一道平行線中角度問題的教學實錄

摘 要：

在課堂上，筆者給出一道平行線中的角度計算問題，從不同角度給出不同的解決方法，最后提煉出“對稱思想”的解題策略，并引導學生思考和探索，將問題推廣到更一般的情形.

關鍵詞：平行線；角度；計算；對稱思想；推廣

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）35-0002-03

收稿日期：2023-09-15

作者簡介：莫益群（1973.6-），女，浙江省寧波人，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.

對平行線問題的處理和簡單角度問題的計算，是初中生必備的能力.學生在解決這類試題的過程中，可以提高計算能力，培養直觀想象素養.

1 試題呈現

筆者在課堂上呈現如下試題：

如圖1所示，已知l∥m，∠1=135°，∠2=95°，求∠3.

2 百花齊放，解法薈萃

經過2分鐘的思考后，生1給出了如下解答.

生1：解法1 如圖2所示，作直線n∥l.

∵m∥l，n∥l，∴m∥n.∴∠1+∠6=180°，∠3+∠5=180°，∴∠1+∠2+∠3=180°+180°=360°，∴∠3=360°-135°-95°=130°.

教師點評 生1的解法思路清晰、過程簡潔，很精彩，充分利用了平行線的性質，兩條平行線被第三條直線所截，這是平面幾何中一個重要的解題模型［1］.

生2觀察生1的解答過程，受到啟示，給出了如下的解法.

生2：解法2 延長AB，JC交于點H，如圖3所示.∵m∥l，∴∠1+∠BHC=180°.

∵∠2=∠BHC+∠BCH=∠BHC+180°-∠3，

∴∠1+∠2+∠3=∠BHC+180°-∠3+∠1+∠3=∠BHC+∠1+180°=180°+180°=360°，

∴∠3=360°-135°-95°=130°.

教師點評 與解法1相比，解法2也是通過構造平行線被第三條直線所截來做的，構造輔助線后圖形不如解法1的對稱，相應的解題過程也就更繁瑣了.不過能有如此的探究精神，是值得表揚的.

如果應用對稱的思想，則圖1中AB、BC是平等的，延長AB，JC可以解決，那么延長CB、KA交于一點也必定可以解決，而且過程完全相似.同學們下課后自己去試試.

生3這時也舉手了，說想到了一種簡便方法.

生3：解法3 連接AC，如圖4所示.

∵l∥m，∴∠KAC+∠JCA=180°.

又∵∠2+∠BAC+∠ACB=180°，

∴∠1+∠2+∠3=∠2+∠BAC+∠ACB+∠KAC+∠JCA=180°+180°=360°，

∴∠3=360°-135°-95°=130°.

教師點評 解法3也是通過構造平行線被第三條直線所截來做的.與解法2相比，由于輔助線并沒有改變原圖的對稱性，解答過程相應的也簡單.生3構造了一個△ABC，用到了三角形的內角和.那么能夠通過構造一個四邊形來解決么？

同學們思考了2分鐘后，生4舉手了，說已經想到了如何利用四邊形的內角和來解決了.

生4：解法4 過A點作直線AH交CJ于點H，如圖5所示.

∵m∥l，∴∠KAH=∠AHC，

∴∠1+∠2+∠3=∠BAH+∠KAH+∠2+∠3=∠BAH+∠AHC+∠2+∠3=360°（四邊形內角和為360°）.

教師點評 解法4也通過構造平行線被第三條直線所截來做，只是構造了四邊形，不僅用了平行線的性質，而且用到了四邊形的內角和.相對與解法2來說，作輔助線后更為對稱，相應的解法也更簡單.與解法3比較，因為AH可以有無數條，所以不如解法3的圖形對稱.從對稱的角度來看，點A與點C是平等的，既然過A點作直線AH可以解這道題，那么，過點C作直線與l相交也必然可以解決這道題，而且過程完全相似，同學們下課后自行解決.

這時生5舉手了，說自己同樣是構造四邊形，但這時圖象更對稱，解答過程更簡單.

生5：解法5 作AH∥BC交JC于點H，如圖6.

∵BC∥AH，

∴∠2+∠BAH=180°，∠3+∠CHA=180°.

∵l∥m，∴∠KAH=∠CHA，

∴∠1+∠2+∠3=∠KAH+∠BAH+∠2+∠3=∠AHC+∠BAH+∠2+∠3①

=∠AHC+∠3+∠2+∠BAH=180°+180°=360°.

∴∠3=360°-135°-95°=130°.

教師點評 解法5可以像解法4一樣，在①式就用四邊形內角和得出結論，那過程就如解法3一樣.之所以寫出上面的解法，是想讓同學們知道，解法5的輔助線比解法4更對稱美觀，所以解答過程可以少用一個知識點（即四邊形的內角和）.

同樣，由于點A與點C是平等的，于是過點C作AB的平行直線與l相交也必然可以解決這道題，而且過程完全相似，下課后同學們自行解決.

這時生6舉手說，他想出了一種更為對稱的做輔助線的方法.

生6：解法6 作A，B，C關于直線p對稱的點A′，B′，C′，連接A′B′，B′C′，如圖7所示.

∵六邊形內角和為（6-2）×180°=720°

∴∠1+∠2+∠3=12×720°=360°，

∴∠3=360°-135°-95°=130°.

教師點評 與前五種解法相比較，解法6的輔助線最對稱、最美麗，解答過程相應的也最簡潔.

此時教室里響起了一陣熱烈的掌聲……

3 試題推廣

我們下面來看看更為復雜的題：

推廣1 如圖8所示，已知AB∥CD，求∠A+∠E+∠F+∠G+∠H+∠C.

師：用上題中六種方法一一去解它，你會發現，作輔助線后，越具有對稱性，解決起來就越簡單.下面請同學們用最對稱的解法6去解決這個問題.

同學們這時在思考、動筆作輔助線，在計算2分鐘后，生7展示了自己的解法.

生7：解 如圖9所示，作與折線AEFGHC關于直線j對稱的折線A′E′F′G′H′C′，則∠A+∠E+∠F+∠G+∠H+∠C=

12×（12-2）×180°=900°.

師：現在，我們將問題推廣到更一般的的情形.

推廣2 如圖10所示，已知A1X∥AnY，求∠A1+∠A2+……+∠An.

同學們在計算，在思考，在作輔助線，經過5分鐘后，生8舉手了，說自己已經做好了.

生8：解 如圖11所示，作折線A1A2…An關于直線j對稱的折線A1′A2′…An′，則

∠A1+∠A2+…+∠An=12×（2n-2）×180°=（n-1）×180°.

教師點評 同學們，今天我們一起學習了平行線中角度問題的計算. 我們從最簡單的問題開始，各位同學給出了不同的解法，你們都很優秀，很棒，值得表揚，繼續努力.經過這堂課的學習，我們不僅會作了各種輔助線，也明白了一個道理：圖形越對稱，解答越簡潔.

數學是美好的，尤其是幾何世界里的各種對稱問題，希望同學們能領悟對稱思想，輕松破解平面幾何問題.（叮叮叮……，此時下課鈴聲響起了）

4 教學反思

通過一節課，解決一道題，引導學生積極思考，最后學生都參與解題，感受到了幾何的魅力.問題的設計由淺入深，層層深入，在鍛煉學生幾何直觀的同時，提升了學生直觀想象的素養，滲透了對稱思想.

參考文獻：

［1］ 朱迪.“平行線被折線所截”問題探究［J］.語數外學習（初中版），2021（01）：21-23.

［責任編輯：李 璟］