一題多解探究三重積分的計(jì)算方法

摘?要：三重積分是多變量微積分學(xué)的重要內(nèi)容之一，主要用于計(jì)算空間物體的質(zhì)量、物體對(duì)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、物體間的引力等實(shí)際問題。一直以來，三重積分的計(jì)算都是高等數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，主要問題在于求解方法的選擇和積分區(qū)間的確定。本文以一道高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題為例，探究三重積分的不同計(jì)算方法，總結(jié)不同方法的適用條件。

關(guān)鍵詞：三重積分；柱面坐標(biāo)；球面坐標(biāo)；高斯公式；輪換對(duì)稱性

小結(jié)

本文從一道課后習(xí)題出發(fā)，探究了計(jì)算三重積分的四種方法。從四種方法的計(jì)算過程可以看出，雖然此題目四種方法都可使用求解，但是部分方法使用起來計(jì)算量較大，并不是求解此問題的最佳方法。因此有些方法只有在特定情形下使用，計(jì)算起來才比較方便。并且對(duì)稱性和輪換對(duì)稱性的使用經(jīng)常可以簡化三重積分的計(jì)算。本節(jié)主要總結(jié)四種三重積分計(jì)算方法的特點(diǎn)，并給出各種方法適用的問題類型。

第一是投影法。投影法只對(duì)積分區(qū)域有要求，即積分區(qū)域滿足平行于坐標(biāo)軸且穿過積分區(qū)域Ω內(nèi)部的直線與積分區(qū)域Ω的邊界曲面S最多只有兩個(gè)交點(diǎn)都可以使用。由于投影法對(duì)被積函數(shù)沒有限制，對(duì)積分區(qū)域要求較少，因此：（1）大部分題目都可以采用投影法；（2）當(dāng)被積函數(shù)沒有特殊性，積分區(qū)域除了滿足投影法要求以外并不滿足其他方法條件時(shí)，應(yīng)使用投影法。但是更少的限制意味著更復(fù)雜的計(jì)算量，故投影法使用的難點(diǎn)主要在計(jì)算。

第二是截面法。截面法是將積分區(qū)域看成是若干用與坐標(biāo)面平行的平面切成的片狀區(qū)域的累加，但一般情況下直接使用截面法計(jì)算量較大。因此主要使用簡化的截面法求解問題，以下情況考慮使用截面法：（1）當(dāng)被積函數(shù)是單變量函數(shù)，并且截面區(qū)域面積容易計(jì)算，即積分區(qū)域是由柱面、球面、橢球面、橢圓錐面、橢圓拋物面所圍成的閉區(qū)域，或者其中幾種曲面圍成的閉區(qū)域；（2）積分區(qū)域具有對(duì)稱性或輪換對(duì)稱性，即為旋轉(zhuǎn)橢球面、柱面或球面所圍成的閉區(qū)域，被積函數(shù)可以通過積分區(qū)域的對(duì)稱性或輪換對(duì)稱性化解成單變量函數(shù)。

第四是球面坐標(biāo)法。球面坐標(biāo)法需要將積分區(qū)域放在球面坐標(biāo)下考慮，根據(jù)球面坐標(biāo)的特點(diǎn)，以下情況考慮使用球面坐標(biāo)法：被積函數(shù)是f（x2+y2+z2）的形式，積分區(qū)域是球域或者球域的一部分。

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作者簡介：江婧（1995—?），女，漢族，四川眉山人，碩士，助教，中國民用航空飛行學(xué)院教師，研究方向：最優(yōu)化理論與算法、凸分析。