大單元主題教學結構化實踐研究之“化錯主題—結構完善課”

蘭久和 肖倩

摘 ?要：在大單元主題教學結構下，遵循“化錯主題—結構完善課”的“三段八環”教學模式，以區統考試題中圓錐曲線中的最值問題為載體，開展試卷講評課的教學實踐活動. 通過研究課程標準把握高考、分析考情專題糾錯、針對練習反饋效果三個教學階段，探索如何針對學生的考試情況確定試卷講評的主題，設計尋找錯因、探索正解和總結措施等獨立思考或合作教學活動，讓學生經歷完善知識結構、形成解題策略和規范書寫解答等學習過程，豐富學習活動經驗，提高分析和解決問題的能力，提升數學核心素養.

關鍵詞：試卷講評；結構完善；最值問題

北京市朝陽外國語學校順應國家教改要求，提出“高中數學大單元主題教學結構化”的課堂教學模式. 把新授課、復習課和試卷講評課分別整理為“探究主題—結構初建課”“整合主題—結構重建課”“化錯主題—結構完善課”三種課型，并進行了教學實踐活動. 其中，“化錯主題—結構完善課”的“三段八環”教學模式，如圖1所示.

“化錯主題—結構完善課”的“三段八環”課堂教學模式是把測試獲得的“差錯資源”作為課堂教學資源，通過學生自我反思、小組合作等學習形式，充分暴露學生思維的偏差或不足，幫助他們尋找產生差錯的根源，從而找到化錯的策略和方法.“三段”包括試題介紹、數據分析、專題糾錯三個時段，“八環”則是鑲嵌在三個時段中落實單元主題教學的幾個要素.

試題介紹包含命題意圖、目標達成兩個環節. 通過命題意圖及建立在雙向細目表基礎上的目標達成度分析，讓學生更清楚該主題的知識架構及重點和難點分布，同時知道自己相對于教師預期要求的達成情況，進而調整學習重心.

數據分析能顯示出個別錯誤和傾向錯誤兩類錯誤，為教師確定化錯微專題提供數據支撐，也為學生明確自己出現的錯誤屬于個別性錯誤還是傾向性錯誤提供依據，然后進行策略性化錯，緩解焦慮情緒.

專題糾錯主要針對傾向性錯誤，以微專題的形式進行糾錯. 先后經歷“錯在哪里、錯因分析、正解探索、措施探索”四個環節. 這種微專題糾錯方式既可以解決逐題講評的低效問題，也可以規避“針對錯題，就題講題”缺乏系統性的問題，切實提高學生通過考試檢測自身學習效果并從試題分析中完善知識結構的能力.

本文將以高三二模試卷講評課為例對“化錯主題—結構完善課”課堂教學模式進行實踐教學研究.

一、明確課程標準要求，把握考試方向

1. 課程標準要求

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）中關于“圓錐曲線”的學業要求第五條是“了解橢圓、拋物線的簡單應用”，沒有明確直線與圓錐曲線的位置關系的要求.

2. 歷年高考試題情況

縱觀北京卷歷年高考試題，在考查圓錐曲線的綜合試題中，主要以直線與橢圓、拋物線的位置關系為背景，以定值定點問題、范圍最值問題、定格探索問題等形式呈現，突出考查數形結合、邏輯推理和數學運算能力. 其中，2001年、2007年、2008年、2010年、2011年、2014年都是考查最值問題，具體包括求面積、線段長、數量積、參數的最值等問題. 另外，有些難度較大的選擇題和填空題中也會出現最值問題. 為此，在結構完善課中更要突出強化和完善此類問題的解決.

二、遵循“三段八環”，展開教學實踐

高三的試卷講評課容易因逐題講解而導致效率低下. 在大單元主題教學中的結構完善課中，把重點知識模塊分散到幾次試卷講評課中來完成講解，不盲目追求數量，重視以提高學生能力為目標，構建了基于“三段八環”的“化錯主題—結構完善課”教學模式. 此教學模式先分析考試數據，爭取精確到個人，了解每名學生的錯誤和需要提升的點，在上課時選擇典型問題進行呈現并討論糾錯，然后進行針對性訓練，達到每個人都有所提高的目的.

1. 試題介紹

第一階段，試題介紹，主要包括兩個環節：明確試題的命題意圖，了解測試的目的；根據雙向細目表和學生的答題情況分析目標的達成度. 該試卷是北京市朝陽區高三第二次模擬試卷，考試范圍是高考范圍，包括復數、函數與導數、三角函數與解三角形、平面解析幾何、空間向量與立體幾何、集合與常用邏輯用語、等式與不等式、平面向量、數列、計數原理與概率統計.

（1）命題意圖.

北京市朝陽區高三下學期有兩次重要的模擬考試，基本按照高考標準執行，目的都是讓學生熟悉考試流程，了解考試形式和考試難度，同時診斷前期復習效果，為后期教師的教與學生的學提供改進和提高的依據. 這套試卷形式規范，題目也常規，難度適中且螺旋上升，學生做起來相對順利.《標準》提出教學評價要關注學生的發展，要多樣化，既要重視學生知識、技能目標的實現，更要重視學生數學核心素養水平的達成. 高三統一的模擬考試就是從各個方面去檢測學生的發展水平. 同時，學生在學習甚至考試中也能提高自我學習的技能，養成良好的學習習慣.

（2）目標達成.

該套試卷的雙向細目表，如表1所示.

2. 數據分析

第二階段，數據分析，包括兩個環節：根據考試數據，分析學生的個性錯誤和共性錯誤；確定化錯的主題，明確化錯專題教學的目的.

用直方圖和條形圖給學生展示考試整體結果，幫助學生了解各題得分率，直觀形象，給學生強烈的視覺沖突，提高學生的注意力，找到共性問題，挖掘問題出現的原因，為今后教學提供改進方向. 同時，學生也能從中發現自己與集體的差異，了解自己所處的位置和學習情況，為制訂和實施日后的復習目標提供依據.

本次考試，筆者所任教班級的平均分是118.54分，最高分是136分，130分以上有4名學生，年級平均分是116.3分. 從整體得分率來看，大多數題目做得稍好. 涉及解析幾何的第10題和第19題，涉及導數的第15題和第20題，還有涉及新定義的第21題得分率較低. 另外，涉及雙曲線的第3題，涉及函數的第14題，涉及解三角形的第16題，涉及立體幾何的第18題都有部分學生失分，需要課下進行個性化輔導. 從知識模塊來看，筆者發現得分率低的題目主要屬于解析幾何與函數綜合模塊. 結合數學核心能力來看，得分率低的題目對能力要求都比較高，如創造遷移的能力，綜合分析、解決問題的能力和發現創新的能力. 為此，在分析綜合問題時要多進行提升學生思維能力的訓練，使學生能從多角度觀察同一數學對象，會從不同角度思考和分析問題.

總體來說，經過近一年的復習，高三學生已經基本熟悉了考試的范圍和考查形式，對基礎題型和問題的解答比較理想，只有個別對思維層次要求更高的問題出現解答不太理想的狀況. 具體來說，像函數綜合題、解析幾何題等承載著對學生高階思維能力的考查，學生的解答不是很理想. 為此，筆者將此次試卷講評課的化錯主題放在解析幾何和函數上，分為3個課時：第1課時聚焦圓錐曲線最值問題（第10題），第2課時聚焦圓錐曲線定格問題（第20題），第3課時聚焦恒成立問題（第19題）.

第1課時，聚焦第10題，具體考試數據如表2所示.

此題難度較大，從全校答題情況來看，總體得分率只有0.32，多數學生錯選C. 而本班學生主要錯選A，差異很大. 給學生展示答題情況，直觀了解班級情況，數據對比明顯，突出重點講解此題的必要性.

（1）個別錯誤.

此題是選擇題，不易通過卷面情況來分析學生的錯因. 于是，考試后讓學生重現考試時的解答思路，并把思考和解答過程寫出來，方便分析錯因. 從解答過程和對學生的訪談發現：有超過60%的學生覺得這是最后一道選擇題，沒有時間和信心思考，直接戰略性放棄，隨意選擇一個選項完成求解；有10%的學生有思路但是沒有時間完成求解；也有些學生通過直觀選擇特殊位置進行計算，再進行估算，然后得到正確結果；只有不到10%的學生能正確算出結果. 對于個別學生出現的拋物線畫錯、計算出錯等錯誤，可以后續單獨解決，不必在課堂上進行分析和講解. 具體了解了學生的答題情況，為上課時有針對性地提問提供了依據，使得課上提問更有的放矢.

（2）傾向錯誤.

本課時主要落實對圓錐曲線最值問題的分析和研究，我們在課堂上展示幾種典型錯誤（即傾向性共性錯誤）并分析，然后找到修正錯誤的方法和路徑，接著讓學生自己規范書寫，課后再對應兩個同類型題練習反饋，以評價試卷講評課的效果. 通過這一系列活動，提高考試的檢測功能，促進學生提高學習效率.

3. 專題糾錯

第三階段，專題糾錯，主要針對傾向性錯誤以微專題的形式進行糾錯. 先后經歷四個環節：錯在哪里，錯因分析，正解探索，措施探索. 本專題主要設計以下幾個問題，讓學生經歷化錯主題的全過程，提高測試后的反思能力，提升學習能力和效果.

問題1：回顧第10題，認真審題，該怎么做這道題呢？

追問：怎么處理條件可以使問題形象具體？是否需要畫圖幫助思考？

第10題如下：已知拋物線[C]的焦點[F]到準線[l]的距離為2，點[P]是直線[l]上的動點．若點[A]在拋物線[C]上，且[AF=5]，過點[A]作直線[PF]的垂線，垂足為[H]，則[PHPF]的最小值為（ ? ?）.

（A）[25] （B）[6]

（C）[41] ? （D）[213]

活動1：學生再次熟悉題目，明確研究對象，易知拋物線位置的任意性. 不妨設焦點在[x]軸上，得拋物線標準方程[y2=4x]，進而得焦點[F1，0]，再根據條件[AF=5]和拋物線定義取一個點[A4，4]，接著再畫出垂線[AH]，如圖2所示，進入化錯狀態.

（1）錯在哪里.

問題2：看以下三名學生的解答，你能發現錯誤嗎？

追問：有哪些類型的錯誤？這些錯誤是共性的還是個性的？你能跟同伴交流做題時遇到的障礙嗎？

活動2：學生查看典型錯誤，發現錯誤點，交流做題時遇到的障礙.

【設計意圖】通過學生交流，發現學生問題，有利于針對性地解決問題.

錯解1：當[AF⊥PF]時，直線[AF：y=43x-1]，直線[PF：y=-34x-1]，此時[P-1， 32，H1，0]. 所以[PHPFmax=22+3222=254]. 無選項，但是可以排除選項C和選項D，故選B.

錯解2：當[P-1，0]時，[H4，0]，得[PHPF=][5×2=10]. 無選項.

當[AP⊥l]時，[AF=AP]，[H]為[PF]中點，則[P-1，4]. 得[PHPF=12PFPF=12×25×25=][10]. 無選項.

由對稱性，當點P的坐標為[-1，2]時，直線[PF：][y=-x+1]，所以直線[AH：y=x]. 此時[H12， 12]，[PH ·]

[PF=322+322×22+22=6]，故選B.

錯解3：設[P-1，t]，[t≠0]，則[PF=t2+4]，直線[PF]的方程是[y=-t2x-1].

所以[kAH=2t].

所以直線[AH]的方程是[y-4=2tx-4].

聯立方程，得[y=-t2x-1，y-4=2tx-4.]

解得[x=t2-8t+16t2+4，y=4t2-6tt2+4.]

所以[Ht2-8t+16t2+4， 4t2-6tt2+4].

則[PH=t2-8t+16t2+4+12+4t2-6tt2+4-t2=…]，

所以[PFPH=t2+4×t2-8t+16t2+4+12+4t2-6tt2+4-t2=….]

（2）錯因分析.

問題3：大家已經找到相應錯誤了，你能分析出錯的原因嗎？

追問：對錯誤原因進行歸類，是知識型錯誤還是能力型錯誤呢？

活動3：學生交流錯誤原因. 例如，錯解1想當然地認為垂直的時候取得最大值，在沒算出選項時隨意選擇一個答案，屬于邏輯推理問題；錯解2直接猜想特殊位置取得最值，但是一開始沒有選項，接著再取一個特殊位置，發現兩個錯誤值一樣，于是大膽猜想對稱性，確定點P的位置，進而得到正確結果，屬于有一定的解題經驗，會用特殊值法解決選擇題和填空題，但是邏輯推理不夠嚴謹；錯解3可以看出思路比較清晰，但是因為計算量過大而放棄，屬于計算能力不足.

【設計意圖】這個活動中，讓學生對錯誤進行歸類，提高其邏輯推理能力，提高學生對數學中分類討論思想方法的認識.

（3）正解探索.

問題4：分析條件和結論的聯系，確定已知和目標，你能嘗試制訂解題方案嗎？

追問1：根據條件，你能推出什么結論？

由拋物線方程，以及點F和點A的坐標，設點P的縱坐標，根據垂直可以表示出點H的坐標.

追問2：要得出結論，需要什么條件？它與已知條件怎么聯系在一起的？

要算線段長的乘積，需要計算點F，P，H的坐標，從而計算長度.

追問3：怎么求[PFPH]的最值呢？

由于兩條線段的長都隨點P的運動而變化，為此乘積可以表示成關于點P的縱坐標的函數，進而求函數的最小值.

于是有思路1，同錯解3的思路，發現可以利用點H的坐標計算線段的長. 運算量比較大，考試時間緊張，應該進行優化. 考慮避免使用兩點間的距離公式，結合垂直關系，可以把[PH]轉化為點P到直線AH的距離，于是有了思路2，具體如下.

當點P的坐標為[-1，0]時，容易得到[PHPF=][5×2=10].

設[P-1，t]，[t≠0]，則[PF=t2+4].

因為[kPF=-t2]，所以[kAH=-1kPF=2t].

所以直線[AH]的方程是[y-4=2tx-4]，

即[2x-ty+4t-8=0].

因為[PH]為點[P]到直線[AH]的距離，

所以[PH=-2-t2+4t-8t2+4].

所以[PFPH=t2+4×|-2-t2+4t-8|t2+4=t2-4t+10=]

[t-22+6≥ 6].

所以[PHPF]的最小值為[6].

這種思路比較直接，但是計算量較大.

追問4：上面的解法運算量較大，你有辦法減少運算量嗎？

想法1：點P的位置變化還可以用直線PF的斜率來刻畫，同思路1也可以求出最值（過程略）.

想法2：可以把線段的長度看作向量的投影，進而把線段長之積轉化為向量的數量積，減少運算量.

由于[PFPH=PF ? PA]，

設[P-1，t]，則[PF=2，-t， PA=5，4-t].

所以[PFPH=PF ? PA=10-t4-t][=t-22+6].

當[t=2]時取得最小值[6].

想法3：由同一條直線上兩個線段之積，以及垂直關系，想到平面幾何的切割線定理.

設[P-1，t]，由題可知[A，F，H]在以[AF]為直徑的圓上，圓心為[B52，2]. 如圖3，過點[P]作圓[B]的切線，切點為[C]，則[PFPH=PC2].

因為[△PCB]是直角三角形，

所以[PC2=PB2-BC2].

因為圓[B]的半徑為[52]，

所以[PB2-BC2=2-t2+722-522=t-22+6].

所以當[t=2]時，[PFPH]取得最小值，最小值為[6].

【設計意圖】在這個問題后設置幾個追問，方便教師進行解題指導. 分析已知條件和結論的關系，重點關注條件和結論的差異，思考用什么知識、公式、定理能把它們聯系起來，就形成了解題思路，培養學生分析和解決問題的能力. 同時，經過具體方案的實施，提升學生的數學運算能力和數學表達能力.

（4）措施探索.

問題5：經過對第10題的分析和解決，你覺得解決圓錐曲線最值相關問題有哪些策略？

活動5：學生總結解題反思（如圖4），如怎么用特殊值法，沒有選項怎么辦，怎么結合條件和結論多角度思考，怎么以形助數、以數表形，怎么優化計算，等等.

追問：你能總結圓錐曲線最值相關問題的解答流程嗎？

活動6：學生總結的流程，主要有兩種：審題—把條件圖形化—研究幾何圖形—發現軌跡—確定最值位置—計算；審題—把條件坐標化—運用坐標表示幾何關系—代數運算—得到代數結果—原問題結論.

【設計意圖】針對第10題展開研究、討論和展示，讓學生從不同角度認識這道題，爭取把握最值問題的本質，最后形成程序化思維，以思維導圖的形式展現，形象直觀，使學生的印象更加深刻.

三、依據“針對練習”，反饋教學成效

及時進行針對練習，檢測學生對該類型問題的理解是否有所提高. 根據反饋，教師可以反思自己的設計、教學和實施，為今后改進教學提供直接依據.

1. 針對練習

針對本節課所提煉的方法，解決兩道類似題目.

練習1：已知橢圓C：[x24+y23=1]的左、右焦點分別為[F1]，[F2]，橢圓C上的點A滿足[AF2⊥F1F2.] 若點P是橢圓C上的動點，則[F1P ? F2A]的最大值為________.

答案：[332].

練習2：已知拋物線[y2=4x]及點[A-2，0，B2，0]，點[P]為該拋物線上的動點，則[PAPB]的最大值為______.

答案：[3].

2. 針對練習反饋

練習反饋如表3所示.

從反饋的數據來看，練習1正確率較高，但是也有錯誤，通過訪談發現錯誤的原因有：點A的坐標求錯，即橢圓基本性質不清楚；沒有想到用投影求數量積，導致計算困難. 練習2正確率較低，有的學生不知道如何將其轉化成幾何問題，不知道什么位置取最大值；有的學生沒有想到可以直接運用坐標運算解答；有的學生寫出了表達式，但是不會求最值，也就是不會運用基本不等式.

限于篇幅，此處省略第2課時和第3課時的教學過程.

經過這樣的試卷講評課，使試卷講評更有針對性，重點更突出. 雖然每次試卷講評課沒有全面覆蓋錯題，但是可以調動學生的積極性，使其按照此類化錯主題課的流程進行自主糾錯改正，然后生生互助檢查，提高時效性. 另外，如果在高中階段的統考中，每次都重點突破兩三個重點問題，幾次考試下來，高中數學的重點內容和方法應該就覆蓋得差不多了，也達到了復習不遺漏的要求.

參考文獻：

［1］施海燕. 探索高中數學試卷講評課的有效性［J］. 數學教學通訊，2018（3）：57，61.

［2］張林森. 淺談高中數學試卷講評課的有效性［J］. 數學通報，2012，51（12）：18-21.

［3］臧洪君. 淺談數學試卷講評的教學［J］. 數學通報，2008，47（9）：21-23.