一致性視角下的“二次根式運算”起始課教學

摘 要：數與式及其運算內部充滿了一致性。教學“二次根式”內容時，應注意在學生學習了各類數、整式、分式以及它們的運算的基礎上，引導學生感悟、體會數與式運算內部的一致性。為此，可以設計一節關于運算的起始課，引導學生整體探究各種運算，初步嘗試建構二次根式的運算法則，同時理解二次根式先研究乘除運算再研究加減運算的道理。

關鍵詞：初中數學；一致性；數與式；二次根式；起始課

一、 教前思考

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）基于抽象結構（“研究對象+運算或關系”構成的整體）的思想，對課程內容做了結構化整合。［1］具體到“數與代數”領域，將小學階段的“數的認識”“數的運算”兩個主題整合為“數與運算”一個主題，強調“數+運算”結構，即數與運算不可分離。同時，強調初中階段的“數與式”主題是小學階段“數與運算”主題的延伸和擴展：運算對象由整數、分數、小數擴充到有理數、實數，并且由具體的數擴充到一般的代數式；運算由加、減、乘、除擴充到乘方（小學已經初步接觸）、開方（限于開平方、開立方）。［2］

在此基礎上，新課標還針對“數與運算”主題，明確指出要讓學生感悟數的概念本質上的一致性，體會數的運算本質上的一致性。［3］具體即：整數、分數、小數都是計數單位（分別為10n-1、1/n、10-n，n為正整數）的個數表達；整數、分數、小數的加減運算都要在相同的計數單位下進行；整數、分數、小數的乘除運算都是計數單位之間運算得到新的計數單位，個數之間運算得到新的個數。

可能是出于篇幅的考慮（例子只要一個就夠了），新課標并沒有對“數與式”主題明確提出關于“一致性”的要求，但明確指出“應把握數與式的整體性”［4］。實際上，從一致性的角度看，數與式有很多相通之處。實數分為有理數與無理數，有理數又可分為整數和分數；相應地，代數式分為有理式與無理式（根式），有理式又可分為整式和分式。對于實數，要研究加、減、乘、除等運算；對于代數式，也要研究加、減、乘、除等運算。而且，數的運算與式的運算滿足相同的運算律。此外，代數式也有類似數的“計數單位”：對整式來說，是同類項；對分式來說，是以最簡公分母通分后的“單位項”；對二次根式來說，是同類二次根式。代數式的加減運算也要在相同的“計數單位”下進行：對整式來說，是合并同類項；對分式來說，是先以最簡公分母通分，再加減；對二次根式來說，是合并同類二次根式。代數式的乘除運算也是“計數單位”之間運算得到新的“計數單位”，“個數”之間運算得到新的“個數”……

不過，從一致性的角度看，數與式在運算的研究順序及重點上有一些不一致。對各類數，都是先研究加減運算，再研究乘除運算；而對各類代數式，則不一定如此。比如，對整式，重點研究乘法（包括逆過程——因式分解），不研究除法；對分式，人教版和北師大版初中數學教材先研究乘除運算，再研究加減運算；對二次根式，各版教材都先研究乘除運算，再研究加減運算。究其原因，歸根到底，具體的數的運算總有一個結果；而一般的式的運算常常沒有結果，或者說，過程本身就是結果，即所謂的“不算之算”（用運算符號連起來即可），如a+b就等于a+b，沒有更簡單的結果了。當然，式的運算實際上是一種變形，一種雙向關系表征，而非單向程序操作，并不用特別區分過程與結果，而由具體的需要決定，如a+b也可以等于a-1+b-1、（a+b）+（a-b）/2+（a+b）-（a-b）/2等——這正是代數思維除了一般性之外的靈活性的重要表現。具體來說，整式的加減運算如果沒有同類項，則沒有結果（如上述a+b就等于a+b），所以不是重點。整式的乘法運算則要分單項式乘單項式、單項式乘多項式、多項式乘多項式等多種情況，并特別關注后兩種情況，在同底數冪的乘法法則與乘方的積法則的基礎上，靈活運用乘法運算律，特別是乘法對加法的分配律，而且逆過程是整式除法的基礎，所以是重點。整式的除法運算要以因式分解為基礎，實際上即分式的約分（分子、分母同時除以公因式），目標是最簡分式，所以在還要研究分式的情況下不專門研究了。分式的加減運算雖然肯定會有結果（總可以通分后相加減），但是比乘除運算復雜（不僅可能涉及約分，還會涉及通分），因此有些教材將其放在分式的乘除運算后面研究。二次根式的加減運算則不僅可能沒有結果（沒有同類二次根式），而且要以乘除運算的法則為基礎（得到最簡二次根式），因此所有的教材都將其放在二次根式的乘除運算后面研究。

如果分析得再深入一些，從十進位值制記數法的角度看，整數和小數常常是多個計數單位分別計數的“混合體”，它們的加減運算有時也沒有結果，或者說，相當于沒有結果。比如，10+2=12，看似有了結果，其實12只是一種記數法，所表示的就是1個十與2個一合起來，即10+2這樣的數位分解就是12這種記數法的實際含義。從冪指數推廣的角度看，（二次）根式其實就是（1/2）分數指數冪——這是高中數學內容，（二次）根式的乘除運算法則其實就是乘方的積（商）運算性質的推廣。而從代數公理化的角度看，冪（乘方）的運算性質其實是更為基本的運算律，它與低一級的乘法對加法的分配律類似（具有一致性），并且因為乘方不滿足交換律（不具有對稱性）而分為兩種情況：同底數冪的乘法法則am·an=am+n與乘方的積法則am·bm=（ab）m——其實，乘法對加法的分配律也分為“左分配律”a（b+c）=ab+ac和“右分配律”（a+b）c=ac+bc，只不過因為乘法交換律的成立而可以統一起來。進而，代數學的基本思想就是有效、系統地運用普遍成立的運算律解答多種多樣的問題（項武義語）；代數學沒什么知識，尤其是和幾何學相比，主要是技巧，或者說靈活應用，并因此充滿魅力（單墫觀點）。可見，數與式及其運算內部充滿了一致性（包括整體一致基礎上的細節不一致），這也是“變中不變”思想的體現。

“二次根式”（根號下僅限于數）是初中數學“數與代數”領域“數與式”主題中的最后一部分內容。基于上述對數與式及其運算一致性的分析，教學“二次根式”內容時，應該注意在學生學習了各類數、整式、分式以及它們的運算的基礎上，引導學生感悟、體會數與式運算內部的一致性（“數式通性”），建立起較完善的“數與式”知識結構。為此，可以對教材“二次根式”章節的課時安排進行重組，設計一節關于運算的起始課，引導學生整體探究各種運算，初步嘗試建構二次根式的運算法則，同時理解二次根式先研究乘除運算再研究加減運算（這一“不一致”之處）的道理。

具體來說，我們對蘇科版初中數學八年級下冊第12章《二次根式》的課時安排做了調整（如表1所示）。在此基礎上，我們重點設計并實施了第2課時，即“二次根式運算”起始課的教學。

二、 教學實踐

（一） 明確研究內容，體會研究方法層面的一致性

師 同學們，這兩天我們在研究二次根式，請你寫出幾個二次根式，并說說它的含義。

（學生完成。教師巡視后，請一些學生在黑板上寫出：2、3、5、22、4、8、9、a……然后，帶領全班復習這些二次根式的含義及性質。）

師 研究完定義和性質，接下來我們應該研究什么？

生 運算。

師 為什么？我們之前遇到過類似“先研究概念，再研究運算”的情況嗎？

生 之前我們學習了有理數，然后研究了它的運算；學習了整式，也研究了它的運算；學習了分式，又研究了它的運算。

生 我們還學習了冪的運算。

師 沒錯！我們學習的各種數都是運算對象；式則不僅是運算的結果（如單項式可以看成乘法、乘方的結果，多項式可以看成乘法、乘方以及加法的結果，分式主要是除法的結果，冪是乘方的結果——也是一種單項式，二次根式是開方的結果），而且是進一步運算的對象。（稍停）那么，應該研究二次根式的什么運算呢？也類比思考一下。

生 加法、減法、乘法、除法、乘方和開方運算。

師 確定要研究這么多運算嗎？之前研究其他代數式時，也研究了這些運算嗎？

生 研究整式時，先研究了加法和減法，后來重點研究了乘法，好像沒有研究除法。

生 整式的除法得到的就是分式，這是我們后面研究的對象。

師 很好！你的認識很到位！大家仔細回想一下：整式的除法不就是分式的約分嗎？當然，要以因式分解為基礎，約去分子、分母的公因式，得到最簡分式，然后就不能再約了。就像整數的除法，如果以分數表示結果，只要得到最簡分數，就可以了。我們研究整式的乘方和開方了嗎？

生 乘方是自乘的簡寫，是乘法的特殊情況。整式里面本來就有乘方，比如字母的次數；研究整式的乘法時也研究了乘方，比如完全平方公式。

生 冪的乘方就是整式乘方最簡單的情況。

生 整式的開方得到的就是根式，這是我們今天研究的對象。

師 很好！所以，我們不研究整式的乘方和開方了。那分式呢？

生 我們也只研究了它的加減乘除運算。

師 回到我們今天研究的二次根式——

生 我覺得，二次根式就是開方的結果，而我們剛剛學習的二次根式的性質就是其乘方運算的性質，所以，可以不研究二次根式的乘方和開方運算，只研究它的加減乘除運算。

師 很好！這就是我們今天要研究的內容。

在復習二次根式概念（定義和性質）的基礎上，引導學生回憶各類數和整式、分式研究的過程，明確“對象+運算”的代數抽象結構；回憶各類代數式所研究的運算，分析其背后的道理。由此，自然地引出本節課的研究內容，并體會研究方法層面的一致性。

（二） 研究加減運算，體會其本質上的一致性

師 先研究哪種運算？

生 加減運算。

師 參照各類數和整式、分式研究的經驗，我們就從加減運算研究起。先來看加法。請同學們在黑板上的二次根式中選取兩個，并相加。

（學生完成。教師巡視。）

生 我寫的是4＋9＝2＋3＝5。

師 好的。據此，可以得到對二次根式加法運算的第一個印象：如果被開方數能直接開方，就先開方，再相加，即轉化為有理數的加法。不過，這其實不是真正的二次根式運算。還有不同的式子嗎？

生 我寫的是2＋3＝5。

生 我覺得這個式子不對。

師 為什么不對？

生 可以用估算的方法。2≈1.414，3≈1.732，2＋3≈3.1，而5＜2.5，因此不可能相等。

生 我還有一個方法：將式子的左右兩邊同時平方，左邊會多出一個2×2×3，所以不相等。

師 你是怎么想到的？

生 我是從二次根式的性質想到的：非負數算術平方根的平方就等于它本身，平方可以達到去根號的目的。

生 我還有一個方法：由二次根式的性質，有（2）2＝2，（3）2＝3，而（5）2＝5。根據勾股定理的逆定理，可知2、3、5剛好是一個直角三角形的三條邊。因為三角形任意兩邊之和大于第三邊，所以2＋3＞5。

師 非常好！剛才我們用估算、等式兩邊平方、三角形三邊關系等不同的方法，說明了2＋3≠5，更準確地說是2＋3＞5。這是被開方數不能直接開方的情況，是真正的二次根式運算。我們可以再舉幾個類似的例子，看看是否有類似的結論。

（學生驗證。）

師 據此，可以得到對二次根式加法運算的第二個印象：兩個非負數的算術平方根的和不等于這兩個數的和的算術平方根，即a＋b≠a+b。不過，這是一個“負面”的結論：只告訴我們不等于什么，沒告訴我們等于什么。難道二次根式的加法不能進一步運算了？還有其他的分享嗎？

生 我寫的也是真正的二次根式的加法，并且，是可以進一步運算，即得到不同于本身的結果的。

師 哦？快和我們分享一下。

生 2+22=32。

（課堂中有些許躁動，大家被這個情理之中、意料之外的發現吸引了。）

師 對嗎？為什么？

生 我認為是對的，2、22可以類比a和2a，他們是“一伙”的。

生 2和3不是“一伙”的，所以不能相加。

生 只有被開方數相同的兩個二次根式才算是“一伙”的。

師 好一個“一伙”！想一想我們以前學習的加法，即整數、小數、分數、整式、分式的加法，也有這樣的“一伙”的要求嗎？

生 （恍然大悟）整數、小數的加法要求數位對齊，分數的加法要通分，其實都是相同的計數單位才能相加。

生 整式的加法也是同類項才能合并（相加）；分式的加法也要通分，也是分母相同才能相加。

師 很好！實際上，凡是加法，都要求相同的計數單位或同類項，即要求“一伙”。二次根式的加法即要求被開方數相同——這樣的二次根式被稱為“同類二次根式”。說得再通俗點，加法的意思是合并，只有同樣的（同一類）東西，才能合并。比如，1個香蕉和1個蘋果合起來是2個什么呢？只有把它們都看成水果，才能得到“2個水果”的答案。（稍停）這里，老師再問大家一個問題：2與8是“一伙”的嗎？可以相加嗎？

生 （多數學生）不是，被開方數不同。

（部分學生遲疑。）

師 其實，這個問題的答案是肯定的。它和我們前面提到的被開方數能不能直接開方有關——有些數是可以部分開方的，或者說是有因數可以直接開方的；也和我們后面要研究的二次根式的乘法運算有關。讓我們先把它放一放，來看減法運算吧。

生 減法是加法的逆運算，自然也要求在同類二次根式下進行。以2+22=32為例，只要把加法運算中的一個加數移到等號的另一邊，就成了減法運算，即32-2=22。

師 很好！所以，研究了加法運算，減法運算就不必再研究了，它們的本質一樣。

雖然教材主要根據二次根式的加減運算要以乘除運算為基礎得到最簡二次根式，才能確定有沒有同類二次根式，而將其放在二次根式的乘除運算后面研究，但是，在學生的經驗中，研究數或式的運算都是從加減開始的（所教學生用的是蘇科版教材）。因此，教師順應學生的已有經驗，讓學生自然地從加減運算開始研究。進而，教師引導學生經歷從假二次根式到真二次根式、從否定結論到肯定結論的研究過程，發現二次根式的加減運算與其他數或式的加減運算一樣，也要“在相同的計數單位或同類項下進行”。然后，教師引出學生對判斷是否為同類二次根式的困惑，自然轉向對二次根式乘除運算的研究。這樣的過程“探究味”很濃，能夠讓學生充分認識到加減運算本質上的一致性，并理解教材編排為先乘除后加減的道理。

（三） 研究乘除運算，體會其本質上的一致性

師 研究完加減運算自然要研究乘除運算。先來看乘法。同樣請你選取兩個二次根式，并相乘。

（學生完成。教師巡視。）

生 我寫的是4×9＝4×9，因為4×9＝2×3＝6，4×9＝36＝6。我發現，兩個數先開根號再相乘和先相乘再開根號的結果是一樣的。

生 你舉的例子太特殊了：被開方數是平方數，能直接開方，這是假的二次根式。其實，如果被開方數不是平方數，不能直接開方，結論也成立。我寫的式子是2×3＝2×3＝6。

師 你能說明你寫的式子的正確性嗎？

生 我參照前面的方法，把等式兩邊同時平方。左邊＝（2×3）2＝（2）2×（3）2＝2×3＝6，右邊＝（6）2＝6，所以等式成立。

生 由于左右兩邊原來都是正數，所以肯定相等。

師 你的補充使他的推理更嚴謹了，給你們點贊！我們可以再舉幾個類似的例子，看看是否有類似的結論。

（學生驗證。）

師 這樣，就得到了對二次根式乘法運算的印象。請分別用文字語言和符號語言描述一下。

生 兩個非負數的算術平方根的乘積等于這兩個數的乘積的算術平方根。

生 a·b＝ab。

師 非常準確，真棒！現在，你能解決“2與8是‘一伙’的嗎？”這個問題了嗎？

生 我覺得是“一伙”的，因為8就是22。

師 哦？你是怎么發現8就是22的？

生 8＝4×2＝4×2＝22。

師 漂亮！8的被開方數8含有平方數因數4，根據ab＝a·b，我們可以把4單獨拿出來，并且變成2。這樣，8＝22，8與2是同類的。所以，它們可以相加（合并）。這里，把8變成22，是二次根式化簡的過程。可見，進行二次根式的加法運算，首先要盡量化簡二次根式——化到不能再化的二次根式被稱為“最簡二次根式”，從而確定到底有沒有同類二次根式。（板書：12、18、27、50）請將這幾個二次根式化簡。

（學生完成。）

師 體會到化簡的關鍵了嗎？

生 把被開方數分解因數，如果有相同的因數，就可以組成平方數，單獨開出去。

師 很好！可見因數分解以及因式分解的重要性——之前有同學不明白學了整式乘法再學因式分解的道理，其實，不僅分式的約分化簡需要因式分解，二次根式的開方化簡也需要因式分解。（稍停）現在再來看我們之前對二次根式加法運算的研究，有問題嗎？

生 之前我們說“二次根式的加法要求被開方數相同”，這句話其實是不嚴謹的，應該是“要求化簡后的被開方數相同”。比如，12＋27=23+33=53。

生 這樣看來，二次根式的加法運算好像比乘法運算更復雜一點。

師 哦？復雜在哪里？

生 加法運算要通過某些加工把被開方數變成相同的，也就是說，對被開方數是有要求的；而乘法運算就簡單了，直接把被開方數相乘再開方即可。

師 真是一語道破天機啊！這也是教材先講乘法運算再講加法運算的原因。（稍停）搞清楚二次根式加法與乘法的關系后，再來想一想我們以前學習的乘法，即整數、小數、分數、整式、分式的乘法，和二次根式的乘法有一樣的地方嗎？

（學生遲疑。）

師 可以從計數單位或同類項的角度看。

生 （恍然大悟）乘法運算中，計數單位或同類項也是要相乘的。比如，20×30=2×3×10×10，2/5×3/7=2×3×1/5×1/7，2ab×（-3ab）=2×（-3）×ab×ab……所以，二次根式的乘法也可以一股腦兒乘起來。

師 很好！其實，多項式乘法不過是在單項式乘法的基礎上使用分配律，而單項式乘法其實是冪（乘方）的運算性質的使用。那么，二次根式的乘法和冪的運算性質有關系嗎？

生 二次根式乘法的計算法則a·b=ab和乘方的積的計算法則am·bm=（ab）m是一樣的，就是積的乘方的運算性質的逆用。

師 很厲害！數學就是這么神奇，數與式的運算內部充滿了一致性！實際上，到高中后，大家就會學到：二次根式其實也是一種冪（乘方），只不過其指數是分數，而不是整數。（稍停）現在可以說說除法運算了吧。

生 除法是乘法的逆運算，自然也可以一股腦兒地除下去。以2×3＝2×3＝6為例，只要把乘法運算中的一個因數移到等號的另一邊，就成了除法運算，即6/2=6/2=3。

師 很好！看來大家已經一通百通了。

二次根式乘除運算的探究相對容易。在學生自主探究、發現運算法則的基礎上，教師首先引導學生回頭解決加減運算探究中判斷是否同為類二次根式的困惑，讓學生真正明白教材“先乘除后加減”這一編排的道理；其次引導學生將其與其他數或式的乘除運算進行比較，發現“計數單位或同類項也要參與運算”這樣的共同點，以及二次根式乘除的計算法則和乘方的積（商）的計算法則是完全一樣的，從而進一步體會乘除運算本質上的一致性，并為高中分數指數冪的學習做好特例鋪墊。

參考文獻：

［1］ 史寧中.數學課程標準修訂與核心素養［J］.教育研究與評論，2022（5）：2425.

［2］ 呂世虎，顏飛.新課標“數與代數”內容分析：從結構到要求［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2022（11）：9.

［3］［4］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：18，61.