混合分班還是分層教學

摘 要 如何實現最優教學一直是教育政策制定者、教育管理者和學生家長關心和爭論的話題，但在學術界還缺乏嚴格的理論分析。本文構建了一個可以在不同教學目標情況下分析兩種常用分班教育（混合分班還是分層教學） 優劣的模型。該模型在一個簡易的框架下充分考慮了影響學生成績的關鍵變量，包括老師教學能力、學生學習能力、學生努力程度，以及教育經濟學實證文獻中強調的同群效應。實證文獻中發現的“ 單交叉” “ 爛蘋果” “ 分層/ 分流” 等同群效應機制可以在模型中進行靈活設定與分析。該模型可以解釋不同分班教育的效果差異，為理解文獻中不同的研究發現和為學校管理者選擇最優的分班教育模式提供了一個理論分析框架，填補了研究分班教學模式的理論文獻空白。

關鍵詞 同群效應;混合分班;分層教學;效率與公平

0 引言

學校教育是一個教育產出的過程，如何利用有限的教育資源實現最優的教育目標是教育管理者面臨的核心問題。在教育產出過程中，學校管理者要對不同教學能力的老師和不同學習能力的學生進行排列組合，他們常用的教育管理方法有兩種：一是把學生混合分班，二是根據學生學習能力進行分層教學。混合分班的出發點是公平教育，而分層教學可以實現因材施教。以北京市為例，目前很多知名學校如北京四中、北京大學附屬中學、北京101 中學、北京八一學校等都進行了教學改革，采用了分層教學。北京八一學校校長李希貴說：“學校的改革很大程度上是被逼出來的，因為原來有不少學生在課堂上‘吃不飽’，同時又有些學生聽不懂，分層分類教學滿足了不同層次學生的需求?！?北京市101中學在其分層教學實施方案中認為：分層教學是按照最優化原則進行的教學實踐。是根據學生層次的差異，通過班級組織與教學形式的變化，通過分層組織教學，使不同層次的學生經過努力達到相應的教學目標，體現了“因材施教” 的原則，是提高教學效率的有效策略①。從這些學校每年的升學成績來看，分層教學似乎取得了很好的效果。

雖然不同的分班模式關乎的是學生的學習成績和學校管理者的管理目標，但是分層教學在社會上也一直存在爭論，對分層教學利弊的研究存在不同的聲音：一種是反對的態度，認為分層教學破壞了教育的公平性。例如許雙成和張立昌（2015）認為“分層分班教學，作為特殊的教學組織形式，是在班級授課制的基礎上畸形發展而來的，在中西部地區優質教育資源短缺的學校中尤為突出。

分層分班教學蘊含著非理性的內核，它曲解了因材施教，誤解了差異發展，實際上背離了教育公平的精神追求，其惡性膨脹會導致教育異化，應該引起高度的警惕。”佐藤學（2010）也提出了相似的觀點。另一種是贊成的態度，認為分層教學對學生可以產生積極的影響。例如北京101 中學在其分層教學實施方案中指出“教育平等是近年來我們一直遵循的教育原則。但是，真正的教育平等并不是一刀切實行統一標準，讓每個學生都適應統一難度統一進度的課程，而是為每一位學生提供相對適應其本人特點的課程及教學以最大程度激發其潛能?！?/p>

目前關于分層教學的各種觀點更多地是指出了分層教學的某個方面存在的問題，但缺乏嚴格且較為系統的邏輯分析，使得我們對混合分班和分層教學的認識還停留在對現象的爭論中，所持觀點的雙方誰也不能說服對方。要想合理地分析混合分班和分層教學，需要在一個統一的邏輯框架中充分考慮學校管理者的決策目標、決定教學效果的主要影響因素，以及這些因素是如何相互作用以決定混合分班與分層教學優劣的。

1 研究視角及文獻綜述

1.1 研究視角

分層教學與不分層教學對學生成績的影響主要來自兩個方面。第一是師資方面的不同，分層后的不同班級配備的教師能力可能會有不同。第二就是學生層面的不同，包括每個學生學習能力以及同學學習能力的不同。以往探討學生學習成績的影響因素時，關注的焦點大多集中在教師的教學能力、學生的學習能力和努力程度對學生的學習成績有決定性影響（王駿等，2017）。但是教育學和經濟學的實證研究皆指出學校教育中的同群效應（peer effects）是影響學生成績的重要因素①，即一個學生的學習成績是受同班同學影響的（ Epple andRomano， 2011;Sacerdote， 2011; 張學敏和譚俊英，2012）②。所以，給定教師的教學能力和學生的學習能力，不同的分班模式會因為產生不同的同群效應而產生不同的教學效果。

本文的研究目的是基于不同分班策略下的同群效應與教師教學能力、學生學習能力的相互作用來分析混合分班和分層教學哪種分班教育模式可以更好地實現學校管理者教育的目標。我們通過構建模型為分析兩種分班教育模式的利弊提供了一個基礎理論研究框架。在這一理論模型中我們可以靈活設定學校管理者的目標，但在主要的分析中我們假設學校管理者想要最大化學生的升學率，這也是目前國內絕大部分學校管理者的目標。

在模型中，我們既考慮到學生之間存在學習能力的差異，也考慮到師資的差異，即老師的教學能力存在差異。學生的學習成績不僅取決于自己的學習能力、努力程度和老師的教學水平，也依賴于同班其他同學的努力程度。學生之間的同群效應有不同的理論機制和實證發現，比如“單交叉”（single crossing）機制認為學生之間的同群效應總是正的，而“爛蘋果”（bad apple）機制認為能力低的學生會帶來負同群效應，其他的同群效應機制可以參見文獻綜述部分。我們將以“單交叉”機制作為基準模型進行分析，然后討論其他同群效應機制的影響。在基準模型里，我們假設班級里的其他同學學習越努力，學生受到他們的正面影響也會更加努力學習，從而提高自己的學習成績。在不同的分班教育模式下，每個學生會根據自己的學習能力，配備的師資以及身邊同學的努力程度來選擇自己最優的努力程度。而每個學生自身選擇的努力程度與他自己的學習能力、老師的教學水平以及其他同學的努力程度一起決定他的學習成績。在不同的分班模式下，同樣學習能力的學生會取得不同的成績，這是由于：（1） 不同分班模式下身邊同學的組成不同，所以同群效應不同，這導致學生的努力程度也會不同，從而使得其最終成績也有所不同;（2）如果安排教學能力不同的老師給不同班級，也會影響每位學生的努力程度，從而影響學生成績。在主要分析中，學校管理者的目標是使得該學校的上線率達到最大，所以會選擇使得該學校有最大比例的學生達到錄取分數線的分班模式。

我們將模型的分析轉化為兩階段動態博弈（two-stage dynamic game），在博弈第一階段學校管理者根據他預期到的不同分班模式下的學習成績選擇混合分班或是分層教學來最大化學校上線率，在博弈第二階段學生會考慮到老師的教學能力、同班同學的學習能力，以及努力程度來選擇自己的努力程度。我們使用完美納什均衡（ perfect Nash equilibrium） 作為均衡概念，利用逆向歸納法（backward-induction）求解模型的均衡解。

在基于“單交叉”同群效應的基準模型中，我們首先分析師資水平沒有差異的情況。發現當學校的學生成績相對于錄取分數線較高，比如省、市重點中學，那么采用混合分班的模式比分層分班模式可以使得更多學生達到錄取分數線。而當學校的學生成績相對于錄取分數線較低，比如普通中學，那么采用分層分班模式比混合分班的模式可以使得更多學生達到錄取分數線。這是由于分層教學可以讓學習能力比較強的學生受益于更強的同群效應從而更大幅度地提高成績，使得他們的成績要比混合分班的情況下更好。但是分層教學卻會使得學習能力較弱的學生從同群效應中獲益更少，成績要比混合分班的情況下更低。如果學校水平比較高，學習能力比較高的學生即使在同群效應較小的情況下也可以上線，那么學校管理者為了使得更多的學生上線，采用混合分班既不會影響學習能力高的學生上線，還可以使學習能力較低的部分學生受益于更大的同群效應從而提高成績達到錄取分數線。但是如果學校水平比較低，學習能力比較低的學生不管在混合分班還是分層教學的情況下都無法上線，這種情形下學校采用分層教學至少可以使部分學習能力相對優秀的學生受益于更大的同群效應從而提高成績達到錄取分數線。

我們接著分析有師資水平差異的情況。在師資水平存在差異時，分層分班存在兩種情況：一是正向匹配分層分班，即安排教學水平高（低） 的教師教學習能力高（低）的班級;二是逆向匹配分層分班，即安排教學水平高（低） 的教師教學習能力低（高）的班級。在師資水平差異較小時，我們發現：當學校的學生成績相對于錄取分數線較高時，那么采用混合分班的模式可以使得更多學生達到錄取分數線;當學校的學生成績相對于錄取分數線較低時，采用正向匹配分層分班模式可以使得更多學生達到錄取分數線。而在師資水平差異較大時，我們發現：當學校的學生成績相對于錄取分數線較高時，那么采用逆向匹配分班的模式可以使得更多學生達到錄取分數線;當學校的學生成績相對于錄取分數線較低，這時采用正向匹配分層分班模式可以使得更多學生達到錄取分數線;而當錄取分數線處于中間時，具體哪種分班模式更優是不確定的，這種情況下我們給出了不同分班模式占優的條件。

此外，我們在基于“單交叉”同群效應的基準模型中分析了學校管理者目標是最大化學生總成績的情況。給定這個目標，我們發現分層分班教學要比混合分班好。這是因為學習能力強的學生可以從同群效應中獲益更多，從而更大幅度地提高成績。而學習能力較弱的學生從同群效應中獲益有限，混合分班并不能使他們因為身邊存在學習成績優秀的學生而大幅度提高成績。這就意味著我們可以在不額外增加教育資源投入的情況下，僅僅通過調整分班就可以改變教育的產出。

在分析完基于“單交叉”同群效應的基準模型后，我們對其他的同群效應機制進行了分析，重點分析了實證文獻中發現的“ 爛蘋果” 機制和“ 分層/ 分流”（boutique/ tracking）機制。在“爛蘋果” 機制中，能力最低的一部分學生會對其他同學產生負同群效應，這會改變分班模式選擇時分數線閾值：如果帶來負同群效應的學生數量越多或者負同群效應越大，學校越傾向于選擇正向匹配分層教學;如果帶來負同群效應的學生數量比較少或者負同群效應比較小，分班的選擇則與基準情況相似。在“分層/ 分流” 機制中，所有學生在分層教學時的同群效應大于混合分班時的同群效應，因為分層教學時班里同學能力更接近，這也會改變分班模式選擇時分數線閾值：如果分層教學與混合分班時同群效應差別比較大，則分層教學要優于混合分班，而正向匹配還是逆向匹配更好則取決于學生成績與錄取分數線的比較;如果分層教學與混合分班時同群效應差別比較小，分班的選擇則與基準情況相似。雖然我們僅重點討論了“爛蘋果”機制和“分層/ 分流”機制，我們的基準模型也可以用來分析其他可能的同群效應機制，對此我們做了簡要討論。

最后，我們根據模型的分析探討了如何在分層教學中兼顧效率與公平。我們的分析表明，混合分班作為一種公平的分班教育模式并不總是沒有效率的，教育部門可以通過適當的教育管理措施實現效率與公平的兼顧。因此，我們的理論模型具有豐富的政策意義。

1.2 文獻綜述

本文的研究主要受到教育學與經濟學關于同群效應研究的啟發。目前國內外的研究以實證研究為主，這些實證研究對同群效應進行了識別與度量，并對學者提出的多種同群效應模型進行了檢驗。同群的影響存在于教育的各個層面，而且影響到學業成績、職業選擇、毒品使用、未成年人懷孕等多個方面。我們這里主要討論在中小學中同群效應對學業成績影響的文獻。國外的研究方面，Lazear （2001）提出了“爛蘋果” 機制，認為一個班里一個或少數能力低的學生會對整個班級帶來負面的影響，因為他們的行為干擾了其他同學或者老師需要照顧這部分能力低的學生而影響其他同學。Lavy et al. （2012） 用留級學生近似代表低能力學生，發現在初中或高中一個班里留級生的數量越多，對班里同學的學習成績負面影響越大。Huang and Zhu （2020） 利用2013—2014 學年中國教育面板調查數據發現七年級學習成績差的學生對其他學生的學習成績有顯著的負面影響，而這一影響卻在九年級學生中不顯著?！?杰出人物”（shining light）機制與“爛蘋果”機制相反，認為一個或少數能力高的學生會對全班有正的同群效應， 但這一理論沒有強有力的實證支持?！?歧視性對比”（invidious comparison）機制（Byrne， 1996） 認為學生會與自己的同學比較，能力高的同學或排名高的同學會給自己帶來壓力因而產生負的同群效應。Murphyand Weinhardt （2020）、Elsner and Isphording （2017）和Elsner et al. （2021） 等研究了學生在班內相對排名如何影響他們的考試成績?！胺謱? 分流”機制認為學生與自己能力相同的同學在一起成績會更好，因為能力相似的學生更容易相互學習與幫助，或者老師教能力相似的學生可以因材施教。Cooley （2010）發現成績高的學生從成績高的同群中收益最多。Betts and Shkolnik （2000） 使用了美國約100 所中學的數據，發現基于能力差異的分層教學對學生的數學平均成績幾乎沒有影響，可能的原因是分層班級之間沒有教師質量的差異。Figlio andPage （2002）使用了美國一個具有全國代表性的樣本，發現分層教學并沒有對低學習能力學生的成績造成負面影響。Vandenberge （2006）使用OECD 國家的數據分析了分層教學對15 歲學生數學、科學和閱讀能力的影響，發現分層教學的影響并不明顯。Duflo et al. （2011）在肯尼亞的120 所小學做了隨機試驗，發現分層教學提高了所有學生成績，因為老師更有動力針對不同能力學生進行教學?！皢谓徊妗?機制認為同群效應總是正的。Boozer and Cacciola （2001） 利用“小星星項目”（Project Star） 中同群的隨機安排發現一年級、二年級、三年級中同群平均成績的影響系數是0. 30，0. 86，0. 92。Hanushek et al. （2003） 利用美國德州的小學數據研究發現，每個學生的成績受到他/ 她同學成績的正面影響。

Ammermueller and Pischke（2009）利用六個歐洲國家的小學數據研究發現，同伴組成測度（measure of peer composition）的標準差每增加1 個標準差，學生閱讀分數增加0. 11 個標準差。Burke and Sass（2013）利用美國佛羅里達公立學校的數據也發現學生的成績受到同班同學的顯著影響。不同于以上理論， Carrellet al. （2013）發現高能力的學生會對低能力的學生會有很強的正面影響，而對中等能力學生沒影響。Hoxby and Weingarth （2005） 發現不能用任何單個同群效應模型解釋數據，同群效應可能會通過“單交叉”、“分層/ 分流” 等多種機制共同產生影響。其他國外研究同伴效應對學生成績影響并發現顯著結果的實證研究還包括Gamoran （1987），Hoxby（2000），McEwan （2003），Hanushek andW??mann （2006）， Lu and Anderson （2015）。關于其他的同群理論及其實證證據的英文文獻參見Epple and Romano （2011），Sacerdote （2011），Wennberg andNorgren （2021）。

國內文獻方面，張學敏和譚俊英（2012）考察了同群效應對初中生學習成績的影響，發現以學習成績來衡量的同伴能力對不同能力的學生有不同程度的影響， 并且任何水平的學生都會受益于同質性同伴群體，這一結論支持“分層/ 分流”機制。袁玉芝（2016）基于上海2012 年PISA 數據發現作為教育生產函數中重要因素的同伴對個體的成績有較大的影響。整體而言，同伴的平均成績越高，標準差越小，對個體的學業發展越有益，這一發現支持“單交叉”機制。王春超和肖艾平（2019）對小學生隨機排座后的學習成績進行跟蹤研究，考察了班級處于高中心性地位的學生對與其座位距離不同的同伴學習成績的影響。他們發現在班級社會網絡中，與高中心性學生每減少1 個座位距離，平均成績可提高0. 43～0. 78 個標準差。而國內關于同群效應對學生其他方面影響的文獻包括詹宏毅和陳超群（2017）、王春超和鐘錦鵬（2018） 和趙穎（2019）。其中詹宏毅和陳超群（2017）和趙穎（2019）考察了同群效應對學生認知能力影響，而王春超和鐘錦鵬（2018）考察了同群效應對學生非認知能力影響。關于教育中同群效應的中文文獻綜述可以參見鄭磊（2015）、杜育紅和袁玉芝（2016）、崔靜和馮玲（2017）、葉星和熊偉（2017）。

以往文獻為同群效應這一影響學生成績的重要因素提供了實證依據，但目前對同群效應和其他影響學生成績的因素之間的相互作用機制還缺乏研究。而本文把教師教學能力差異、學生學習能力差異以及同群效應這些影響學生成績的重要因素納入統一分析框架，考察它們如何相互作用共同決定不同分班模式的優劣。

跟研究分層教學的實證文獻相比，關于分層教學的理論分析還十分有限。分析同群效應在教育中影響的開創性理論研究是Arnott and Rowse （1987），他們分析了基于能力的同群效應下，如何將不同能力的學生分配到不同班級以達到社會最優。在模型中，他們假設每個學生的技能水平或教育結果是班里學生平均能力的增函數，同時也是自己能力和所在班級教育支出的增函數，教育計劃者面臨的問題是如何把不同能力的學生分到不同班級以及如何分配教育支出使得總社會福利（模型中是總的技能水平）最大化。然而，該模型存在一定局限性。首先，這一模型忽視了學生的努力程度，只有學生能力這一外生變量影響成績;此外，這一模型假設均值同群效應，不夠靈活，很難討論實證中的同群效應模型;最后，這一模型只關注社會總福利最大化，而忽視了學校管理者的目標是最大化錄取率。之后一系列關于教育中同群效應的理論研究都基于該模型，但與本文探討的問題關系不大。比如，Benabou （1993） 假設高技能比低技能對其他人有更大的同群效應，分析了個體獲取高技能還是低技能的最優選擇以及他們的選擇最終如何影響勞動力市場。McMillan （2005） 分析了來自高收入家庭學生對教育質量的需求如何影響公立學校與私立學校的教育提供進而影響來自低收入家庭學生的受教育質量。其他的理論拓展參見Epple andRomano （2011）。與本文研究問題比較相似的文獻是陳昊等人（2015） 的研究。陳昊等（2015）將學生之間的競爭看作體育賽事的競爭，將不同的分班制度看作不同的激勵機制，通過引入競賽模型分析不同分班方法的利弊。與陳昊等人（2015）不同，我們的模型考慮的是學生之間的同群效應，他們的努力程度是互補的，而不是競爭性的，這也更符合實證文獻的結論;此外，與陳昊等人（2015）相比， 我們明確考慮了教師能力的差異和教師資源的約束，這也是決定不同分班模式教學效果的重要因素。

本文構建了一個基礎理論框架來比較不同教學目標下分層教學與混合分班教學的效果差異，模型充分考慮了影響學生成績的關鍵變量———老師教學能力差異、學生學習能力差異、學生努力程度，并引入了文獻中所實證存在的同群效應。我們模型的優勢是可以靈活分析同群效應的不同機制。在基準模型中我們分析“單交叉”這一同群效應機制，而在拓展模型中我們分析了“爛蘋果”、“分層/ 分流”等同群效應機制?；谀Ｐ头治?，我們可以解釋不同教學模式的效果差異，也可以根據學校管理者的不同管理目標為其提供教育建議。該模型填補了研究分班教學模式的理論文獻空白，為今后關于混合分班和分層教學的研究提供了一個參考框架。

本文余下的結構是：第2 部分是基準模型的設定，基準模型假設“ 單交叉”同群效應機制，將學校分班教學模式的選擇轉化為一個兩階段納什博弈;第3部分是基于學校管理者最大化學生升學率的管理目標來求解基準模型，并考慮了教師能力存在差異的情況;第4 部分是在基準模型中分析學校管理者最大化學生總體成績的管理目標時教學模式的選擇;第5 部分重點分析“爛蘋果”、“分層/ 分流”兩種同群效應機制，并簡要討論其他機制的分析;第6 部分在本文的分析框架下討論如何兼顧效率與公平，并提出相應的政策建議。為了便于讀者閱讀，我們將主要定理的證明放在附錄。

2 基準模型設定

假設一所學校由學生與老師組成，學生之間的學習能力和老師之間的教學能力都存在差異。為了分析方便，我們假設學生們的學習能力 ai 在[0，2]上服從均勻分布（uniform distribution）。老師的教學能力有高和低兩種，教學能力高的老師的教學能力為kh ，教學能力低的老師教學能力為kl ，kh gt;kl 。兩種老師的數量相等，各占總教師數量的一半。在同一個班級內學生之間存在同群效應：即每個學生的學習努力程度會受到同班其他同學努力程度的正面影響。在我們的基準模型中，我們假設“單交叉” 同群效應機制，即同群效應總是正的。如果身邊同學更加努力學習，“我”也會付出更多努力來學習， 正如中國古語中所謂的“近朱者赤，近墨者黑”。