經歷課題研究過程 開展數學探究活動

雷曉莉 楊若晨

摘 ?要：數學探究活動是運用數學知識解決數學問題的一類綜合實踐活動，也是高中階段數學課程的重要內容. 楊輝三角是一個很有價值的探究課題. 根據課題內容及對學生在知識、能力等方面的分析，確定單元教學目標，將單元分為三個課時，采用課題研究形式進行探究.

關鍵詞：數學探究；單元教學；楊輝三角

一、單元教學內容和內容解析

“楊輝三角的性質與應用”是人教A版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第三冊第六章的數學探究活動，其核心內容是對楊輝三角性質與應用的探究，共需3個課時. 第1課時是初識楊輝三角，包括楊輝三角的歷史文化、構成規則及楊輝三角與二項式系數的聯系等內容，為探究活動奠定知識基礎；第2課時主要是楊輝三角的研究內容和研究方法，為探究活動奠定能力基礎；第3課時主要是楊輝三角探究成果的匯報. 本單元的內容結構如圖1所示.

楊輝三角是一個很有價值的探究性課題. 從知識價值來說，探究楊輝三角中的數字規律不僅有助于鞏固之前學習過的二項式系數的性質，而且對進一步認識組合數，進行組合數的計算和變形具有重要的促進作用，從而能夠豐富數學知識，建立不同知識之間的聯系. 從探究價值來說，楊輝三角是一個特殊的數陣，學生可以在探究楊輝三角性質的過程中，體會研究一般數陣的方法，并在“觀察—歸納—猜想—證明”的探究過程中體驗數學發現和創造的歷程，培養創新精神和數學應用意識. 不僅如此，楊輝三角還有很強的應用價值，學生通過對楊輝三角的探究，可以掌握楊輝三角的相關知識，進而利用這些知識解決一些實際問題. 楊輝三角體現了中國古代數學家的智慧，有助于增強學生的民族自豪感和文化自信，同時學生可以在對楊輝三角的探究中發現數學之美，感受數學文化，提高數學學習興趣. 因此，楊輝三角具有很強的育人價值.

二、單元教學目標和目標解析

本單元是以“楊輝三角”為主題的數學探究活動，學生以課題研究的形式從不同的角度進行探究. 本單元的學習目標如下.

1. 知道楊輝三角是特殊的數陣，了解楊輝三角的歷史文化、構成規則及楊輝三角與二項式系數的聯系，發展數學抽象和邏輯推理素養

這一目標主要通過本單元的第1課時教學得以體現.

（1）目標分析.

為了最終能把對楊輝三角這一特殊數陣的探究心得推廣到一般的數陣，有必要讓學生先將“楊輝三角”納入“數陣”這一上位概念. 為此，在第1課時可以采取奧蘇貝爾提出的先行組織者策略，先給出概括性、包攝性更強的“數陣”，為“楊輝三角”的探究提供固著點. 然后進行下位學習，經歷強抽象（外延縮小、內涵擴大）的過程，讓學生認識到楊輝三角就是一個特殊的三角數陣.

楊輝三角能夠很好地體現中國古代數學家的智慧，因此，學生有必要了解楊輝三角的歷史文化，從而增強民族自豪感和文化自信.

為了得到楊輝三角的構成規則，學生需要對楊輝三角的數字特征進行觀察，從數量與數量關系中抽象出楊輝三角的一般結構，并用數學語言予以表征. 獲得數學概念和規則是數學抽象的主要表現之一.

學生只有將楊輝三角與二項式系數相聯系，才能在探究中將楊輝三角的數字規律用二項式系數進行表示，進而利用已經學習過的組合數和二項式定理的知識對發現的規律進行證明. 因此，學生需要思考楊輝三角與二項式系數的聯系，發現楊輝三角第[nn∈N+]行的各數就是[a+bn]展開式的二項式系數. 進一步，為了解釋存在這種聯系的內在原因，學生需要將問題進行多次轉化，厘清內在的邏輯，直到轉化為證明[C0n=Cnn=1]和[Crn=Cr-1n-1+Crn-1]這兩個式子，進而探索和表述對這兩個式子的論證過程. 探索和表述論證的過程，即有邏輯地表達與交流是邏輯推理的主要表現之一.

（2）達成這一目標的標志.

學生知道楊輝三角是一種特殊的三角數陣，能通過楊輝三角的歷史文化增強民族自豪感. 學生能通過觀察，抽象概括出楊輝三角兩條斜邊都由數字1組成，其余的數都等于它肩上的兩數之和. 學生能發現楊輝三角第[nn∈N+]行的各數就是[a+bn]展開式的二項式系數，并通過邏輯推理對楊輝三角與二項式系數間存在這一聯系的內在原因進行解釋.

2. 探究得出楊輝三角的常見性質，發展邏輯推理和數學運算素養

這一目標主要通過本單元第2課時教學后的小組探究和第3課時的探究成果匯報得以體現.

（1）目標分析.

本單元是針對楊輝三角性質與應用的數學探究活動，探究得出楊輝三角的常見性質是本單元的主要教學目標之一. 為了更好地得出楊輝三角的常見性質，學生在第1課時將“楊輝三角”納入“數陣”這一上位概念，并在第2課時通過類比推理，將一維的數列的研究內容和研究方法遷移到二維的數陣，為得出楊輝三角的性質奠定了基礎. 類比推理是一種從特殊到一般的推理形式.

學生在第2課時學習后開展小組探究. 探究中，為了得出楊輝三角的常見性質，學生需要觀察歸納楊輝三角的數字特征，并主要用演繹推理的方式對發現的規律進行證明. 演繹推理是一種從一般到特殊的推理形式. 例如，在證明楊輝三角第 n 行的數字之和是[2n]時，需要根據一般的二項式定理，將[a+bn]中的 a 和 b 都取特殊值1，即可得證，這是一個演繹推理的過程.

無論是類比推理，還是演繹推理，都是推理的基本形式. 掌握推理的基本形式和規則是邏輯推理的主要表現之一. 學生可以在楊輝三角常見性質的匯報中進行充分地表達與交流，發展邏輯推理素養. 為了得出楊輝三角的性質，學生需要理解運算對象（如將數字規律用組合數表示），掌握運算法則（如組合數的運算法則和性質），探究運算思路（如將組合數轉化為階乘形式），求得運算結果，這體現了數學運算素養.

（2）達成這一目標的標志.

學生能從不同角度觀察楊輝三角，把其中的規律用文字語言和符號語言（組合數）表示出來，加之說明或證明，從而得到楊輝三角的常見性質.

3. 應用楊輝三角解決一些實際問題，發展數學建模素養

這一目標主要通過本單元第2課時教學后的小組探究和第3課時的探究成果匯報得以體現.

（1）目標分析.

本單元是針對楊輝三角性質與應用的數學探究活動，應用楊輝三角解決一些實際問題是本單元的主要目標之一. 學生需要用數學的語言進行表達，將垛積問題、彈球游戲等實際問題轉化為數學問題，在應用楊輝三角解決實際問題的過程中提升數學建模素養. 數學建模是應用數學知識解決實際問題的基本手段. 楊輝三角的應用能夠很好地體現學生的數學建模的素養. 學生能夠應用楊輝三角解決實際問題，提升實踐能力.

（2）達成這一目標的標志.

學生能結合楊輝三角涉及的基礎知識，參考相關資料，對實際問題建立數學模型，將其轉化為數學問題，并應用楊輝三角解決.

4. 體會研究一般數陣的方法，發展數學抽象素養

這一目標主要通過本單元第2課時對數陣研究方法的教學和第3課時學生對探究活動的總結得以體現.

（1）目標分析.

在第2課時，學生對探究數陣的一般方法進行學習，并在課后的小組探究中以楊輝三角為載體進行實踐. 在對楊輝三角進行探究時，學生需要經歷將楊輝三角數字規律用組合數表示的符號化過程. 符號表達是數學抽象的一個重要的層次.

在第3課時，學生把對楊輝三角這一特殊數陣的探究心得推廣到一般的數陣，經歷弱抽象（外延擴大、內涵縮?。┑倪^程，形成研究一般數陣的方法與思想. 形成數學方法與思想是數學抽象的主要表現之一. 學生在楊輝三角數學探究活動中體會研究一般數陣的方法，從事物的具體背景中抽象出一般規律（從楊輝三角這一具體背景中抽象出一般數陣的研究方法），可以在這一過程中發展數學抽象素養.

（2）達成這一目標的標志.

學生能夠形成有序的思維，經歷“觀察—歸納—猜想—證明”的過程. 學生在對楊輝三角探究的過程中能不斷體會研究數陣的方法和策略，并能在第3課時最后總結收獲的時候說出對本次數學探究活動的心得體會，從楊輝三角這一具體背景抽象出一般數陣的研究方法. 學生能利用楊輝三角的探究方法探究其他數陣.

5. 增強合作精神，提高交往能力，發展主動學習和主動思考的意識

這一目標主要通過本單元第2課時教學后的小組探究和第3課時的探究成果匯報得以體現.

（1）目標分析.

數學探究活動是圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程. 通過自主探究、合作研究論證數學結論是數學探究活動的具體表現之一. 因此，學生需要在第2課時教學后的小組探究中將自主探究與合作研究進行結合，并在這一過程中增強合作精神，提高交往能力，發展主動學習和主動思考的意識.

（2）達成這一目標的標志.

各小組能組內分工明確，各盡所長，將自主探究與合作研究相結合，有集體意識，能齊心協力，在積極的合作探究過程中有參與、有貢獻、有收獲.

三、教學問題診斷分析

本單元教學中，學生以楊輝三角為研究對象，需要探究楊輝三角的性質，并應用楊輝三角解決一些實際問題.

知識方面，學生之前在本章第二節“排列與組合”學習了組合數，在本章第三節“二項式定理”學習了二項式系數的性質，這些都為“楊輝三角”的探究奠定了基礎. 但是學生觀察、歸納楊輝三角性質的效率有賴于學生對楊輝三角涉及的基礎知識（如楊輝三角的構成規則及其與二項式系數的聯系）掌握的熟練程度，而且學生對發現的規律進行證明的時候可能會用到楊輝恒等式等知識. 所以學生在探究之前需要具備一定的知識基礎，這是本單元在第1課時教學中需要完成的任務.

能力方面，學生已經具備了一定的綜合分析問題的能力，適時地用問題引導就能建立起知識間的聯系，從而解決相關問題. 但是由于學生做過的數學探究活動不多，尤其是沒有研究數陣的經驗，所以預計學生對數陣中規律的發現和歸納還有一定的困難，對性質的解釋或證明也難度較大，而且楊輝三角的應用綜合性較強，以學生現有的能力很難獨立完成探究. 因此，學生在探究前需要具備一定的能力基礎，需要教師根據學生的情況適當地進行指導和引導. 這是本單元在第2課時教學中需要完成的任務.

四、單元教學任務結構圖

本單元的教學任務結構如圖2所示.

五、教學過程設計

第1課時：初識楊輝三角.

環節1：課堂導入，下位學習.

教師呈現如下問題.

問題1：按照確定順序排列的一列數是數列，如果研究的內容從一維拓展到二維，那么將數字按照一定順序組合成的圖形就是數陣. 你之前接觸過數陣嗎？

教師引導學生體會研究路徑：對于一個新的內容，需要一個研究的載體，就像研究數列時，我們從特殊的等差數列和等比數列入手. 對于數陣的研究也可以如此.

教師呈現“楊輝三角”，并說明它就是我們數學探究活動的研究對象.

學生在問題1的引領下，回顧數列的概念，并通過類比推理，認識數陣的概念.

在教師的引導下，學生明確研究路徑：可以從一個具體的數陣開始進行探究. 由于一些學生在小學或初中的時候就聽說過楊輝三角，不難想到楊輝三角就是一個特殊的三角數陣.

【設計意圖】本環節完成了“了解數陣的概念，知道楊輝三角是一種特殊的數陣”這一目標. 這一目標的完成，不僅有助于在第2課時讓學生更深刻地認識數學探究活動的研究對象，而且有助于在第3課時學生總結收獲的時候將對楊輝三角的探究心得推廣到一般數陣.

環節2：了解歷史，感受文化.

問題2：你知道楊輝三角的歷史由來嗎？

教師引導學生閱讀關于楊輝三角的文獻資料. 學生在教師的引導下了解楊輝三角的歷史背景，并通過中國古代的數學成就提高民族自豪感，增強文化自信.

【設計意圖】楊輝三角能夠很好地體現中國古代數學家的智慧，因此，學生有必要了解楊輝三角的歷史文化，從而增強民族自豪感和文化自信，進而完成“了解楊輝三角的歷史”這一學習目標.

環節3：洞悉規律，建立聯系.

問題3：楊輝三角是按照怎樣的規則構成的？

教師呈現楊輝三角，引導學生對楊輝三角進行深入觀察. 學生在教師的啟發下理解、觀察，不是單純地看一看，而是要包含積極的思維過程，要有目的. 學生通過觀察，發現楊輝三角在構成上的數字特征. 然后，教師引導學生用清晰精練的語言總結楊輝三角的構成規則：楊輝三角兩條斜邊都由數字1組成，并且其余的數都等于它肩上的兩數之和，如圖3所示.

學生在教師的引導下觀察楊輝三角的特征，并用清晰精練的語言表述楊輝三角的構成規則.

【設計意圖】讓學生觀察楊輝三角的特征，完成“掌握楊輝三角的構成規則”這一目標. 一方面，有助于學生加深對楊輝三角的認識，提升自主探究的能力；另一方面，有助于學生初步體會觀察的方法，為后續觀察楊輝三角其他的數字規律作準備.

學生從數量與數量關系中抽象出楊輝三角的一般結構，并用數學語言予以表征，從而獲得楊輝三角的構成規則. 獲得數學概念和規則是數學抽象的主要表現之一.

問題4：楊輝三角與二項式系數有何聯系？

教師引導學生根據二項式定理分別寫出 n 取各個正整數時展開式中的二項式系數，并將這些二項式系數按照如圖4所示的形式排列.

學生通過計算組合數，不難發現圖4的數陣與圖3的數陣是一致的（除了圖3最上面的數之外）. 在教師的指導下，學生認識到：為了排除圖3最上面的數的干擾，從而讓楊輝三角與二項式系數對應起來，我們稱楊輝三角最上面一行為第0行. 這樣，除了楊輝三角最上面的數之外，楊輝三角與二項式系數就建立起了一一對應的關系.

在此基礎上，教師引導學生對楊輝三角與二項式系數的聯系進行歸納概括：楊輝三角第 n[n∈N+]行的各數就是[a+bn]展開式的二項式系數，如圖5所示.

【設計意圖】學生在教師的引導下建立起知識之間的聯系，完成“發現楊輝三角與二項式系數的聯系”這一目標，這一目標的達成有利于學生在后續探究中將楊輝三角的數字規律用二項式系數進行表示，進而利用已經學習過的組合數和二項式定理的知識對發現的規律進行證明.

問題5：楊輝三角（除了最上面的數）與二項式系數為何一一對應？

學生思考楊輝三角與二項式系數的內在聯系，回顧楊輝三角的構成規則，對問題進行適當轉化. 如果學生回答上述問題有困難，教師可以引導學生思考下列問題，逐步厘清思路.

（1）為什么圖5左右兩邊的數陣是一樣的？

（2）如何證明圖5左邊的數陣就是楊輝三角？

（3）圖5左邊的數陣符合楊輝三角的構成規則嗎？

教師根據學生的反饋情況，步步追問，幫助學生對問題進行多次轉化：要證明楊輝三角第 n[n∈N+]行的各數是[a+bn]展開式的二項式系數，就是證明圖5左右兩邊的數陣一樣. 如果能證明[a+bn][n∈N+]的展開式的二項式系數構成的數陣符合楊輝三角的構成規則，那就可以說明圖5左邊的數陣就是右邊的數陣. 因此，問題解決的焦點就是證明圖5左邊的數陣符合楊輝三角的構成規則，即證明[C0n=Cnn=1]，且[Crn=Cr-1n-1+Crn-1]. 對于[C0n=Cnn=1]，學生可以由組合數的意義直接得出，無需教師過多引導.

對[Crn=Cr-1n-1+Crn-1]的證明有一定的難度，教師根據學生的反饋情況進行引導. 一方面，可以將組合數轉化成階乘形式進行嚴格的數學證明；另一方面，可以創設一個問題情境來說明[Crn=Cr-1n-1+Crn-1]是正確的. 例如，從 n 個元素（含甲）中取出 r 個元素，有[Crn]個方法數，而這件事可以分成“從 n 個元素中取出 r 個含甲的元素”和“從 n 個元素中取出 r 個不含甲的元素”兩類，這兩類的方法數分別是[Cr-1n-1]和[Crn-1]，根據分類加法計數原理，從 n 個元素（含甲）中取出 r 個元素的方法總數為[Cr-1n-1+Crn-1]，這就說明了[Crn=Cr-1n-1+Crn-1]是正確的. 這樣，就找到了楊輝三角（除了最上面的數）與二項式系數一一對應的內在原因. 教師讓學生注意[Crn=Cr-1n-1+Crn-1]這個式子，它具有重要的意義，被稱作“楊輝恒等式”.

【設計意圖】解釋楊輝三角與二項式系數聯系的內在原因不僅有助于加深學生對楊輝三角與二項式系數的認識，而且其中提到的楊輝恒等式為后續的探究活動奠定了基礎. 至此，完成“發現楊輝三角與二項式系數的關系，并洞悉其內在原因”這一學習目標.

環節4：課堂小結，總結收獲.

問題6：通過本節課的學習，你對楊輝三角有什么新的認識？

教師引導學生回顧本節課所學的知識并進行總結. 這節課先學習了數陣的概念，以及一種特殊的數陣——楊輝三角，隨后了解了楊輝三角的歷史由來和構成規則，認識了楊輝三角與二項式系數的聯系，以及存在這種聯系的內在原因.

楊輝三角有哪些有趣的性質和應用？我們該如何探究？要回答這些問題，就需要進入下一課時的學習.

第2課時：楊輝三角的研究內容和研究方法.

環節1：復習回顧.

問題1：楊輝三角與二項式系數有何聯系？

環節2：探究指導.

問題2：我們可以從哪些方面探究楊輝三角？

學生在教師的指導下明確數學探究活動的研究內容：楊輝三角的性質，楊輝三角的應用.

追問1：什么是楊輝三角的性質？

學生在教師的指導下思考什么可以稱為“性質”. 學生可能會根據自身的理解對這個問題進行解釋，如楊輝三角的性質就是楊輝三角的數字特征和規律. 這時，教師可以借機讓學生說出楊輝三角的其中一條性質. 由于學生這方面的經驗較少，因此教師可以準備一些例子，當學生感到困惑時，教師舉例說明什么可以稱為楊輝三角的性質. 例如，將楊輝三角每一行的各個數字相加求和，分別是1，2，4，8，16，32，…，不難發現這些都是2的指數冪. 行數在變，每一行的數字也不盡相同，但無論怎么變，每一行的數字之和都是2的指數冪，這種數字變化中的不變性就是我們要探究的楊輝三角的“性質”.

這樣，我們就可以歸納出楊輝三角的一個性質：第 n 行的數字之和是2的 n 次冪. 學生通過這個特殊的例子，明確了什么是楊輝三角的性質.

追問2：什么是楊輝三角的應用？

學生根據自身的理解，聯系之前接觸過的將數學知識進行應用的情境，對這一問題進行思考. 教師可以向學生介紹，楊輝三角的應用是一個比較綜合的問題，包括開方、堆垛術、等差級數等.

【設計意圖】學生在探究之前有必要明確需要研究楊輝三角的哪些方面，即研究內容是什么，這有助于學生在后續的探究中明確思路，清晰目標.

問題3：我們應該如何探究楊輝三角？

學生在上一個問題中明確了研究內容，在此基礎上，學生還需要掌握探究性質和應用的方法分別是什么.

追問1：如何探究楊輝三角的性質？

學生可能會提到在探究問題時“觀察—歸納—猜想—證明”的一般思路，教師可以借機讓學生思考：對于楊輝三角，應該如何更好地觀察出它的數字規律？若學生有困難，教師可以給出蘇軾的哲理詩《題西林壁》：橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同. 不識廬山真面目，只緣身在此山中. 學生受這首詩前兩句的啟發，認識到可以從不同的角度（橫看、斜看）觀察楊輝三角，從而發現一些規律. 橫看，即取一橫行的數進行觀察，看看有沒有什么特點，如前面提到的“第 n 行的數字之和是2的 n 次冪”就是通過“橫看”發現的規律. 斜看，即取一斜行的數進行觀察，看看有沒有什么特點. 這首詩的后兩句則啟發學生不能僅拘泥于局部，還要放眼整體，如看看楊輝三角奇數和偶數在整體分布上的特點，可能也會得出一些結論，但是這就需要寫出楊輝三角更多的數.

教師進一步引導學生思考：發現的“規律”成為楊輝三角的“性質”還需要經過哪些環節？學生不難想到，觀察發現的規律不一定正確，需要總結成一般的結論，并經過證明，才可以稱為“性質”. 教師建議學生準備兩個楊輝三角，如圖6所示.

用圖6右側的楊輝三角（數字表示）更易尋找規律，用圖6左側的楊輝三角（組合數表示）更易總結和論證規律. 例如，用圖6右側的楊輝三角容易發現“第n 行的數字之和是2的 n 次冪”，然后可以對應到圖6左側的楊輝三角，將規律用組合數表示就是[C0n+C1n+…+][Cnn=2n]，形成結論. 進而根據二項式定理，利用賦值法即可證明該結論.

追問2：如何探究楊輝三角的應用？

楊輝三角應用廣泛，這些應用有的是楊輝三角與數學學科的其他知識（如開方運算、高階等差數列、斐波那契數列）的聯系，有的是楊輝三角與其他學科、其他領域的聯系（如彈球問題），涉及的知識比較豐富，因此學生不僅需要對楊輝三角的常見性質有一定的了解，還需要查閱一些相關資料. 教師為學生提供華羅庚先生的《從楊輝三角談起》，并指導學生查閱資料的方法，讓學生課后閱讀書籍，查找資料，對楊輝三角的應用進行探究和學習.

【設計意圖】關于性質，由于學生沒有研究數陣的經驗，對楊輝三角性質的探究難度較大，因此有必要讓學生在探究前掌握研究方法，明確“觀察—歸納—猜想—證明”的一般思路，了解觀察數陣中數字規律的常見角度，以及對規律進行證明的常見方法. 關于應用，學生需要明確，應該先探究楊輝三角的性質，對楊輝三角有較為深入的認識，然后再應用楊輝三角的知識去解決問題. 由于楊輝三角的應用綜合性較強，學生很難獨立發現并完成，故希望學生建立起知識間的聯系，并提升查閱文獻資料進行探究學習的能力.

環節3：探究準備.

學生按要求進行分組，并分工，安排課題研究的四個環節：選題，開題，做題，結題. 各組選出一名學生對該組的日常探究活動進行記錄，并最終整理研究成果，撰寫研究報告.

第3課時：楊輝三角探究成果的匯報.

環節1：回顧探究.

教師播放課前錄制的視頻，幫助學生回顧前期的楊輝三角探究過程.

環節2：小組匯報.

問題1：著眼于局部，橫看楊輝三角，有哪些性質？

A組研究成果的匯報：楊輝三角中每一行數字的平方和都是楊輝三角中的數，即[C0n2+C1n2+…+Cnn2=][Cn2n].

A組的學生用數學歸納法進行嚴謹的代數證明，教師和其他組的學生提出此結論也可以通過寫出二項展開式用賦值法加以證明.

B組研究成果的匯報：楊輝三角第0行是11的0次冪，第1行是11的1次冪，第2行是11的2次冪，經過驗算，11的3次冪正好是第3行. 因此猜測：將楊輝三角第 n 行數字依次寫下來是11的 n 次冪. 接著，驗算11的4次冪是否正確，發現11的4次冪是14 641，仍然符合猜想. 但再進一步，11的5次冪為161 051，這就與猜想不相符了.

學生回顧11的4次冪是通過1 331 × 11計算得到的. 從這里會發現，14 641其實是兩個1331錯位相加得到的. 而11的5次冪也可由兩個14 641錯位相加得到，但14 641錯位相加時進位了，這就會出現問題. 進而，教師引導學生只需要把這個結論改一改：將楊輝三角中每一行數字錯一位疊加所得到的結果是11的若干次冪. 對于這一結論，學生分別用數學歸納法和用賦值法進行了證明.

問題2：著眼于局部，斜看楊輝三角，有哪些性質？

C組研究成果的匯報：（1）與楊輝三角邊平行的數列，從第二斜行開始，每一斜行相鄰兩數的差是上一斜行的數，如圖7所示.（2）每一斜行的前 n 個數加起來都是下面一行的第 n 個數. 如圖8所示：1 + 2 + 3 + 4 = 10，1 + 3 + 6 + 10 = 20.

對于第（1）條性質，可以表示成組合數后加以證明. 在學生得出這個規律后，教師簡單介紹高階等差數列的概念，師生共同歸納得到楊輝三角的第[k+1]條斜線上的數組成的數列成 k 階等差數列.

學生解釋第（2）條性質成立的必然性，思考圖8中的20可以怎么拆分：可以固定20右肩上的數，不斷地拆分20左肩上的數，依次往上拆分，如圖9所示. 學生通過分析具體數字“20”的拆分過程，更清晰、具體地看出這個結論成立的條件還是楊輝恒等式；學生還可以拆分右肩上的數，發現結果是一樣的. 在此基礎上，可以從特殊到一般總結規律，用組合數表達楊輝三角的這一性質：[Crr+Crr+1+Crr+2+…+Crn-1=Cr+1nn>r].

學生在證明上一結論后，利用楊輝恒等式[Crn=][Cr-1n-1+Crn-1]，每一個數向上拆分，還能發現：3 + 1 + 6 + 4 + 1 = 15，4 + 6 + 5 + 10 + 10 = 35，將梯形中的5個數相加就是下面隔行的數，如圖10所示. 這個結論的得出與第（2）條性質類似：因為楊輝三角的每一個數都是肩上兩數之和，于是可以進一步向上推導，如15 = 10 + 5 =[6+4]+[4+1]= 6 + 4 + 1 +[3+1]，就得到了這個結論. 從特殊到一般，總結規律，用組合數來表示就是[Crn+Cr+1n+Crn+1+][Cr+1n+1+Cr+2n+1=Cr+2n+3 n>r].

問題3：著眼于整體，你有哪些發現？

D組研究成果的匯報：圈出所有的奇數，發現有些行的所有數都是奇數. 再進一步概括所有數都是奇數的是哪些行，發現行數分別是1，3，7，15，31，…. 進而猜想：第[2n-1 n∈N+]行所有項都是奇數. 對于該結論的證明，可以從特殊著手，發現第[2n-1 n∈N+]行若左邊的數是奇數，則由反證法可推出右邊與其相鄰的數必是奇數. 通過對特殊情況的分析，發現若想證明第[2n-1 n∈N+]行某個數是奇數，有賴于它左邊的數是奇數，即滿足前一項推后一項的特點，進而想到用數學歸納法進行證明.

問題4：楊輝三角有哪些應用？

E組研究成果的匯報：楊輝三角在我國古代被用作開方的工具. 如何利用楊輝三角解決開方問題呢？古代數學家用楊輝三角進行開方運算的方法比較復雜，書籍中的記載也比較晦澀難懂. 學生呈現兩個利用楊輝三角進行開方求解的例子. 通過這兩個具體的例子，簡單了解楊輝三角在開方問題中的應用.

F組研究成果的匯報：F組用紙筒做了道具，介紹“三角垛”. 過去，商人們在堆放瓶瓶罐罐這類物品時，為了節省地方，常把它們壘成許多層，俗稱“垛”.

題目 ?每層擺成三角形的就叫“三角垛”，如圖11所示. 如圖12，一個三角垛，底層是每邊堆 n 個圓球的三角形，向上逐層每邊減少1個，頂層是1個，共有多少個球？（用n表示.）

三角垛從上往下每層球數構成數列1，3，6，10，…，[nn+12]，“求總數”就是求這個有窮數列的和，即探究二階等差數列的一般求和公式.

學生想到之前“斜看”楊輝三角時得出的性質：楊輝三角的第[k+1]條斜線上的數組成的數列成 k 階等差數列. 再結合性質：每一斜行前 n 個數加起來都是下面一行的第 n 個數，得出如下的高階等差數列求和公式：

[1+1+1+…+1=n]；

[1+2+3+…+C1n-1=C2n]；

[1+3+6+…+C2n-1=C3n]；

[1+4+10+…+C3n-1=C4n].

教師提出問題：在彈球游戲中，兩端區域的獎品價值高，中間區域的獎品價值低，怎樣解釋這一現象？

如圖13，一個小球向下跌落，碰到第1層阻擋物后等可能地向兩側跌落，那么到第2層兩個縫隙的路徑數分別是1，1. 小球碰到第2層阻擋物后，再等可能地向兩側的第3層跌落，到第3層三個縫隙的路徑數分別是1，2，1. 小球碰到第3層阻擋物后，再等可能地向兩側的第4層跌落，到第4層四個縫隙的路徑數分別是1，3，3，1. 不難發現這就構成了如圖14所示的楊輝三角. 結合二項式系數的增減性與最大值，容易發現小球掉到兩邊的概率小，掉到中間的概率大.

環節3：探究小結.

問題5：在整個數學探究活動中，我們對楊輝三角的研究采用了哪些探究方法？這些方法對你研究數陣有什么新的啟示？

教師根據學生的回答進行總結，引導學生把對楊輝三角的探究心得推廣到一般的數陣. 對于一般的數陣，我們同樣可以研究數字變化中不變的規律，試著從不同角度（橫著看、豎著看、斜著看等）進行觀察，并將數陣中的數按照一定的順序求和、求平方和、作差、乘積、作商等. 教師還可以根據學生的回答，引導學生總結小組合作學習的優勢，并將這種學習方式適當地應用到其他情境中. 最后，教師對學生進行鼓勵：雖然本次的探究活動接近尾聲，但是我們的探究熱情應該延續下去！

學生回顧探究歷程，總結自己在整個楊輝三角探究活動中的收獲和感想.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］章建躍. 通過計數原理感悟運算真諦 ?利用排列組合提升思維品質［J］. 數學通報，2021，60（11）：6-13.

［3］陳碧文.“楊輝三角中的一些秘密”教學設計［J］. 中國數學教育（高中版），2015（4）：48-52.