一類單自由度分段光滑懸索橋模型的動力學研究

侯林森,李高磊,吳 鑫,樂 源

(西南交通大學 力學與航空航天學院 應用力學與結構安全四川省重點實驗室, 成都 610031)

懸索橋是一類以承受拉力的纜索作為主要承重結構的橋梁,是特大跨徑橋梁的主要形式之一。對于大跨度懸索橋而言,隨著橋跨的不斷增加,橋的結構剛度將會大幅下降,風致抖振的發生將會影響橋體的穩定性,進而發生分岔乃至混沌的動力學現象,如果設計不當將會導致難以預計的后果。

自19世紀初懸索橋被發明以來,關于懸索橋的設計和研究便成為了工程界的熱點問題之一。1940年,美國塔科馬(Tacoma)懸索橋的風致坍塌震驚了整個工程界[1],大量的學者也開始注意到這一類實際的工程系統:為了研究該類系統的動力學特性,Lazer等[2]首先建立了一類單自由度分段懸索橋模型,考慮其受到周期外激勵作用下的解,Glover等[3]研究了單自由度分段的懸索橋模型在恒定載荷和較小激勵下周期解的存在性和穩定性,并將判別周期解存在性和穩定性的Loud隱函數理論方法推廣到不可微非線性的系統。為了更好地擬合實際工程中懸索橋的運動狀態,Lazer等[4]將系統擴展到更高的維度,建立了一類兩自由度光滑懸索橋模型和一類兩自由度分段懸索橋模型,用數值方法計算了其受到大幅度周期激勵作用的解,Doole等[5]通過數值模擬出了單自由度分段懸索橋系統的相圖、分岔圖,觀察到系統的周期倍化現象和周期共存現象,隨著簡單胞映射方法[6-11]的提出與改進,通過全局動力學方法分析系統的吸引子和吸引域的穩定性以及演化規律開始廣泛應用于各種動力學模型,Freitas等[12]繼續考慮了單自由度分段光滑的懸索橋模型,結合簡單胞映射方法得到了以周期解為主的多穩態現象以及吸引域邊界的結構分形,并觀察到了包括周期吸引子和混沌吸引子共存,邊界激變[13-20]在內的動力學現象。

繼續研究單自由度分段光滑懸索橋模型,借助簡單胞映射方法,研究系統在不同的參數下的多穩態動力學,并發現了周期吸引子共存、周期吸引子和混沌吸引子共存、混沌吸引子共存的豐富多穩態現象。通過打靶法計算系統的不穩定周期軌道,研究了系統的激變動力學,不同于以往的研究結果,在改變激振幅值參數B時發現,從一個鞍結點延拓出來的不穩定周期軌道隨著參數的減小與共存的穩定周期1軌道重新交匯,形成了一個新的鞍結點,該研究結果表明系統在一個不穩定的運動狀態下隨著參數的變化可能分別對應著兩個穩定的運動狀態,為分析懸索橋的穩定性提供了一個新的思路,對工程實踐中懸索橋的安全性分析提供有效的理論參考和一定的實踐依據。

1 懸索橋力學模型

考慮了文獻[3]研究的單自由度分段光滑懸索橋模型,得到運動微分方程:

y″+2cy′+k′y=W+Bsin(ωt)

(1)

其中:

(2)

y表示垂直方向的位移,向下為正,c表示阻尼系數,k′表示懸索分段剛度系數,k表示懸索的剛度,W表示預加載力,ω表示垂直方向入射的風載荷頻率。

2 簡單胞映射方法的基本原理

假設微分方程為:

(3)

式中:x為實值向量,F為實值向量函數,當系統具有周期性時,F為關于t的周期函數,對式(3)在一個周期內進行積分,將系統在一個周期結束時的運動狀態與下一個周期結束時的運動狀態相聯系,式(3)可改寫為:

x(n+1)=G(x(n))

(4)

式(4)說明狀態空間中的點x(n)在經過一個周期后由G映射為點x(n+1),這種點對點的映射動力系統被稱為點映射或者Poincaré映射。

簡單胞映射方法是通過將連續系統離散為具有離散狀態空間的系統,再通過特征矢量對每個單元(胞)的表征近似地描述連續系統的狀態變量。假設連續系統的N維歐式狀態空間為RN,將狀態變量的坐標軸xi(i=1,2,…,N)分成無數個整數區間,間距為hi,其中每個區間Zi表示一個胞單元,每一個胞單元Zi中包含的xi范圍為:

(Zi-1/2)hi≤xi<(Zi+1/2)hi

(5)

那么系統的狀態矢量就可以用N維胞矢量Z表征。將每個胞視為實體,那么z(n)到z(n+1)的胞映射便與x(n)到x(n+1)的點映射方程(4)關聯起來,得到:

z(n+1)=c(z(n)),Zi(n+1)=Ci(z(n))

(6)

c表示一個映射函數,式(6)這樣的映射關系稱為胞映射,簡單胞映射方法可以通過數值方法計算求解非線性復雜系統的吸引子和吸引域等全局動力學特性。

3 全局動力學分析

3.1 阻尼系數c對全局動力學的影響

取系統參數為W=1,k=50,B=3.0,ω=1.2,考慮隨著阻尼系數c增加時系統的全局動力學特性。圖1、圖2分別為c∈(0.02,0.03)和c∈(0.132,0.152)時的分岔圖。圖1中的青綠色豎線位置表示c=0.021 0,此時存在著藍色軌線表示的周期4吸引子,黑色軌線表示的周期4吸引子以及洋紅色軌線表示的周期12吸引子共存,當阻尼系數c增大到0.023 0(圖1中橙色豎線位置時),黑色軌線表示的周期4吸引子退化為周期2的吸引子,此時系統表現為周期2、周期4和周期12吸引子共存的運動狀態,隨著阻尼系數c的進一步增大,當c=0.024 2,如圖1中紫色豎線位置所示,洋紅色軌線表示的周期12吸引子也發生了退化,變為周期6的吸引子,這時系統處于周期2、周期4、周期6吸引子共存的運動狀態,當c繼續增大到0.025 5,圖1中紅色豎線位置,此時藍色軌線表示的周期軌道在進入混沌后消失,此時系統僅表現為黑色軌線表示的周期2吸引子和洋紅色軌線表示的周期6吸引子共存的運動狀態。從圖2中可以觀察到,在c=0.136 5處,存在著混沌吸引子與周期吸引子共存,在c=0.139 5處存在著周期2和周期4吸引子共存,如圖2中藍色豎線和黃色豎線位置所示。

借助胞映射方法,可以進一步通過系統的吸引子和吸引域的穩定性和演化規律來研究系統的多穩態動力學,圖3分別對應圖1和圖2中不同豎線位置的阻尼系數c下吸引子和吸引域。

圖1 c∈(0.02,0.03)時不同初值下的分岔圖

圖3 不同阻尼系數c下系統共存的吸引子及其吸引域

圖3(a)為c=0.021 0時系統的吸引子和吸引域,系統存在著藍綠色圓點表示的周期4吸引子,紅色圓點表示的周期4吸引子以及黑色圓點表示的周期12吸引子共存,它們的吸引域分別用深藍色、靛藍色以及黃色的區域表示,可以觀察到3個吸引子的吸引域相互糾纏嵌套在一起且具有分形結構,說明在此狀態下系統對初值比較敏感,任何一個微小的擾動都可能使系統從一個運動狀態跳躍到另一個運動狀態,這樣的吸引域稱為“Wada域”[21]。圖3(b)為c=0.023 0時系統的吸引域,其中青綠色區域表示周期2運動狀態的吸引域,吸引子用洋紅色圓點表示;黃色區域為周期4運動狀態的吸引域,吸引子用深藍色圓點表示;藍色區域為周期12運動狀態的吸引域,吸引子用紅色圓點表示,系統在此參數狀態下表現為周期2、周期4、周期12吸引子共存。圖3(c)為c=0.024 2時系統的吸引子和吸引域,系統表現為周期2、周期4、周期6吸引子共存,吸引子分別用紅色、洋紅色和黑色來表示,對應的吸引域顏色分別為黃色、深藍色和青綠色。圖3(d)為c=0.025 5時的吸引子和吸引域,此時對應分岔圖中的藍色軌線突然消失,只剩下2種運動狀態的吸引子共存,即綠色圓點表示的周期2吸引子和紅色圓點表示的周期6吸引子共存,它們的吸引域分別用黃色和紫色表示。當c增加到0.136 5時,如圖3(e),系統表現為周期4吸引子與混沌吸引子共存,青綠色的圓點表示周期4的吸引子,從深藍色區域出發的軌道可以吸引到周期4吸引子上。紅色的離散點組成的區域為混沌吸引子,從黃色區域出發的軌道可以吸引到混沌吸引子上,與前4組參數下的吸引子與吸引域相比,在此參數下周期運動的穩定性相對較高,因為吸引域嵌套程度比較低,吸引域的邊界不再具有“Wada域”的特性,隨著阻尼系數c進一步增大到0.139 5時,如圖3(f),原本的周期4的運動狀態退化為周期2的運動狀態,而原本的混沌運動狀態退化為周期4的運動狀態,其中周期2吸引子用青綠色圓點表示,深藍色區域為其吸引域,周期4的吸引子用紅色圓點表示,黃色區域為其吸引域。

3.2 激振頻率ω對全局動力學的影響

固定其他參數分別為W=1,k=50,B=3.0,c=0.075,通過數值模擬得到系統在不同初值下,隨激振頻率ω變化的多個吸引子共存的分岔圖,如圖4和圖5所示。圖4為ω∈(0.657,0.666)時的不同初值分岔圖,可以觀察到在藍色豎線位置,ω=0.658時存在著周期4吸引子和周期6吸引子共存,當ω增大到0.660橙色豎線位置時,周期4吸引子退化為周期2吸引子,周期6吸引子退化為周期3吸引子,此時系統為周期2的吸引子和周期3的吸引子共存。圖5為不同初值下ω∈(0.714,0.724 5)時的分岔圖,藍色豎線ω=0.715處,存在著周期3的吸引子和周期4的吸引子共存。在橙色豎線ω=0.724處,存在著混沌吸引子與混沌吸引子共存,且黑色的混沌吸引子分為3片獨立的混沌區域,洋紅色吸引子則為一整片的混沌區域。

圖4 ω∈(0.657,0.666)時不同初值下的分岔圖

圖5 ω∈(0.714,0.724 5)時不同初值下的分岔圖

為了進一步分析系統的多穩態現象,通過胞映射方法得到系統隨激振頻率ω變化時的吸引子及其吸引域,如圖6所示。圖6(a)為ω=0.658時的吸引域,此時系統存在著周期4和周期6共存的吸引子,其中綠色圓點表示周期4的吸引子,其吸引域用深藍色區域表示;周期6的吸引子用洋紅色圓點表示,其吸引域用黃色區域表示。從圖中可以看出,深藍色區域的面積比黃色區域的面積大,說明深藍色區域周期4吸引子的局部穩定性比黃色區域周期6吸引子的穩定性要高。當ω增加到0.660時,如圖6(b)所示,系統從周期4吸引子和周期6吸引子共存退化成周期2和周期3的吸引子共存,吸引子分別用紅色圓點、綠色圓點表示,對應吸引子的吸引域分別用深藍色區域、黃色區域表示。此時的吸引域與ω=0.658具有相同的分形結構。當ω進一步增大到0.715,如圖6(c)所示,此時系統為周期3吸引子和周期4吸引子共存,紅色圓點表示周期3吸引子,從深藍色區域出發的軌道可以吸引到周期3的吸引子上,黑色圓點表示周期4的吸引子,從黃色區域出發的軌道可以吸引到周期4的吸引子上。周期3和周期4吸引域的邊界纏繞嵌套在一起,系統的穩定性進一步降低。圖6(d)為ω=0.724時的吸引子和吸引域,這時系統存在著混沌吸引子共存,其中紅色離散的圓點組成的三片獨立的混沌區域與綠色離散的圓點組成的混沌吸引子共存,其中紅色混沌吸引子的吸引域用黃色區域表示,綠色混沌吸引子的吸引域用藍色區域表示。

圖6 不同激振頻率ω下系統共存的吸引子及其吸引域

4 激變動力學

4.1 激振頻率ω為參數的激變動力學

激振頻率ω是系統的主要參數之一,研究系統在激振頻率下的激變動力學,為工程實際中懸索橋的安全檢測和維護提供了有效的理論依據。圖7為ω∈(0,1.5)時的分岔圖,此時,W=1,k=50,B=3.0,c=0.05。可以觀察到,當0<ω<1.35時,系統存在周期運動和混沌運動交替出現的動力學現象,由于該系統是一個分段系統,在ω=0.707 5以及ω=0.978處分岔圖出現了跳躍的現象。1.35<ω<1.5時,系統進入穩定的周期1運動狀態。

圖7 ω∈(0,1.5)時系統的分岔圖

為了更深入地研究系統的激變機制,取ω∈(0.54,0.57)時的子區間分岔圖,如圖8所示,綠色虛線表示不穩定周期軌道,洋紅色區域表示混沌吸引子。可以觀察到,當ω∈(0.54,0.57)時,系統存在著同時出現周期運動和混沌運動的情況,這說明存在周期吸引子和混沌吸引子共存的多穩態現象。考慮隨著ω減小時系統的動力學現象,首先在ω=0.565處,系統發生鞍結分岔(SN),當ω減小到0.563 1時,鞍結分岔產生的一支不穩定的周期軌道與混沌吸引子發生接觸,混沌吸引子突然消失,系統發生了邊界激變(BC),此時只存在周期1的運動狀態,當ω減小到 0.551 4時,系統發生周期倍化(PD),系統由原先的周期1運動倍化為周期2運動,隨著ω的進一步減小,當ω=0.546 4時系統再一次發生周期倍化,由周期2倍化為周期4,最終在ω=0.544 9處,通過周期倍化進入了混沌運動狀態。當ω減小到 0.542 8時,鞍結分岔產生的不穩定周期軌道與混沌吸引子接觸,發生了內部激變(IC),導致了混沌吸引子大小突然性增大。

圖8 ω∈(0.540,0.570)時不同初值下的系統分岔圖

借助胞映射方法,通過數值模擬得到系統的吸引域,可以更細致地研究系統隨激振頻率ω變化時的全局特性。圖9為系統在不同的激振頻率下的吸引子和吸引域。

圖9 系統在不同激振頻率ω下的吸引子和吸引域

圖9(a)為ω=0.567時系統的吸引子和吸引域,此時不存在吸引子共存的現象,系統為混沌運動,白色區域為混沌吸引子,綠色區域為混沌吸引子的吸引域。如圖9(b)所示,當ω=0.564時,周期1吸引子與混沌吸引子共存,紅色圓點表示周期1吸引子,黃色區域表示周期1吸引子的吸引域。圖中白色離散的點為混沌吸引子,整個深藍色區域都是混沌吸引子的吸引域。如圖9(c)所示,當ω減小到0.563 2時,此時系統仍處于周期1和吸引子和混沌運動狀態共存,白色離散點組成的區域為混沌吸引子,整個黃色區域為它的吸引域,紅色圓點為周期1的吸引子,深藍色區域為周期1吸引子的吸引域。通過圖9(b)(c)的對比,可以觀察到隨著ω的減小,周期1吸引子的吸引域不斷向混沌吸引子靠近,且以針狀結構不斷的占據原混沌吸引子的吸引域,當ω繼續減小到0.563 1時,鞍結分岔的不穩定周期軌道與混沌吸引子發生接觸,導致系統發生邊界激變,混沌吸引子及其吸引域突然消失。圖9(d)為ω=0.555時的吸引子和吸引域,此時系統僅存在一個周期1的吸引子,整個青綠色區域都是它的吸引域。對應于圖8的分岔圖,洋紅色的混沌吸引子和綠色的不穩定周期軌道發生了接觸,導致洋紅色的混沌吸引子區域突然消失。隨著ω繼續減小,系統通過周期倍化進入混沌狀態,圖9(e)為ω=0.544時的吸引子和吸引域,圖中白色離散點組成的區域表示混沌吸引子,青綠色區域表示其吸引域。當ω減小到0.542 8時,鞍結分岔的不穩定周期軌道與混沌吸引子發生了接觸,系統發生內部激變。當ω=0.540時,如圖9(f)所示,此時混沌吸引子的大小相較于ω=0.544時出現了顯著的增大,在圖8的系統分岔圖中也可以觀察到在ω=0.542 8附近,混沌吸引子的大小發生了突然性增大,再次說明系統發生了內部激變。

4.2 激振幅值B為參數的激變動力學

激振幅值B也是系統的主要參數之一,考慮系統隨激變幅值改變時的響應對分析風載荷作用下懸索橋的動力學現象有一定的現實意義。考慮在參數W=1,k=50,ω=0.6,c=0.075時,系統隨激振幅值B變化的激變動力學。圖10為激振幅值B∈(1.5,3)的分岔圖。可以觀察到存在著大量的周期窗口和混沌窗口交替出現的情況。為了更清楚地觀察系統的激變現象,取圖10的子區間B∈(1.96,2.44)觀察系統的激變現象,如圖11所示,圖中綠色虛線表示不穩定的周期軌道,紅色區域、洋紅色區域表示共存的周期吸引子或混沌吸引子。考慮隨著激振幅值B減小時分岔圖的變化,首先當B∈(2.394 1,2.45),系統表現為混沌運動狀態,當B減小到2.41時,系統發生鞍結分岔,從鞍結點分出一支穩定的周期軌道和一支不穩定的周期軌道,當不穩定周期軌道在B=2.394 1處與洋紅色所表示混沌吸引子的邊界發生接觸時,混沌吸引子突然消失,系統發生邊界激變。當激振幅值B繼續減小到2.255時,出現黑色軌線表示的穩定周期1的軌道與紅色區域表示的混沌吸引子共存的動力學現象。隨著B值繼續減小,當B=2.177時,穩定的周期軌道發生周期倍化,并在B=2.099處再次發生周期倍化,直至進入混沌狀態。而紅色區域表示的共存的混沌吸引子在B=2.089退化周期1吸引子。當激振幅值B進一步減小到2.031時,不穩定周期軌道與混沌吸引子內部區域的邊界發生接觸,系統的吸引子尺寸出現突然性增大,此時系統發生了邊界激變,當B最終減小到2.015時,綠色虛線表示的不穩定周期軌道和紅色軌線表示的共存周期1吸引子軌線發生交匯,產生一個鞍結點,形成了一個新的鞍結分岔。

圖10 B∈(1.5,3)時系統的分岔圖

圖11 B∈(1.96,2.44)時不同初值下系統的分岔圖

圖12為系統在不同的激振幅值下的吸引子和吸引域,圖12(a)為B=2.42時的吸引子和吸引域,此時系統處于混沌狀態,白色部分為其吸引子,青綠色區域為其吸引域。圖12(b)(c)分別為B=2.398和B=2.396時的吸引子和吸引域,此時系統處于周期1吸引子和混沌吸引子共存的狀態,紅色圓點表示周期1吸引子,整個黃色區域為周期1吸引子的吸引域,白色區域組成的離散部分表示混沌吸引子,深藍色區域為其吸引域。隨著B值的減小,周期1吸引子的吸引域以針狀結構不斷占據混沌吸引子的吸引域。當B=2.394 1時,系統發生邊界激變,不穩定的周期軌道與外部吸引子的邊界發生接觸。混沌吸引子突然性消失。如圖12(d)所示,當B=2.393時,系統混沌吸引子完全消失,只存在白色圓點表示的周期1吸引子,青綠色區域為周期1吸引子的吸引域。圖12(e)和圖12(f)分別為B=2.035和B=2.030時的吸引子和吸引域,此時系統表現為周期1吸引子和混沌運動狀態共存,紅色圓點表示共存的周期1吸引子,黃色區域表示周期1吸引子的吸引域,白色區域表示混沌吸引子,藍色區域為混沌吸引子的吸引域。可以通過吸引子和吸引域觀察到在B=2.031處系統的混沌吸引子尺寸出現了突然性增大,此時系統發生了內部激變。

圖12 系統在不同激振幅值B下的吸引子和吸引域

5 結論

考慮了一類懸索橋模型,通過數值的方法研究了系統在特定參數下的動力學特性。通過改變阻尼系數和激振頻率,利用分岔圖計算出不同周期吸引子共存、周期吸引子和混沌吸引子共存以及混沌吸引子和混沌吸引子共存的豐富多穩態現象,運用簡單胞映射方法數值模擬得到它們的吸引子和吸引域,進一步說明了多種不同吸引子共存的現象。利用打靶法求出系統的不穩定周期軌道,通過改變激振頻率和激振幅值分別得到系統的分岔圖,觀察到不穩定周期軌道與混沌吸引子接觸時出現的2種不同的激變現象,即內部激變和邊界激變。通過研究激變現象附近參數的吸引域變化,闡述了激變的原理:當混沌吸引子與在其吸引域外部邊界上的不穩定周期軌道接觸時,激振頻率參數通過激變臨界值時混沌吸引子的穩定性完全突然喪失,該類激變稱為外部激變;當混沌吸引子與其吸引域內部的不穩定周期軌道接觸時,激振頻率參數通過激變臨界值,混沌吸引子的大小發生突然性變化,該類激變稱為內部激變。本文的研究結果對實際工程中懸索橋的設計以及提高懸索橋在風致顫振的下的穩定性有一定的理論參考意義。