認知破冰讓學習成為可能
——基于正視數學困難的向度實踐

南京師范大學蘇州實驗學校 陳六一

江蘇省蘇州市相城區教育發展中心 董齊珍

“學生對新信息的理解會受到原有知識與經驗的制約”，是所有現代學習理論的共識。正因如此，近年來圍繞以前測了解學習起點，并基于前測開展精準教學的課堂革新，受到了教育理論工作者與一線教師的熱捧。不過，“原有知識與經驗”不局限于學習新知識所需要的直接的準備性知識、在校學習的過往正規知識、可利用的穩定的相容認知結構，還應包括學生的學習困難。前者能促使課堂沿著教學預設順利推進，后者則是對課堂不確定性的挑戰。但是，如果課堂不能幫助學生消除困難，學生就會陷入被動記憶、套用公式等無意義的活動中，從而逐漸偏離學科本質，最終導致學生失去對該學科的學習興趣。筆者將從正視學習困難的向度，通過小學數學教學實踐來回應，如何理性對待不確定的課堂。

一、以意義解釋填補認知斷層

數學史表明認知困難經常發生。如負數的認識，盡管我們的祖先2000多年前就認可了負數，但400年前的歐洲大多數數學家都不承認負數是數，帕斯卡就認為，既然0表示沒有，自然0-4是胡說；而溫度計的發明，破除了這種認知斷層，0-4可以解釋為比0度低4度的溫度，于是負數在認知上就成了正常的數。

實際課堂中也不乏學生能夠正確算出答案，但是因為認知的斷層，又對答案的合理性產生了懷疑，就會遭遇這樣的認知困難。如在平均數概念的學習過程中，學生會有困惑：怎么會用一個不可能存在的小數，來反映一組數據的整體情況？

【案例1：平均數，四年級】

教師課件出示“根據第七次人口普查數據顯示，蘇州平均每個家庭2.6個人”，提問學生如何理解平均數2.6。

生1：生活中不存在2.6個人，應該改為3。

生2：表示蘇州大多數家庭有2個大人，和1個正在成長的孩子。

生3：說明有些家庭有2個人，有些家庭有3個人，但3個人的家庭更多一些。

以上回答，意味著這些學生對平均數的概念僅停留在先加后除的計算水平，由于2.6個人在現實生活中不可能出現，所以第一個學生取了近似值，第二個學生將0.6個人當作了未成年人，第三個學生強調了2.6是在2與3之間的數，默認平均數處于中心位置。如果學生不能以統計意義解釋2.6的由來，就無法領悟平均數是比較、推斷的“好代表”，心中的困惑就會讓他們對數學經驗失去安全感。這時候教師要讓學生返回“2.6個人”產生的背景，在數據分析中，感受平均數作代表可以用到每個樣本數據，不反映一組數據中的某一個數，它既與總量有關，也與樣本個數有關，還與數據的分布有關。也就是說，教師引導學生參與收集、整理數據的過程，于其中理解平均2.6個人，不是說真的有0.6個人，而是有的家庭只有1個人，有的家庭多達六七個人，甚至更多，但為了便于橫向與其他城市家庭人數、縱向與蘇州以往多次人口普查家庭人數進行比較，進而做出各種預判，以做好政府人口統籌工作，這樣需要在樣本中移多補少，或者說為了公平需要進行平分，就不得不創造出一個數——平均數。至此，學生明白了計算是統計的工具，統計是計算的藝術表達。

二、以非人為聯系填定“為什么”

學生在學習的過程中經常出現這樣的現象——能按照教材給出的規則執行推理或者運算，但不理解為什么要這樣定規則。此時，如果學生頭腦中的“為什么”得不到釋疑，他們就會認為數學是記憶各種人為的規則，就會滋生“數學是不講道理的”心理，繼而陷入惰于思考的窘境。這時候亟須教師的點撥，來呵護學生理性的思維，幫助學生在思辨中發現規則的合理，如案例2中的教學處理。

【案例2： 整數四則運算，三年級】

師：7+8×5=？

生1：先算乘，8×5=40；再算加，7+40=47。

生2：為什么不能先算加，再算乘？

生3：“棉花基地第一天摘了7噸棉花，接下來加快了速度，每天摘8噸，連續摘5天，剛好摘完。一共摘了多少噸棉花？”解決這個問題，如果列式成7+8×5，確實是先算乘。“棉花基地上午摘了7噸棉花，下午摘8噸，用同樣的速度連續摘5天，剛好摘完。一共摘了多少噸棉花？”解決這個問題，如果列式成（7+8）×5，那就要先算加。可見，先算乘除還是先算加減，只是一種隨意的規定。

綜合運算的順序確實是一種人為的約定，但這種約定不依據數學家的主觀意志而決斷。因此在教學時，教師要讓學生從運算本身的特點出發，在數學求簡的取向中、在人們追求計算簡便的需求中，做出應然的規則約定。這就是奧蘇貝爾提出的有意義學習的一條標準：知識的非人為聯系，即這種聯系是一種合理的、別人可以理解的、自然的而非人們主觀強加的關系。案例2的教學如果止步于案例中的陳述，規則學習就只是主觀的、人為的約束。因此，教師要正視學生的疑惑，讓學生就“棉花基地第一天摘棉花7噸，接下來加快了速度，每天摘8噸，連續摘5天，剛好摘完。一共摘了多少噸棉花？”列出第二種解題方案：7+8+8+8+8+8，式子中的8+8+8+8+8先行計算，再用7加上5個8相加即8×5的結果，由此可以想象出類似的題型：a+b+b+…+b，得先用乘法計算相同加數的和，以便提高計算效率。至此，學生通過非人為聯系，領悟“數學規定，是社會活動的需要，是常識的優化，必須考慮其唯一性”。

三、以邏輯思考填明直觀困惑

獲得知識至少有兩種途徑：一種是直觀感受；另一種是邏輯思考。前者是看出來的，后者是想出來的。直接觀察數學對象，往往能給學生帶來眼見為實的真切感，但是經實際操作后，又常常出現所見并不真實的情景。有了多次這樣的經驗之后，學生迫切地想知道問題出在哪里，該如何解釋這種矛盾。

【案例3：正方體的展開圖，六年級】

師：這里有許多六連塊，它們都是正方體的展開圖嗎？

生1：我覺得都是，因為正方體展開后就是六連塊。

師：動手驗證一下，排成一排的六連塊能拼成正方體嗎？

生2：不行，有面重疊了。一排最多只能出現四連塊，這四個正方形剛好可以圍出正方體相對的兩組面；如果這一排再增加一個正方形，無論怎樣翻折，都和其他的正方形重疊，形成不了第三組相對的面。

師：下面這幅圖一排最多只有四連塊，是正方體的展開圖嗎？

生3：（動手之后回答）不是，但我不知怎樣解釋它為何不是正方體的展開圖。

數學困難一直存在，尤其是當直觀感受不能自圓其說時，學生會有一種無力感，會煩惱自己智商不夠，這時教師要支持學生用邏輯思考去填明困惑，重塑學生學好數學的信心。在面對案例3的情形時，教師可引導學生回到起點，回憶正方體的特征之一：每個頂點連接三條棱、三個面。而案例3中教師出示的圖形，其“田”字形中間一點連接了四條棱、四個面，與正方體的特征不符，這便找尋到了操作時不能翻折成三組對面的緣由。

以此對照經典的分比薩趣題：“在飯店點了一個12寸的比薩，但12寸的比薩已經賣完了，服務員說可以送兩個6寸的比薩，你同意嗎？”當習慣于用片面的直觀去推斷時，便會出現判斷錯誤，在分比薩的情境中，一旦用“直徑6+6=12”說明服務員的做法是正確的，便掉進了如六連塊都是正方體展開圖一般的陷阱。不過，如果教師僅僅判學生錯誤，而不及時幫助學生消除困頓，學生將會難以走出錯誤觀念，并在困惑中強化挫敗感。因此，課堂上教師要讓學生用邏輯思維去分析：比薩大小，是在厚度相同的情況下，比較面積的大小。于此，方才能走出康德所言的“直觀無概念則盲”。

四、以概念生成填充“是什么”

不少教師喜歡開門見山，以告知大家今天所學內容發起教與學，接著便是花大量的時間讓學生做作業，企圖通過多重練習，讓學生理解所學內容的本質。其實，學生尚未明白數學概念是什么的時候，練和不練一個樣。學生解題的困難在于不知道新知是怎樣依賴于舊知，而后又是因為什么要超越舊知的。

【案例4：平均數，四年級】

師：男生、女生進行套圈比賽，老師覺得男生的運動能力強，一定是男生的套圈水平高，你們同意嗎？

生1：不同意，需要看比賽數據才能確定。

師：出示課件，每人套15次，第一小組是女生套中的情況，第二小組是男生套中的情況。

生2：男生最多的套中了10個，比女生最多的9個多1個，所以男生套圈水平高。

生3：男生最少的是套中4個，而女生最少的是套中6個，女生水平高。

生4：男生、女生各組人數不一樣，無法比較。

由此可見，學生的困難在于不知選什么數作為一組數的代表，有的學生傾向于最大值，有的學生以為出現了最小值就表示整體水平不好。其實，用任何單個數據描述一組數據的水平，都存在不足。假如教師無視學生的學習困難，直接切入“平均數能代表一組水平，我們一起來算一算兩組的平均數”，那接下來學生就會茫然：什么是平均數？干嗎要用平均數來判斷？也就屢屢出現如案例1中三個學生的回答，“將平均數停留在算術水平，而不能達到概念理解、統計理解水平”。

面對案例4中的學生學習現狀，教師要善于利用生成，通過學生之間的對話與批判，發現所能看見的任何一個數據都不能作為本組學生的套圈水平，從而關注一組數據的方方面面，既要所有數據都參與，又要公平分布到每一個樣本，這時“移多補少”方法不是純粹地先加后除，而是為了關聯全部來反映整體水平。這時盡管學生不知平均數這一術語，但對平均數的意義了然于胸，繼而教師點題即可。

總之，數學學習從來不是一件容易的事情，如同以上行文中若干個教學案例，沒有教師的故意刁難，課堂也沒有出現偏題、怪題，但伴隨著符合年齡節奏的數學學習內容的擴充，由于認知局限、心理斷層等因素，給學生帶來了與已知、已學、經驗的種種沖突。教師一旦提供相應的支架，學生也就逐步消解了困難，由此也可以說這些困難其實是學生的最近發展區。不過教學中的挑戰就在于教師如何知道學生有著這樣或那樣的困難，了解了學生的困難后如何解決。筆者對于以上案例中的解決之道，主要來源是文獻研究與課堂觀察。基于以上教學實踐的反思，可以概括出一條教學道理：學生建構數學，源于教師理性的教，碰上了學生思維無限可能的掙扎。