“冪函數(shù)”教學(xué)的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

摘 要：對蘇教版高中數(shù)學(xué)教材中的“冪函數(shù)”內(nèi)容進(jìn)行歷史分析、概念分析、學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)分析和課標(biāo)學(xué)習(xí)要求分析，進(jìn)而闡明“冪函數(shù)”教學(xué)的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：情境的選擇及概念的建構(gòu)、代表函數(shù)的選擇、取值范圍的限制、研究方法的選擇、從有理指數(shù)冪函數(shù)性質(zhì)到無理指數(shù)冪函數(shù)性質(zhì)的過渡，以及用冪函數(shù)的性質(zhì)比較底數(shù)與指數(shù)均不同的冪的大小。由此發(fā)現(xiàn)：以“冪函數(shù)”為載體，可以在數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維方式和數(shù)學(xué)理性精神方面讓學(xué)生得到充分的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；冪函數(shù)；內(nèi)容分析；教學(xué)分析；教育價(jià)值

教學(xué)分析是教學(xué)（過程）設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，一般包括教學(xué)內(nèi)容分析（如歷史分析、邏輯分析）、教學(xué)目標(biāo)（如課標(biāo)要求）分析、教學(xué)對象（學(xué)習(xí)情況）分析、教學(xué)條件分析等多個(gè)方面。只有對與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的要素進(jìn)行深度分析，才能設(shè)計(jì)出符合認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)內(nèi)容本質(zhì)，充分發(fā)揮內(nèi)容教育價(jià)值的教學(xué)過程。本文對蘇教版高中數(shù)學(xué)教材“冪函數(shù)”內(nèi)容的相關(guān)要素進(jìn)行分析，進(jìn)而談?wù)劇皟绾瘮?shù)”教學(xué)的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（為了節(jié)約篇幅，不將教學(xué)過程完整呈現(xiàn)），供參考。

一、 “冪函數(shù)”內(nèi)容的相關(guān)要素分析

（一） 歷史分析

由已知的數(shù)學(xué)史可知，冪函數(shù)是數(shù)學(xué)家們最早建立并研究的函數(shù)模型。法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在《大百科全書》中“函數(shù)”一詞下這樣表述：古代幾何學(xué)家，更確切地說是古代分析學(xué)家，將任一量x的不同次冪稱為x的函數(shù)。另一位法國數(shù)學(xué)家拉格朗日在《解析函數(shù)論》、《函數(shù)微積分教程》等著作中也是這樣表述的：“函數(shù)”這個(gè)詞被早期分析學(xué)家用來一般性地表示同一個(gè)量的冪……其原因很簡單：人們生活在三維空間中，在生產(chǎn)、生活中最早遇到的就是度量問題，而一維空間、二維空間和三維空間中最基本的圖形分別是線段、正方形和立方體，它們的度量分別為長度、面積和體積，故而，x、x2、x3自然地就成為最早的函數(shù)形式。

后來，由于逆向問題的研究（如根據(jù)面積求邊長、根據(jù)體積求棱長），有了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（即開方）的函數(shù)形式；由于物理學(xué)中運(yùn)動(dòng)過程的研究，逐步出現(xiàn)了負(fù)指數(shù)的冪函數(shù)，以及由前面這些冪函數(shù)通過“運(yùn)算”而形成的較為復(fù)雜的函數(shù)。

學(xué)生的這種認(rèn)知基礎(chǔ)為體現(xiàn)冪函數(shù)的概括性與統(tǒng)一性提供了必要的條件。而這正是體現(xiàn)數(shù)學(xué)觀念、思想和精神等數(shù)學(xué)本質(zhì)的重要契機(jī)，其教學(xué)功能遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了知識內(nèi)容本身，值得充分重視。

（四） 課標(biāo)學(xué)習(xí)要求分析

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》對“冪函數(shù)”內(nèi)容的要求是：通過具體實(shí)例，結(jié)合y=x，y=1/x，y=x2，y=√x，y=x3的圖像，理解它們的變化規(guī)律，了解冪函數(shù)。［2］

具體地說，要求學(xué)生了解冪函數(shù)的什么內(nèi)容呢？了解它們的變化規(guī)律。如何了解冪函數(shù)的變化規(guī)律呢？一是通過5個(gè)特殊函數(shù)來了解，即這5個(gè)特殊函數(shù)是一般的冪函數(shù)的代表，通過它們就能夠了解一般的冪函數(shù)的變化規(guī)律；二是結(jié)合圖像理解它們的變化規(guī)律。

這里就有兩個(gè)要點(diǎn)：這5個(gè)特殊的冪函數(shù)的變化規(guī)律是要“理解”的，同時(shí)通過它們又要“了解”一般的冪函數(shù)的變化規(guī)律。

這里又有兩個(gè)值得關(guān)注的問題。一是這5個(gè)特殊的冪函數(shù)中，前3個(gè)在初中學(xué)過了，這種熟悉性有助于學(xué)生的理解，但是負(fù)指數(shù)的冪函數(shù)只有一個(gè)，能代表一般的情況嗎？只對一個(gè)對象進(jìn)行研究，不符合歸納思維的基本要求；只有對一批（至少2個(gè)）對象進(jìn)行研究，才具有歸納的基礎(chǔ)。二是到了高中，還在重復(fù)初中研究函數(shù)性質(zhì)的方法——畫圖、看圖，對學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的完善、邏輯思維的發(fā)展是十分不利的，況且前面已經(jīng)學(xué)過了證明函數(shù)單調(diào)性的邏輯方法——定義法。

二、 “冪函數(shù)”教學(xué)的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

（一） 情境的選擇與概念的建構(gòu)

一方面，學(xué)生有著一些特殊的冪函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)；另一方面，冪函數(shù)又有著豐富的現(xiàn)實(shí)背景。因此，是從學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過“結(jié)構(gòu)性初始問題”，以一般化的方式創(chuàng)設(shè)問題情境，還是從現(xiàn)實(shí)背景出發(fā)，通過“應(yīng)用性初始問題”，以數(shù)學(xué)建模的方式創(chuàng)設(shè)問題情境？我們認(rèn)為，這兩種方式并無優(yōu)劣之分：學(xué)生的建構(gòu)方式都是歸納、提煉的概念形成模式，都符合概念教學(xué)的基本要求。

在此基礎(chǔ)上，如果要突出冪函數(shù)的“統(tǒng)一性”和“一般化”特點(diǎn)，教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生舉出更為豐富的、不同形式的冪函數(shù)，使學(xué)生認(rèn)識到冪函數(shù)將整式與分式統(tǒng)一、有理式與無理式統(tǒng)一的功能，從而領(lǐng)悟數(shù)學(xué)之理，感受數(shù)學(xué)之美。

（二） 代表函數(shù)的選擇

用幾個(gè)代表函數(shù)？用哪幾個(gè)代表函數(shù)？這應(yīng)該是讓學(xué)生思考的問題。在研究定義域、奇偶性等的過程中，應(yīng)該自然地讓學(xué)生承擔(dān)起選擇代表函數(shù)的任務(wù)，而不是在教師的指定下，對具體的幾個(gè)冪函數(shù)進(jìn)行解題訓(xùn)練（這是上一章中內(nèi)容的重復(fù)）。比如，在學(xué)生建立了冪函數(shù)的概念后，教師即可提出問題：“確定一個(gè)函數(shù)要確定它的定義域，那么，冪函數(shù)y=xa的定義域是什么呢？”在學(xué)生經(jīng)過思考，發(fā)現(xiàn)不能確定的情況下，教師順勢要求：“既然不能確定，那就請你舉幾個(gè)例子加以說明。”當(dāng)然，由于課堂時(shí)間的限制，不需要全面覆蓋，只要研究幾個(gè)典型的例子就可以了。研究奇偶性時(shí)，可以類似地處理。

需要指出的是，僅有課程標(biāo)準(zhǔn)中的5個(gè)冪函數(shù)，是不能概括出agt;0和alt;0時(shí)的單調(diào)性的。建議在前面學(xué)生舉出的例子中，先選擇幾個(gè)正指數(shù)的一起研究，再選擇幾個(gè)負(fù)指數(shù)的一起研究：有了“多個(gè)”，才具有歸納的基礎(chǔ)。

（三） 取值范圍的限制

對agt;0和alt;0兩種情況，教材中都只給出了冪函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性及圖像所過的定點(diǎn)。為什么這么做？在以往的教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，一些數(shù)學(xué)素養(yǎng)較好的學(xué)生在用圖像方法解決教師提出的“有什么共同特性？”問題的同時(shí)，會主動(dòng)思考“有什么不一樣的地方？”的問題，由此進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：只要研究出第一象限的性質(zhì)，通過奇偶性，就可以獲得整個(gè)定義域上的性質(zhì)。實(shí)際上，共同特性有研究價(jià)值，不一樣的地方同樣值得關(guān)注；通過兩個(gè)方面的全面分析，才能深刻地理解冪函數(shù)的性質(zhì)與關(guān)系。因此，教學(xué)過程中不應(yīng)該指定學(xué)生觀察第一象限的圖像，而應(yīng)該全面考察圖像，發(fā)現(xiàn)共性點(diǎn)和相異點(diǎn)。這樣，學(xué)生思維空間更大，收獲自然更多，發(fā)展也就更加充分。

值得注意的是，先研究第一象限的圖像、性質(zhì)，再通過定義域、奇偶性推得整體性質(zhì)，是數(shù)學(xué)求簡思維的重要體現(xiàn)；研究奇偶性、周期性等性質(zhì)的目的之一是縮小討論范圍、降低研究難度。教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生逐步形成這樣的意識。

（四） 研究方法的選擇

在以往的教學(xué)中我們還發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生并沒有畫圖像，而依據(jù)直覺，先認(rèn)為agt;0時(shí)冪函數(shù)單調(diào)遞增，后通過反例（如y=x2）自我糾正，得到第一象限內(nèi)單調(diào)遞增；在教師讓其說明理由時(shí)，才著手畫圖，用圖說明。事實(shí)證明，由于初中的定式，學(xué)生并不認(rèn)為“看圖說話”不嚴(yán)密，反而將其作為理論依據(jù)。圖像直觀是一種好的思維習(xí)慣，尤其是對函數(shù)問題，但是教學(xué)中，還應(yīng)重視理性精神的嚴(yán)格要求，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維和邏輯表達(dá)的能力。

因此，冪函數(shù)單調(diào)性的研究也不能固化研究方法，而應(yīng)該讓學(xué)生自由發(fā)揮，充分思考，從理性證明和圖形觀察兩方面展開研究。在學(xué)生研究后，還要指出：這些結(jié)論是需要嚴(yán)格證明的，有些冪函數(shù)的單調(diào)性可以用定義證明，有些暫時(shí)還證明不了，在后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會有解決這個(gè)問題的方法。

（五） 從有理指數(shù)冪函數(shù)性質(zhì)到無理指數(shù)冪函數(shù)性質(zhì)的過渡

從完善學(xué)生知識結(jié)構(gòu)和發(fā)展學(xué)生邏輯思維的角度看，無理指數(shù)的冪函數(shù)完全不提，并不適當(dāng)，但是提出來后，如果沒有找到恰當(dāng)?shù)奶幚矸椒ǎ瑒t可能會造成學(xué)生思維的混亂。

考慮再三，我們覺得，可以不直接提出來，而通過作圖軟件演示：令a為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)P在一條平行于x軸的直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，對應(yīng)的冪函數(shù)圖像同步變化。當(dāng)橫坐標(biāo)a為正時(shí)，第一象限內(nèi)的圖像逐步向上；當(dāng)橫坐標(biāo)a為負(fù)時(shí)，第一象限內(nèi)的圖像逐步向下。由此“驗(yàn)證”學(xué)生的猜想。

（六） 用冪函數(shù)的性質(zhì)比較底數(shù)與指數(shù)均不同的冪的大小

教材中的例2讓學(xué)生比較三組數(shù)的大小關(guān)系。前兩小題比較的均是同指數(shù)的冪，學(xué)生應(yīng)該能由其結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造出對應(yīng)的冪函數(shù)，再通過冪函數(shù)的單調(diào)性得到結(jié)論。當(dāng)然，從過去的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)看，也有不少學(xué)生通過圖像觀察得到結(jié)論，但其本質(zhì)還是先構(gòu)造對應(yīng)的冪函數(shù)，再作圖像。對此，同樣應(yīng)該從邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性的角度強(qiáng)調(diào)：先構(gòu)造函數(shù)，再用單調(diào)性說明。

其中，思路三中蘊(yùn)含了更多的數(shù)學(xué)解題的重要技術(shù)，比如，除了“過渡點(diǎn)”，還有“過渡線”，即“過渡函數(shù)”的構(gòu)造，這在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式等問題中都很有用。這說明，數(shù)學(xué)解題技術(shù)（能力）的訓(xùn)練完全可以在常規(guī)教學(xué)內(nèi)容中進(jìn)行。

總之，以“冪函數(shù)”為載體，可以在數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維方式和數(shù)學(xué)理性

精神等方面讓學(xué)生得到充分的發(fā)展：對具體的函數(shù)概括、提煉，形成一般的冪函數(shù)的概念，可以提高數(shù)學(xué)抽象能力；求負(fù)指數(shù)和分?jǐn)?shù)指數(shù)的冪函數(shù)的定義域、奇偶性時(shí)需要進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，即負(fù)指數(shù)冪化分式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化根式，可以提高變形轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)技能；研究函數(shù)單調(diào)性時(shí)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合與定義證明，可以協(xié)調(diào)發(fā)展邏輯思維和直觀思維；按分類選擇代表函數(shù)進(jìn)行研究，既是分類討論思維策略的運(yùn)用，又可以讓學(xué)生形成分類標(biāo)準(zhǔn)的意識，學(xué)會合理分類的方法；比較函數(shù)值的大小時(shí)構(gòu)造對應(yīng)的冪函數(shù)，既是數(shù)學(xué)抽象能力的訓(xùn)練，也能提高數(shù)學(xué)構(gòu)造的水平；構(gòu)造中間量來比較數(shù)的大小，既能讓學(xué)生學(xué)會轉(zhuǎn)化和變通，又滲透了研究不等式問題的一種重要技巧；對冪函數(shù)統(tǒng)整了基本的整式與分式、有理式與無理式的認(rèn)識，提升了學(xué)生對數(shù)學(xué)價(jià)值觀、數(shù)學(xué)精神追求的理解。所有這些，都能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 李長明，周煥山.初等數(shù)學(xué)研究［M］.北京：高等教育出版社，1995：169.

［2］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020：20.