小學(xué)數(shù)學(xué)以模型思想提高推理能力教學(xué)芻議

黃朝陽(yáng)

（福建省清流縣鄧家小學(xué)，福建 清流 365313）

數(shù)學(xué)思想是一種高階思維方式，能夠促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)課程中實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量學(xué)習(xí)，指引學(xué)生圍繞具體的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行深度思考，強(qiáng)化對(duì)事物本質(zhì)的認(rèn)知，不斷提高分析、解決數(shù)學(xué)問題的能力。小學(xué)數(shù)學(xué)課堂應(yīng)特別注重滲透數(shù)學(xué)思想與方法，讓學(xué)生高質(zhì)高效地開展數(shù)學(xué)推理思維活動(dòng)，模型思想的滲透應(yīng)以數(shù)學(xué)直觀模型推動(dòng)學(xué)生從“現(xiàn)象描述”過(guò)渡到“規(guī)律總結(jié)”，強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和內(nèi)化，在持續(xù)提高學(xué)生推理能力的過(guò)程中不斷促進(jìn)學(xué)生高階思維的形成與發(fā)展。

一、數(shù)學(xué)模型思想與推理能力的內(nèi)涵

（一）數(shù)學(xué)模型思想的內(nèi)涵

作為一種高階數(shù)學(xué)思想方法，模型思想主要是將具有抽象性特點(diǎn)的數(shù)學(xué)問題情境以直觀簡(jiǎn)潔的方式進(jìn)行呈現(xiàn)，并嘗試應(yīng)用與該情況類似的數(shù)學(xué)模型有效解決實(shí)際問題的一種方式與方法。在數(shù)學(xué)課程中要實(shí)現(xiàn)模型思想的應(yīng)用，教師需要指導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型具有一定的理論認(rèn)知和方法掌握，且能在不同的問題情境中熟練應(yīng)用。

（二）推理能力的內(nèi)涵

學(xué)生開展數(shù)學(xué)問題解決時(shí)，依據(jù)數(shù)學(xué)問題情境反饋的信息，運(yùn)用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)綜合對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行思維分析與探究，這一過(guò)程包括演繹推理、歸納推理和類比推理等思維活動(dòng)。推理能力是數(shù)學(xué)問題解決中極為重要的基本能力，將指導(dǎo)學(xué)生基于邏輯和規(guī)律對(duì)相關(guān)事物或現(xiàn)象開展合乎情理的結(jié)論猜想，支撐著高階思維活動(dòng)開展。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)以模型思想提高學(xué)生推理能力的教學(xué)策略

數(shù)學(xué)模型思想與歸納推理思想均屬于數(shù)學(xué)學(xué)科的基本思想方法，小學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法有機(jī)滲透，需要突出模型思想與數(shù)學(xué)推理的深度融合，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)模型中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題中的復(fù)雜關(guān)系，切實(shí)全面提高學(xué)生解決復(fù)雜問題的綜合素養(yǎng)。

（一）結(jié)合學(xué)習(xí)情境發(fā)揮想象，在聯(lián)想建模中開展推理學(xué)習(xí)

模型思想將依靠聯(lián)想能力而形成，教師需要結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，找準(zhǔn)教學(xué)切入點(diǎn)引發(fā)學(xué)生展開豐富的想象，在聯(lián)想的過(guò)程中深入分析數(shù)學(xué)理論知識(shí)，找到問題關(guān)鍵點(diǎn)，探究出具體的解決方法。通過(guò)這一過(guò)程幫助學(xué)生建立起科學(xué)而合理的數(shù)學(xué)模型，在聯(lián)想與建模的實(shí)踐過(guò)程中實(shí)現(xiàn)推理能力的培養(yǎng)。

例如，在“分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算”教學(xué)時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)“分?jǐn)?shù)”的結(jié)構(gòu)“分子”和“分母”發(fā)揮想象，然后展開計(jì)算推理，促使學(xué)生建立起完善的數(shù)學(xué)模型，從而強(qiáng)化其對(duì)分?jǐn)?shù)計(jì)算原理的掌握。如在題目計(jì)算過(guò)程中，可指引學(xué)生圍繞題目的特點(diǎn)發(fā)揮想象，將分?jǐn)?shù)的分子、分母想象成生活中的具體人物，將兩個(gè)分?jǐn)?shù)之間的加減關(guān)系想象成生活中的某一種場(chǎng)景。如將分子當(dāng)作“孩子”，將分母當(dāng)作“父母的家”，而“+”可表示“孩子要回到父母身邊”，如果是“-”則可代表“孩子要離開父母的家”。以這種生活化的場(chǎng)景幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)加減的內(nèi)涵，學(xué)生可結(jié)合題目的要求發(fā)揮豐富的想象，再開始計(jì)算和推理，從另一個(gè)角度認(rèn)識(shí)分子與分母的內(nèi)涵和本質(zhì)。將數(shù)學(xué)信息與生活信息相連接，以生活符號(hào)代替數(shù)學(xué)信息的教學(xué)設(shè)計(jì)，不僅增強(qiáng)課堂教學(xué)的趣味性，還能通過(guò)聯(lián)想建模的方式實(shí)現(xiàn)推理能力的培養(yǎng)。

（二）直觀模型表達(dá)抽象信息，在推理計(jì)算中掌握基本算理

數(shù)學(xué)建模的過(guò)程需要通過(guò)格式化的語(yǔ)言描述抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，是一個(gè)概括表達(dá)的過(guò)程，通過(guò)簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言結(jié)構(gòu)以直觀、清晰的方式表示煩瑣的數(shù)學(xué)關(guān)系，將更有利于學(xué)生的理解。小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)有意識(shí)地讓學(xué)生用模型語(yǔ)言來(lái)理解和表達(dá)數(shù)學(xué)問題，將各類教學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化處理，幫助學(xué)生更好地完成數(shù)學(xué)推理，且能強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵的深化認(rèn)知和理解，讓學(xué)生在具體的問題中嘗試應(yīng)用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，借助實(shí)踐應(yīng)用強(qiáng)化推理能力培養(yǎng)。

例如，教學(xué)“有余數(shù)的除法”時(shí)，讓學(xué)生對(duì)“34 除以 7 等于 4 余 6”進(jìn)行算式表達(dá)，然后提問：下列選項(xiàng)中哪些可以幫助理解“34÷7＝4……6”題目的意思（多選）a.7×4＝28，34-28＝6。b.34÷4＝7……6。c.34-7-7-7-7＝6。本道題目包含了抽象、推理、模型等多個(gè)維度素養(yǎng)的考查，三個(gè)選項(xiàng)中，a 選項(xiàng)和c 選項(xiàng)為正確答案，對(duì)題目作出了過(guò)程性解釋。b 選項(xiàng)容易被誤判為正確，但仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)“余數(shù)大于除數(shù)”，因此b 選項(xiàng)是錯(cuò)誤選項(xiàng)。在該題目中，教師可指導(dǎo)學(xué)生圍繞題目展開想象，在推理和計(jì)算的過(guò)程中明白“有余數(shù)除法”的基本算理，達(dá)成新舊知識(shí)順利銜接，有效掌握除法的相關(guān)知識(shí)，從本質(zhì)上理解“余數(shù)除法”的內(nèi)涵。

（三）圖形情景描述知識(shí)要點(diǎn)，在猜想驗(yàn)證中得出正確結(jié)論

用直觀化的圖形模型來(lái)表達(dá)抽象數(shù)學(xué)內(nèi)在關(guān)系，這較為符合小學(xué)生認(rèn)知事物的心理。在課程教學(xué)中，教師可運(yùn)用圖形模型的方式，指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合直觀圖形加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解和推理，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的理解，提高數(shù)學(xué)推理能力。在具體的教學(xué)實(shí)踐中，教師可嘗試應(yīng)用合理的圖形呈現(xiàn)復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生圍繞主題進(jìn)行合理的猜想，在對(duì)相關(guān)圖形進(jìn)行操作、觀察和對(duì)比的基礎(chǔ)上完成推理，提高課程的教學(xué)實(shí)效。

例如，在小學(xué)數(shù)學(xué)課程“長(zhǎng)方形的特征”教學(xué)過(guò)程中，由于小學(xué)生是以直觀思維為主，他們要掌握長(zhǎng)方形的特征需要建立在直觀觀察的基礎(chǔ)之上。為此，教師可引導(dǎo)學(xué)生在直觀的情境中抽取出長(zhǎng)方形的具體特征，比如在教學(xué)中通過(guò)多媒體方式呈現(xiàn)鳥巢的情境，指導(dǎo)學(xué)生觀察鳥巢側(cè)面的形狀，幫助學(xué)生在立體圖形中抓取出側(cè)面平面圖，此時(shí)就能獲得長(zhǎng)方形的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生借此可以較為順利地推理出長(zhǎng)方形的特點(diǎn)，即邊是直線，對(duì)邊是相等的，鄰邊是不等的。然后，教師根據(jù)不同學(xué)生的猜想引導(dǎo)學(xué)生深入思考，從“邊”拓展到“角”，并引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)工具驗(yàn)證之前的猜想，得出正確結(jié)論，明確“長(zhǎng)方形的特征”。在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)觀察抽取出圖形，再對(duì)圖形進(jìn)行猜想和驗(yàn)證，將直觀獲取的長(zhǎng)方形特征進(jìn)行有效的證明，最終得出模型的結(jié)論。這就是推理的過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷了復(fù)雜的思維，從猜想、驗(yàn)證到梳理、總結(jié)，動(dòng)手實(shí)踐的過(guò)程中更能感受推理的樂趣，同時(shí)借助推理得出的模型發(fā)展推理能力，提高學(xué)生的問題解決能力。

（四）主題教學(xué)融入模型思想，在具體操作中形成模型認(rèn)知

不斷的實(shí)踐應(yīng)用，才能切實(shí)達(dá)到深化知識(shí)理解的學(xué)習(xí)目標(biāo)，深化理解后再重復(fù)進(jìn)行實(shí)踐應(yīng)用，從而扎實(shí)推動(dòng)數(shù)學(xué)能力提高。主題式數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用，有助于小學(xué)生的理解，教師可注重設(shè)計(jì)主題式問題，讓學(xué)生在解決此類問題的過(guò)程中運(yùn)用模型思想，學(xué)生借助“模型”可以深化理解主題所表達(dá)的數(shù)學(xué)問題內(nèi)在關(guān)系，有效培養(yǎng)其推理能力。例如，教學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”時(shí)，可設(shè)計(jì)主題式問題：各學(xué)習(xí)小組運(yùn)用條形圖對(duì)本班同學(xué)的校服尺碼進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和估算。學(xué)生在任務(wù)型主題的驅(qū)動(dòng)下對(duì)班級(jí)同學(xué)身高進(jìn)行大致的估算，然后再依據(jù)少部分同學(xué)具體身高開展推理，最后制定各個(gè)層次身高的范圍，呈現(xiàn)到統(tǒng)計(jì)表中再形成條形圖。在這一主題實(shí)踐中，學(xué)生小組內(nèi)分工明確，有的收集，有的整理，有的描述和分析，全過(guò)程體驗(yàn)“統(tǒng)計(jì)與概率”知識(shí)的應(yīng)用，這不僅能掌握條形統(tǒng)計(jì)圖的基本知識(shí)，還能夠從不同的條形統(tǒng)計(jì)圖中觀察相關(guān)數(shù)據(jù)，準(zhǔn)確提煉出統(tǒng)計(jì)圖所表示的相關(guān)信息，在推理和計(jì)算的過(guò)程中提高模型認(rèn)知能力，養(yǎng)成有序的推理習(xí)慣。

（五）結(jié)合生活設(shè)計(jì)開放習(xí)題，在說(shuō)理練習(xí)中抽象數(shù)量關(guān)系

小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中組織學(xué)生參與開放性練習(xí)活動(dòng)能夠有助于教學(xué)內(nèi)容的深入理解和知識(shí)內(nèi)化，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度。設(shè)計(jì)開放性練習(xí)題，應(yīng)有意識(shí)地融入模型思想，讓學(xué)生能夠在熟悉的生活情境中發(fā)揮自主性，從不同層面和角度參與練習(xí)，在嚴(yán)密的推理和思考中發(fā)現(xiàn)題目中所包含的數(shù)量關(guān)系，有效提高課程教學(xué)的綜合實(shí)效。

例如，在“時(shí)間、速度、路程”內(nèi)容教學(xué)中，教師可設(shè)計(jì)開放式練習(xí)題，以班級(jí)同學(xué)參加學(xué)校田徑比賽為切入點(diǎn)，設(shè)計(jì)開放式題目：請(qǐng)根據(jù)表格中（圖表1）不同學(xué)生運(yùn)動(dòng)員的跑步成績(jī)選擇一名學(xué)生代表本班參與全校的田徑比賽，并說(shuō)明理由。借助解決這一開放性數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生在數(shù)據(jù)推理、綜合運(yùn)算和模型建立過(guò)程中深化理解時(shí)間、速度、路程間的關(guān)系，有效培養(yǎng)其推理能力。

表1

1.推理

學(xué)生借助統(tǒng)計(jì)表呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)信息，明白了甲、乙運(yùn)動(dòng)員跑相同的路程，所用的時(shí)間不一樣，甲用時(shí)更少則甲運(yùn)動(dòng)員跑得較快。在乙、丙兩名運(yùn)動(dòng)員的對(duì)比中，學(xué)生通過(guò)推理發(fā)現(xiàn)，在同樣的4 秒時(shí)間內(nèi)，丙運(yùn)動(dòng)員跑步的距離更遠(yuǎn)，因此丙運(yùn)動(dòng)員的跑步速度更快。在這一過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)推理快速得出甲乙、乙丙兩組運(yùn)動(dòng)員的跑步速度，通過(guò)“相同時(shí)間”和“相同路程”展開推理，對(duì)結(jié)論進(jìn)行猜想。

2.計(jì)算

甲運(yùn)動(dòng)員和丙運(yùn)動(dòng)員由于跑步時(shí)間和路程均不同，此時(shí)可通過(guò)線段圖（如圖1）表示兩者的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)本課教學(xué)內(nèi)容嘗試解決問題。學(xué)生通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，甲、丙運(yùn)動(dòng)員需要通過(guò)計(jì)算才能進(jìn)行比較，甲運(yùn)動(dòng)員用“路程÷時(shí)間”能得出每秒跑步7 米，丙運(yùn)動(dòng)員通過(guò)“路程÷時(shí)間”得出跑步速度為6 米，兩相比較發(fā)現(xiàn)“甲運(yùn)動(dòng)員跑步速度更快”。然后，引導(dǎo)學(xué)生思考“7米”和“6 米”分別表示什么內(nèi)涵，學(xué)生得出“表示運(yùn)動(dòng)員的跑步速度”，且可通過(guò)線段圖繪制得出甲運(yùn)動(dòng)員在一秒時(shí)間內(nèi)跑步距離更長(zhǎng)。最后得出甲跑得最快，應(yīng)讓甲代表班級(jí)參加全校的比賽。

3.建模

基于前面兩組分析，教師再引導(dǎo)學(xué)生思考，在計(jì)算和畫圖解題過(guò)程中都比較兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員在“每一秒鐘內(nèi)的跑步路程”，這在數(shù)學(xué)上被稱為“速度”。如果兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員跑步的路程和時(shí)間都不相同，快慢就需要通過(guò)速度進(jìn)行比較。得出速度的數(shù)據(jù)，可運(yùn)用“路程÷時(shí)間”來(lái)獲得，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)思維模型的順利構(gòu)建。

本道題目中設(shè)計(jì)了不同的比較形式，包括相同時(shí)間、相同路程以及時(shí)間和路程均不相同，學(xué)生在“比一比”中建構(gòu)起相關(guān)模型，從而完成抽象、概括的過(guò)程，讓學(xué)生明確“路程、時(shí)間、速度”的數(shù)量關(guān)系。與此同時(shí)，學(xué)生在給“半成品”的線段圖進(jìn)行加工時(shí)發(fā)現(xiàn)，對(duì)比的標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)動(dòng)員“每秒鐘的跑步路程”，又能強(qiáng)化對(duì)“速度”的理解，在此基礎(chǔ)上建立起速度模型，提高學(xué)生的推理能力。

（六）引導(dǎo)學(xué)生開展逆向思考，在反向推理中找準(zhǔn)解題關(guān)鍵

逆向思考，即是對(duì)數(shù)學(xué)問題解決從反向進(jìn)行逆推，學(xué)生發(fā)揮想象從反向建立數(shù)學(xué)模型，全過(guò)程綜合運(yùn)用學(xué)生的推理素養(yǎng)，也較好地鍛煉和培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。例如，在“修路問題”的應(yīng)用題中，題目為“一條公路分為兩個(gè)月修建，第一個(gè)月修了全長(zhǎng)的1/3 還多了18 米，第二個(gè)月修的比第一個(gè)月剩余的1/4 還多12米，此時(shí)整條道路還剩下186 米的路程沒有修，請(qǐng)問這條公路的全長(zhǎng)是多少米?”此題是典型需要逆向解決的問題，順向思維較為麻煩，如果通過(guò)逆向思考則能迎刃而解。首先，根據(jù)題目已知條件可通過(guò)算式求出第一周修路后的余下距離。然后用求出的答案“？”通過(guò)算式“（？+18)÷”求出最終答案。小學(xué)階段學(xué)生以直觀順勢(shì)思維為主，在高階思維的培養(yǎng)中，教師應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生開展逆向思考，能夠在順向思考遇到阻礙時(shí)及時(shí)調(diào)整思考方向，由后向前推進(jìn)，找出解題關(guān)鍵點(diǎn)。

三、結(jié)語(yǔ)

總之，小學(xué)生開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)須深入掌握和靈活運(yùn)用模型思想，這種重要數(shù)學(xué)思想方法對(duì)學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)展十分重要。鑒于推理活動(dòng)將貫穿于數(shù)學(xué)課程的全過(guò)程，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)抓住數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)各方面培養(yǎng)來(lái)設(shè)計(jì)、實(shí)施融入模型思想的問題，運(yùn)用一定的情境激發(fā)學(xué)生想象，通過(guò)直觀模型表達(dá)抽象信息，促使學(xué)生通過(guò)嚴(yán)密的推理活動(dòng)，深化理解所學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容，同時(shí)深化培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。