大單元主題教學(xué)結(jié)構(gòu)化實(shí)踐研究之“整合主題—結(jié)構(gòu)重建課”

陶哲 郭峰

摘 ?要：以“直線與橢圓的位置關(guān)系”為載體，在大單元主題教學(xué)結(jié)構(gòu)下，針對(duì)“整合主題—結(jié)構(gòu)重建課”進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐. 從教學(xué)準(zhǔn)備、教學(xué)實(shí)施、教學(xué)評(píng)價(jià)三個(gè)方面，探索如何精準(zhǔn)定位復(fù)習(xí)課的成長點(diǎn)，設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性的活動(dòng)來優(yōu)化和完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，落實(shí)模式識(shí)別和程序操作，激發(fā)學(xué)生的高階思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：整合主題；結(jié)構(gòu)重建；直線與橢圓

隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)、新教材、新高考的逐步推進(jìn)，通過教學(xué)改進(jìn)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)已然成為業(yè)界共識(shí). 在傳統(tǒng)教學(xué)的復(fù)習(xí)課中，教師往往面臨著一種尷尬的處境：學(xué)生課后仍然是“會(huì)的還會(huì)，不會(huì)的還不會(huì)”. 為了打破這種僵局，北京市朝陽外國語學(xué)校高中數(shù)學(xué)組以“主題”和“結(jié)構(gòu)”為特色，將傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)課演變?yōu)椤罢现黝}—結(jié)構(gòu)重建課”，并構(gòu)建了相應(yīng)的“三段六環(huán)”教學(xué)模式，如圖1所示.

在整合主題單元的課時(shí)教學(xué)的過程中，“三段”指“兩個(gè)針對(duì)、三位一體、鞏固拓展”三個(gè)時(shí)段，而“六環(huán)”則是鑲嵌在三個(gè)時(shí)段中落實(shí)單元主題教學(xué)的相關(guān)要素.

“兩個(gè)針對(duì)”就是“針對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)與高考試題”“針對(duì)學(xué)情找共性與個(gè)性”. 課程標(biāo)準(zhǔn)告訴我們學(xué)業(yè)內(nèi)容和學(xué)業(yè)要求，而高考試題告訴我們高考考查的方向和方式；學(xué)情告訴我們本班學(xué)生對(duì)上述內(nèi)容的掌握程度，課堂上只針對(duì)班級(jí)共性問題設(shè)計(jì)集中講解，個(gè)性問題則可以通過個(gè)別答疑輔導(dǎo)處理.“兩個(gè)針對(duì)”可以確保教學(xué)設(shè)計(jì)是對(duì)路、到位的.

“三位一體”包含三個(gè)環(huán)節(jié)：結(jié)構(gòu)與系統(tǒng)，策略與方法，整合與創(chuàng)新. 結(jié)構(gòu)與系統(tǒng)主要針對(duì)學(xué)生課前繪制的思維導(dǎo)圖進(jìn)行主題結(jié)構(gòu)體系的優(yōu)化與完善. 策略與方法主要針對(duì)主題基本問題的模式識(shí)別與程序落地. 整合與創(chuàng)新主要針對(duì)主題內(nèi)容設(shè)計(jì)有層次的挑戰(zhàn)性問題，激活學(xué)生的高階思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

“鞏固拓展”就是圍繞本課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)一些能體現(xiàn)選擇性、挑戰(zhàn)性及“教—學(xué)—評(píng)”一致性的隨堂練習(xí)和課后作業(yè)，對(duì)本課時(shí)的學(xué)習(xí)效果進(jìn)行診斷與反饋，同時(shí)為下一課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)做好鋪墊.

本文將以“直線與橢圓的位置關(guān)系”為例，對(duì)“整合主題—結(jié)構(gòu)重建課”這種大單元主題教學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行說明.

一、教學(xué)準(zhǔn)備

1. 課程標(biāo)準(zhǔn)與高考試題

（1）課程標(biāo)準(zhǔn)的要求.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，學(xué)生在平面解析幾何單元能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程：根據(jù)具體問題情境的特點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系；根據(jù)幾何問題和圖形的特點(diǎn)，用代數(shù)語言把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；根據(jù)對(duì)幾何問題（圖形）的分析，探索解決問題的思路，運(yùn)用代數(shù)方法得到結(jié)論，給出代數(shù)結(jié)論合理的幾何解釋，解決幾何問題.

（2）高考試題分析.

近年來，涉及“直線與橢圓的位置關(guān)系”的高考試題（北京卷）分布如下：2018年理科第19題的定值問題；2018年文科第20題的弦長、求參數(shù)取值；2019年理科第18題的定點(diǎn)問題；2019年文科第19題的定點(diǎn)問題；2020年第20題的求值問題；2021年第20題的求參數(shù)取值范圍；2022年第19題的求參數(shù)取值；2023年第19題證明直線平行.

在考查直線和圓錐曲線的相關(guān)問題時(shí)，近三年的高考試題全部用到了根與系數(shù)的關(guān)系尋找兩個(gè)交點(diǎn)的聯(lián)系. 其中，定點(diǎn)、定值問題是重點(diǎn)考查內(nèi)容，突出考查了幾何分析、代數(shù)證明、等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想和方法，要求學(xué)生通過分析問題引入變量（代數(shù)）來刻畫運(yùn)動(dòng)變化（幾何），并通過代數(shù)運(yùn)算來證明運(yùn)動(dòng)變化中的不變量或不變關(guān)系，解決問題的過程對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的要求較高，是區(qū)分度很高的題目.

2. 學(xué)情分析

在課前，我們選擇了如下前測(cè)題目. 該題目從三個(gè)方面來反饋學(xué)情：首先，需要對(duì)幾何條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化；其次，需要引入變量刻畫動(dòng)直線和相關(guān)量；最后，通過代數(shù)運(yùn)算來判定是否存在符合條件的定點(diǎn).

題目 ?已知橢圓[C： x2a2+y2b2=1][a>b>0]的一個(gè)焦點(diǎn)為[F3，0]，且該橢圓經(jīng)過點(diǎn)[P3， 12]．

（1）求橢圓[C]的方程；

（2）過點(diǎn)[F]作直線[l]與橢圓[C]交于不同的兩點(diǎn)[A]，[B]，試問在[x]軸上是否存在定點(diǎn)[Q]，使得直線[QA]與直線[QB]關(guān)于[x]軸對(duì)稱？若存在，求出點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

通過分析學(xué)生的作答情況，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生的表現(xiàn)與日常教學(xué)反饋結(jié)果和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)相符，學(xué)生在解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的相關(guān)問題時(shí)存在兩大困難. 首先，學(xué)生在用坐標(biāo)法表示相關(guān)幾何要素的過程中存在困難. 具體地，有約三分之一的學(xué)生無法將“兩條直線關(guān)于[x]軸對(duì)稱”的幾何表述準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為“兩條直線的斜率互為相反數(shù)”的數(shù)量關(guān)系，即轉(zhuǎn)化困難. 其次，學(xué)生在運(yùn)算過程中存在困難. 具體地，能將幾何關(guān)系代數(shù)化的學(xué)生中，又有一半的學(xué)生無法通過坐標(biāo)運(yùn)算求出點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)，即運(yùn)算困難.

二、教學(xué)實(shí)施

1. 結(jié)構(gòu)與系統(tǒng)

本環(huán)節(jié)通過回顧梳理，厘清知識(shí)間的邏輯關(guān)系，師生共同從單元知識(shí)的完備性、各模塊的關(guān)聯(lián)性、模塊內(nèi)知識(shí)的邏輯性、應(yīng)用單元知識(shí)解決的典型問題、知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的觀賞性等維度自主建構(gòu)有機(jī)的知識(shí)體系. 這個(gè)環(huán)節(jié)有利于學(xué)生從整體上把握整章的知識(shí)結(jié)構(gòu)，也有利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)每一個(gè)細(xì)微知識(shí)點(diǎn)的理解.

活動(dòng)課前，學(xué)生已經(jīng)繪制了本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，教師讓幾名學(xué)生對(duì)自己的結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行展示和說明. 針對(duì)這幾名學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，讓其他學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià)和補(bǔ)充，然后師生共同完善知識(shí)結(jié)構(gòu)圖如圖2所示.

【設(shè)計(jì)意圖】在學(xué)完本章全部知識(shí)后，學(xué)生對(duì)于本章知識(shí)的理解存在較大差異，主要體現(xiàn)在：對(duì)個(gè)別知識(shí)要素的認(rèn)知水平存在差異，對(duì)整體知識(shí)結(jié)構(gòu)框架存在差異，對(duì)知識(shí)與知識(shí)之間的聯(lián)系存在差異. 通過展示知識(shí)結(jié)構(gòu)圖、生生互評(píng)，優(yōu)化和完善知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，形成網(wǎng)絡(luò)式的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有助于信息的記憶和提取；同時(shí)突出本單元重點(diǎn)，即解析幾何研究的基本方法，無論是研究曲線的性質(zhì)還是研究平面幾何元素間的位置關(guān)系和度量大小的過程，都是解析幾何五步曲，如圖3所示.

問題1：如何判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系？

預(yù)設(shè)：（1）代數(shù)法：聯(lián)立圓錐曲線方程[C]與直線方程[l]，代入消元消去[y]，整理得到方程[ax2+bx+c=0].

若[a=0]，[b=0]，則方程[ax2+bx+c=0]無實(shí)根，[l]與[C]無公共點(diǎn).（[l]是雙曲線的漸近線.）

若[a=0]，[b≠0]，則方程[ax2+bx+c=0]有一個(gè)實(shí)根，[l]與[C]有一個(gè)公共點(diǎn).（[l]與拋物線的對(duì)稱軸平行、重合，或[l]與雙曲線的漸近線平行.）

若[a≠0]，[Δ>0]，則方程[ax2+bx+c=0]有兩個(gè)不等實(shí)根，[l]與[C]有兩個(gè)公共點(diǎn).

若[a≠0]，[Δ=0]，則方程[ax2+bx+c=0]有兩個(gè)相等實(shí)根，[l]與[C]有一個(gè)公共點(diǎn).

若[a≠0]，[Δ<0]，則方程[ax2+bx+c=0]無實(shí)根，[l]與[C]無公共點(diǎn).

（2）幾何法：在平面直角坐標(biāo)系中畫出圓錐曲線和直線，利用圓錐曲線和直線的性質(zhì)來判定它們的位置關(guān)系.

追問：在用代數(shù)法得到關(guān)于x的方程后，需要注意什么？

預(yù)設(shè)：因?yàn)榉匠痰念愋秃透膫€(gè)數(shù)由方程的參數(shù)決定，所以要注意分類討論.

【設(shè)計(jì)意圖】聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，組成的方程組的根是直線與圓錐曲線的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此可以根據(jù)方程組的根的個(gè)數(shù)判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系. 這是用坐標(biāo)法研究解析幾何問題的重要思想方法，但在研究方程組解的個(gè)數(shù)的過程中，要注意各參數(shù)對(duì)方程的影響，即對(duì)直線與圓錐曲線位置關(guān)系的影響，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

問題2：在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的探索過程中，我們特別研究過哪一類問題？

預(yù)設(shè)：與弦長有關(guān)的問題，定點(diǎn)、定長問題，最值問題，存在性問題，等等.

追問1：你認(rèn)為研究這些問題的基本思路是什么？

預(yù)設(shè)：明確幾何問題—用坐標(biāo)表示幾何要素—利用代數(shù)運(yùn)算求解—回歸幾何得出結(jié)論.

追問2：你自己在解決上述問題中遇到的最大困難是什么？

預(yù)設(shè)：用坐標(biāo)表示幾何要素存在困難，利用代數(shù)運(yùn)算求解存在計(jì)算錯(cuò)誤，等等.

【設(shè)計(jì)意圖】通過問題2及追問，使學(xué)生經(jīng)歷“明確問題”“確定方法”“發(fā)現(xiàn)難點(diǎn)”三個(gè)環(huán)節(jié)，在這一環(huán)節(jié)中發(fā)現(xiàn)自身的優(yōu)勢(shì)和不足，并在后續(xù)學(xué)習(xí)過程中加以注意和提升.

2. 策略與方法

本環(huán)節(jié)對(duì)單元的核心主題進(jìn)行題組的設(shè)置和編排，題目與題目之間、題組與題組之間都應(yīng)該由易到難、由單一到綜合逐步展開，從而循序漸進(jìn)地促使學(xué)生鞏固本單元的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法及其程序，有利于揭示證明或求解某類問題的一般規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)科解決問題的一般思路，提高學(xué)生分析和解決問題的能力.

主題1：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.

例1 ?在平面直角坐標(biāo)系[xOy]中，已知橢圓[C1： x2a2+][y2b2=1 a>b>0]的左焦點(diǎn)為[F1-1，0]，且點(diǎn)[P10，1]在[C1]上．

（1）求橢圓[C1]的方程；

（2）設(shè)直線[l]同時(shí)與橢圓[C1]和拋物線[C2：y2=4x]相切，求直線[l]的方程．

【設(shè)計(jì)意圖】通過例1，讓學(xué)生體會(huì)判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題本質(zhì)上是研究方程組解的個(gè)數(shù)問題．

主題2：定量問題的求解策略.

例2 ?如圖4，已知拋物線[C：x2=4y]，過點(diǎn)[M0，2]任作一條直線與[C]相交于[A，B]兩點(diǎn)，過點(diǎn)[B]作[y]軸的平行線與直線[AO]相交于點(diǎn)[D]（[O]為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（1）證明：動(dòng)點(diǎn)[D]在定直線上；

（2）作[C]的任意一條切線[l]（不含[x]軸），與直線[y=2]相交于點(diǎn)[N1]，與（1）中的定直線相交于點(diǎn)[N2]，證明：[MN2 2-MN1 2]為定值，并求此定值．

【設(shè)計(jì)意圖】通過例2，學(xué)生總結(jié)圓錐曲線中定值問題的特點(diǎn)及兩種解法. 特點(diǎn)：特征幾何量不受動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線的影響，從而有固定的值．兩種解法：從特例入手求出定值，再證明所求量為該定值；引入變量法，其解題流程如圖5所示.

[變量][選擇適當(dāng)?shù)膭?dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)直線系數(shù)作為變量] [函數(shù)][把要證明為定值的量表示成上述變量的函數(shù)] [定值][把得到的函數(shù)化簡，消去變量得到定值] [圖5 ?解題流程]

3. 整合與創(chuàng)新

本環(huán)節(jié)既是對(duì)“策略與方法”環(huán)節(jié)中研究題型的拓展與延伸，又是對(duì)解題過程的反思、總結(jié)與遷移. 對(duì)于同一個(gè)問題，通過從不同角度考慮，運(yùn)用不同的方法和知識(shí)解決問題，有助于模型的識(shí)別，以及在解決問題的過程中建立數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，形成整體性認(rèn)知. 同時(shí)，通過對(duì)不同的方法進(jìn)行分析、比較和整合，有利于促使學(xué)生體會(huì)學(xué)科的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)和方法的靈活應(yīng)用，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力及優(yōu)化解題思路的意識(shí).

例3 ?已知橢圓[E]的長軸的一個(gè)端點(diǎn)是拋物線[y2=45x]的焦點(diǎn)，離心率是[63].

（1）求橢圓[E]的方程；

（2）過點(diǎn)[C-1，0]的動(dòng)直線與橢圓相交于[A，B]兩點(diǎn).

① 若線段[AB]中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是[-12]，求直線[AB]的方程；

② 在[x]軸上是否存在點(diǎn)M，使[MA ? MB]為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)[M]的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

【設(shè)計(jì)意圖】通過例3，找到存在性問題的解答策略：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在. 同時(shí)，通過探究多種可能的解題思路，在生生、師生、生本的交流中對(duì)不同的方法進(jìn)行分析、比較和評(píng)價(jià). 積累從多角度探索不同思路的經(jīng)驗(yàn)，明確每種思路的運(yùn)算方向，體會(huì)不同思路對(duì)應(yīng)的計(jì)算量的區(qū)別，有意識(shí)地優(yōu)化解題思路，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

三、診斷反饋

本環(huán)節(jié)既是對(duì)教學(xué)目標(biāo)是否有效達(dá)成的反饋，也是對(duì)學(xué)情分析中體現(xiàn)出來的難點(diǎn)的檢測(cè). 其中，我們?nèi)匀恢攸c(diǎn)關(guān)注兩個(gè)問題：一是幾何問題到代數(shù)問題的轉(zhuǎn)化是否正確，二是運(yùn)算準(zhǔn)確性是否有所提升. 另外，通過完善知識(shí)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)一步完整地構(gòu)建本單元知識(shí)體系，進(jìn)一步提升學(xué)生解決綜合問題的能力. 相應(yīng)作業(yè)安排如下.

作業(yè)1：已知橢圓[C： x2a2+y2b2=1a>b>0]過點(diǎn)[P2，1]，且該橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)[F1]，[F2]為等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn).

（1）求橢圓[C]的方程；

（2）設(shè)直線[l]不經(jīng)過點(diǎn)[P]且與橢圓[C]相交于[A]，[B]兩點(diǎn). 若直線[PA]與直線[PB]的斜率之積為1，證明直線[l]過定點(diǎn).

作業(yè)2：完善課前的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，尤其注意結(jié)合自身優(yōu)勢(shì)和不足進(jìn)行設(shè)計(jì).

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