邊藏起來，這樣隱藏的邊最長，周長就會最短。

再比如，包裝盒子時，怎樣捆繩子最節(jié)省材料？學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，捆盒子的繩子其實就是在圍這些盒子的周長，要最節(jié)省材料，就是讓盒子拼擺后周長最短。學(xué)生會發(fā)現(xiàn)這類問題其實就是《怎樣拼，周長最短》一課的延伸，關(guān)鍵在于如何讓隱藏的邊的組數(shù)最多，它拼成后的周長便會最短。讓學(xué)生運用數(shù)學(xué)的模型和方法解釋生活中的大量現(xiàn)實問題，這便是培養(yǎng)學(xué)生模型意識的意義。

數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，它起源于對現(xiàn)實世界的抽象，得到研究的對象及關(guān)系；數(shù)學(xué)的結(jié)論和方法來源于對現(xiàn)實研究對象的運算、模型建構(gòu)及概括推理，引導(dǎo)模型意識深入滲透到學(xué)生的日常生活中，學(xué)生在收獲數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，更獲得了解決現(xiàn)實問題的能力。不同的學(xué)段，對應(yīng)階段的學(xué)生特點不同，教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)段特征、學(xué)生不同的發(fā)展水平，循序漸進地培養(yǎng)學(xué)生的模型意識，讓學(xué)生積極主動地探索、獲取新知識，并將收獲的知識運用于生活。