基于西蒙數(shù)學(xué)理論的初中幾何教學(xué)實踐與反思

[摘? 要] “西蒙數(shù)學(xué)”是在“人類自適應(yīng)學(xué)習(xí)”的理論基礎(chǔ)上，將人工智能和現(xiàn)代認知心理學(xué)應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)代教學(xué)理論. 應(yīng)用西蒙數(shù)學(xué)理論，教師設(shè)計并執(zhí)教“平行拐角求角度”專題課，應(yīng)采用小步走、搭建腳手架的方法，設(shè)置層次分明的題組，讓學(xué)生主動探究與建構(gòu)知識，助其掌握此類題型的解法，同時培養(yǎng)其知識的遷移能力和運用能力.

[關(guān)鍵詞] 平行拐角問題;西蒙數(shù)學(xué)理論;自適應(yīng)學(xué)習(xí);產(chǎn)生式;題組教學(xué)

基金項目：廣東省教育規(guī)劃課題“基于自適應(yīng)學(xué)習(xí)理論提升初中生幾何推理能力的研究”（2021YQJK050）.

作者簡介：吳小敏（1982—），教育碩士，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究工作，曾獲廣東省初中青年教師優(yōu)秀課評比一等獎.

前言

無論是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)，還是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的初中數(shù)學(xué)十大核心概念，“推理素養(yǎng)”或“推理能力”皆列其中，可見推理能力對學(xué)生發(fā)展的重要性不言而喻. 在初中數(shù)學(xué)中，幾何部分的教學(xué)對發(fā)展學(xué)生的推理能力一直發(fā)揮著至關(guān)重要的作用. 另外，在初中數(shù)學(xué)的四大模塊（數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率和綜合實踐活動）中，幾何難教難學(xué)幾乎是師生的共識. 因此，高校和教研部門的專家以及諸多一線教師，都在做優(yōu)化幾何教學(xué)的理論探索與實踐.

西蒙數(shù)學(xué)理論簡介及其在幾何教學(xué)的應(yīng)用

傳統(tǒng)教學(xué)中的“講授式”是一種單向教學(xué)方式，在師生互動欠缺的情況下，學(xué)生的興趣和注意力不易有效喚起，知識掌握不牢固，對于難度大的學(xué)習(xí)內(nèi)容更難以攻破其重難點. 心理學(xué)界認為，解決學(xué)習(xí)問題不能依賴學(xué)科知識，還需關(guān)注認知心理. 按照安德森等人的研究，將知識分類[1]，很多幾何性質(zhì)、定理、推論都是陳述性知識或程序性知識，需要較復(fù)雜的認知策略才可解決，解決問題的過程一般以產(chǎn)生式（if...then...）的動態(tài)形式來表征. 當(dāng)學(xué)生的腦中形成了足夠多的產(chǎn)生式，便能出現(xiàn)較多的解題技能與認知策略，進而快速有效地提取信息解決問題. 關(guān)于產(chǎn)生式研究，國內(nèi)外影響力較大的，是著名認知心理學(xué)家赫伯特·西蒙（H·A·Simon）與中國科學(xué)院心理學(xué)家朱新明聯(lián)合研究的成果——“自適應(yīng)產(chǎn)生式系統(tǒng)”. 近二十年來，華南師范大學(xué)謝明初教授在此基礎(chǔ)上借鑒建構(gòu)主義和情境認知理論，提出了一套高效教學(xué)方法，并據(jù)此編寫教材，開展實證研究，形成的理論用“西蒙”冠名以示紀(jì)念，謂之“西蒙數(shù)學(xué)”[2][3][4][5][6][7].

西蒙數(shù)學(xué)將人工智能和現(xiàn)代認知心理學(xué)運用于數(shù)學(xué)教學(xué)[8]，主張學(xué)生主動學(xué)習(xí)并進行知識建構(gòu)，教師不是單向給學(xué)生輸入知識，而是通過為學(xué)生提供精心設(shè)計層層遞進的題組，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)主體，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，依據(jù)已有知識和經(jīng)驗來解決問題. 學(xué)生則通過問題體會知識的來龍去脈，用“做中學(xué)”“例中學(xué)”兩種方式，對數(shù)學(xué)知識進行探索與建構(gòu)，從而歸納數(shù)學(xué)原理、性質(zhì)和方法，并以此解決問題.

在初中幾何學(xué)習(xí)的入門階段，平行拐角問題是一個難點，也是近些年全國各地常見的考點，且常以較復(fù)雜的形式出現(xiàn)，通常是兩個甚至多個平行拐角基本圖形的疊加. 圖中出現(xiàn)線多角多時，部分學(xué)生會被過多的信息干擾，他們往往不易從中識別、抽取出基本模型，難以借助平行線與同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角三類角的關(guān)系去解決問題. 基于上述情況，本文嘗試運用西蒙數(shù)學(xué)理論，以“平行拐角求角度”為例，探討初中幾何教學(xué)設(shè)計的重構(gòu).

教學(xué)案例分析

1. 教材內(nèi)容、學(xué)情分析

繼“相交線與平行線”后，學(xué)生學(xué)習(xí)“平行拐角求角度”專題課. 學(xué)生已掌握此類題型的常用解法，具備用規(guī)范的幾何語言書寫過程的能力. 為了讓學(xué)生進一步熟悉此類問題的解答方法，并能系統(tǒng)地掌握六種基本類型的結(jié)論，教師課前給學(xué)生布置了一道能概括平行拐角的所有基本類型的題目. 對于大多數(shù)學(xué)生而言，這是難以攻破的題目類型. 這需要學(xué)生熟悉不同的圖形變化情況，且具備將復(fù)雜圖形拆分成簡單的基本圖形的能力.

2. 教學(xué)目標(biāo)

（1）進一步熟悉平行拐角的六種基本圖形;

（2）以“問題鏈”展開的題組學(xué)習(xí)中，將復(fù)雜的平行拐角圖形拆分成簡單的平行拐角基本圖形求角度，并能將解題方法遷移應(yīng)用于其他不同場景的變式題型中;

（3）將復(fù)雜的圖形拆分成簡單的基本圖形的過程中，體會“化歸”“從特殊到一般”等思想方法.

3. 教學(xué)重難點

熟悉平行拐角問題的六種基本圖形;把復(fù)雜的平行拐角圖形拆分成簡單的平行拐角基本圖形來解決問題.

教學(xué)過程設(shè)計

1. 復(fù)習(xí)回顧

從布置的作業(yè)題入手，讓學(xué)生展示自己的作業(yè)過程，說出六種基本圖形中三個角之間的數(shù)量關(guān)系并分析證明思路.

如圖1所示，直線AC截直線AB，CD，AB∥CD，點E是不在直線AB，CD，AC上的任一點，且∠BAE=α，∠DCE=β，求∠AEC的度數(shù)（用α，β的式子表示）.

設(shè)計意圖? （1）圖1中的直線AB，CD，AC將整個平面分為六個區(qū)域，動點E就有六種位置類型，包含平面中的六種基本拐角類型. 此處涉及分類思想和從抽象到具體的思維方法;（2）讓學(xué)生回憶舊知：含“拐角”的平行問題，解題思路是在“拐點處”作平行線，讓學(xué)生經(jīng)過角的轉(zhuǎn)化得出三個角之間的數(shù)量關(guān)系，會用到轉(zhuǎn)化思想;（3）通過復(fù)習(xí)讓學(xué)生進一步理解和熟悉這六種基本類型的結(jié)論.

小結(jié)? 六個結(jié)論中，有五個結(jié)論相同：大拐角=兩個小拐角之和;有一個特殊結(jié)論：三個拐角之和=360°.

2. 知識建構(gòu)

如圖3所示，若FG平分∠CFP，MH平分∠AMG，且∠G+1/2∠P=60°，求∠AMG.

此題圖形復(fù)雜，且所有角都未知具體度數(shù)，如果直接拋出此題，基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生可能會束手無策. 由于不同層次的學(xué)生認知水平和接受能力有所不同，所以教師根據(jù)認知規(guī)律搭建“腳手架”，設(shè)置梯度合理的“問題串”，可使學(xué)生易于接受，樂于挑戰(zhàn)，在“做中學(xué)”里拾級而上. 于是，教師編排了以下題組：

【題組1】

第一步，復(fù)習(xí)題目中包含的平行拐角基本模型：

題1：如圖4所示，已知AB∥CD，∠BAP=95°-2α，∠APC=90°-α，∠PCD=55°-α，求α.

第二步，復(fù)習(xí)題目中包含的另一平行拐角基本模型，與題1是并列式問題：

題2：如圖5所示，已知AB∥CD，且∠GEA=95°-2α，∠GFC=90°-α，∠G=55°-α，求α.

第三步，把以上兩種平行拐角基本模型放在同一圖形中，即將題1與題2組合成題3：

題3：如圖6所示，已知AB∥CD，且∠GMA=α，∠GFC=∠GFP=β，（1）用α，β的式子表示∠G與∠P;（2）若∠G+1/2∠P=60°，求∠GMA.

第四步，經(jīng)歷前面三道題的解決過程，當(dāng)遞進式的題4出現(xiàn)時，學(xué)生便能讀懂題4的圖形. 同時，學(xué)生從題3能夠受到啟發(fā)，可分別用兩個未知數(shù)來表示與角平分線相關(guān)的角. 例如，設(shè)∠1=∠2=α，∠3=∠4=β，從而用含α，β的式子分別表示出∠G，∠P，再由∠G和∠P的數(shù)量關(guān)系列出方程求解.

題4：如圖7所示，已知FG是∠CFP的平分線，MH是∠AMG的平分線，且∠G+1/2∠P=60°，求∠AMG.

小結(jié)? 熟悉平行拐角問題的六種基本圖形是關(guān)鍵，同時要將復(fù)雜的平行拐角圖形拆分成簡單的平行拐角基本圖形.

設(shè)計意圖? 教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生將復(fù)雜的平行拐角圖形拆分成六種簡單的平行拐角基本圖形來解決問題，因此教師可根據(jù)問題中用到的平行拐角基本圖形，以題組形式有針對性地、層層遞進地呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生通過一個個問題對知識點進行逐層分解. 學(xué)生解決完前面幾個問題后，把方法遷移到題4中，問題迎刃而解.

西蒙數(shù)學(xué)理論認為學(xué)習(xí)目標(biāo)不能停留在對知識的理解上，而要培養(yǎng)和提升學(xué)生對知識的遷移能力和運用能力. 所以西蒙數(shù)學(xué)教學(xué)法提倡教師采用小步走，從易到難、從具體到抽象，以逐層遞進的方式精心編排題組，讓學(xué)生“做中學(xué)”，并在教師的引導(dǎo)下對題組的解題策略進行小結(jié). 同時，教師要為學(xué)生編排出豐富的變式題組，促其“例中學(xué)”，類比例題來解決新的問題，并引導(dǎo)學(xué)生從題目的變化中把握解題思路中的“不變”，讓學(xué)生靈活地解決數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生實現(xiàn)知識遷移，從而達到融會貫通的學(xué)習(xí)效果.

經(jīng)歷題組1形成方法的過程，學(xué)生通過“例中學(xué)”，進一步分析這一類題型的解答思路，總結(jié)解題策略. 于是，教師又設(shè)計了以下題組：

【題組2】

第一步，先呈現(xiàn)題4包含的平行拐角基本模型：

題1：如圖8所示，已知AB∥CD，且∠ABE=2α，∠CDE=2β，求∠E（用α，β的式子表示）.

第二步，呈現(xiàn)題4包含的另一平行拐角基本模型：

題2：如圖9所示，已知AB∥CD，且∠ABM=α，∠CDN=β，求∠F（用α，β的式子表示）.

第三步，把以上兩種平行拐角基本模型放在同一圖形中，并加入雙角平分線，由前面兩題的啟發(fā)，分別設(shè)∠1=∠2=α，∠3=∠4=β，從而用含α，β的式子分別表示出∠F，∠E，然后求解問題.

題3：如圖10所示，AB∥CD，BM平分∠ABE，DN平分∠CDE，直線BM與DN相交于點F，求∠F ∶∠E的值.

第四步，依照“從簡單到復(fù)雜，從具體到抽象”的順序編排題組，這也呈現(xiàn)了研究數(shù)學(xué)的常用方法：從特殊到一般. 學(xué)生可以遷移前面解決問題的知識與方法來解決題4.

題4：如圖10所示，若∠ABM=1/n·∠MBE，∠CDN=1/n∠NDE，則=∠F/∠E______.（用含n的式子表示）

小結(jié)? 遇雙角平分線、比例式可設(shè)未知數(shù)，讓學(xué)生將復(fù)雜的平行拐角圖形拆分成熟悉的平行拐角基本圖形，將題組1的解答方法遷移應(yīng)用于其他變式題型中.

設(shè)計意圖? 教學(xué)目標(biāo)依然圍繞學(xué)生將復(fù)雜的平行拐角圖形拆分成六種簡單的平行拐角基本圖形來解決問題. 若教師直接給出題4，會讓許多學(xué)生望而生畏. 所以教師依然遵循西蒙數(shù)學(xué)理論，由簡入難、從具體到抽象設(shè)計題組2. 這樣不僅能幫助學(xué)生進一步理解知識，還能培養(yǎng)學(xué)生的知識遷移能力和運用能力.

3. 課后作業(yè)

教師遵循“小步臺階，從易到難”編排作業(yè)，繼續(xù)設(shè)計不同的數(shù)學(xué)情境，以相應(yīng)的變式進行發(fā)散思維的訓(xùn)練，讓學(xué)生可以靈活遷移和運用前面形成的知識、策略去解決問題，從而達到舉一反三的學(xué)習(xí)效果.

【題組3】

第一步，復(fù)習(xí)題目中包含的平行拐角基本模型：

題1：如圖11所示，已知AB∥CD，∠K=60°，∠KHC=nα，求∠AGK（用含n，α的式子表示）.

第二步，繼續(xù)復(fù)習(xí)題目中的同一平行拐角基本模型，變換已知條件中的兩角，求第三個角. 題2多加了一個未知數(shù)，難度遞增.

題2：如圖12所示，已知AB∥CD，且∠AGP=60°-nα+α，∠PHC=nα.求∠GPH（用含n，α的式子表示）.

第三步，把以上兩種平行拐角基本模型結(jié)合在一起. 所求式子涉及兩個角（∠AGM和∠GPH），根據(jù)掌握的方法，設(shè)未知數(shù)并用未知數(shù)分別表示出兩個角，再依據(jù)定值的含義，求出n的值.

題3：如圖13所示，AB∥CD，點G在AB上，點H在CD上，點K在AB，CD之間且在直線GH的左側(cè). 已知∠GKH=60°，點P在線段KH上（不與K，H重合），連接PG并延長至M，∠KHC=n∠KGP，要使得∠AGM/∠GPH為定值，求n.

小結(jié)? （1）遇倍數(shù)關(guān)系式時，可設(shè)未知數(shù);（2）正確理解定值的內(nèi)涵;（3）進一步內(nèi)化題組1、題組2的解答方法，并靈活地應(yīng)用于其他數(shù)學(xué)情境，以達到融會貫通的學(xué)習(xí)效果.

教學(xué)反思

1. 立足認知心理，邏輯與認知雙維進階

借助西蒙數(shù)學(xué)教學(xué)法設(shè)計教學(xué)方案，其優(yōu)勢是立足認知心理學(xué)，從邏輯和認知的維度出發(fā)，助力學(xué)習(xí)者建構(gòu)知識.

建構(gòu)主義理論認為：學(xué)習(xí)不是知識由外到內(nèi)的轉(zhuǎn)移和傳遞，不是他人間接經(jīng)驗的傳授，而是學(xué)習(xí)者主動地、自發(fā)地形成自己知識經(jīng)驗的過程，即“經(jīng)過新舊知識之間互相作用來擴充、豐富和改造已有的知識經(jīng)驗”[9]. 學(xué)習(xí)者是以自身的經(jīng)驗主動地建構(gòu)和形成新的知識和經(jīng)驗的，不是被動地接受;且所進行的有意義的建構(gòu)并不是毫無根據(jù)的，而是在具體的情境中進行的. 獲得新的知識經(jīng)驗與已有的知識經(jīng)驗相關(guān)，所經(jīng)歷的問題通常是具體的情境問題. 所以，教師可以根據(jù)不同的課型、不同的教學(xué)目標(biāo)、不同的教學(xué)對象，由易到難、層次分明地設(shè)置題組，使學(xué)生處于易于解決的具體問題中，例如本教學(xué)設(shè)計中的各題組的編排，就是讓學(xué)生聯(lián)系舊知，建構(gòu)新的知識經(jīng)驗，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生思維，提高課堂效率.

2. 搭建認知支架，“問題鏈”明確思維指向

由維果斯基的最近發(fā)展區(qū)理論，題組中各小題的設(shè)計可以看作是教師為學(xué)生從“現(xiàn)有水平”到“可能達到的發(fā)展水平”搭建的“支架”. 問題間存在一定的層次性與梯度性，在解決這些問題中，不斷攻破重難點，使教學(xué)目標(biāo)得以順利完成. 奧蘇貝爾認為影響學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)效果最主要的因素是“學(xué)習(xí)者已掌握的知識和即將掌握的知識之間建立聯(lián)系的情況，當(dāng)學(xué)習(xí)者將新知識內(nèi)化成自己的認知結(jié)構(gòu)后，便促進了有意義學(xué)習(xí)的完成”. 西蒙數(shù)學(xué)理論重視學(xué)生個體的心理、認知等因素對學(xué)習(xí)過程的影響. 教師遵循“小步走”“例中學(xué)” 與“做中學(xué)”的核心思想，精心設(shè)置例題及梯度性問題，助力學(xué)生自我學(xué)習(xí)與知識建構(gòu)，促其內(nèi)化知識、形成技能實現(xiàn)知識的有效遷移. 這與建構(gòu)主義理論、最近發(fā)展區(qū)理論和奧蘇貝爾的有意義學(xué)習(xí)等理論是一致的.

西蒙數(shù)學(xué)理論提倡的“題組問題鏈”教學(xué)是一種高效教學(xué)方法，能幫助學(xué)生減輕負擔(dān)，點燃學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生學(xué)得主動而且快樂，教師主要的任務(wù)是引導(dǎo)、組織. 這與“重視學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性”“關(guān)注學(xué)生知識的形成過程”等新課標(biāo)教育理念是一致的. “平行拐角求角度”這節(jié)課的內(nèi)容，難度較大，若是直接呈現(xiàn)每個題組的最后一題，很多學(xué)生可能會出現(xiàn)畏難情緒，學(xué)習(xí)的主動性將受到影響. 若這時教師直接“滿堂灌”地講授，則會出現(xiàn)另一種局面：學(xué)生依然無法真正掌握解題方法，更難以內(nèi)化成自己的知識結(jié)構(gòu)，無法實現(xiàn)有意義的學(xué)習(xí).

3. 精心編排問題，拾級助推突破重難點

基于西蒙數(shù)學(xué)理論的教學(xué)法提倡教師采用“小步走”，由易到難、從具體到抽象逐層遞進地精心編排題組，把具有一定難度的問題分解成幾個具有關(guān)聯(lián)性的子問題，由淺入深地促進學(xué)生的思維進步，從而完成教學(xué)目標(biāo). 因此題組中的問題編排是攻破重難點的關(guān)鍵. 這就要求教師在備課時深入研究教材和相關(guān)資料，了解學(xué)生現(xiàn)有的知識儲備和學(xué)習(xí)經(jīng)驗，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)、重難點的需要，預(yù)設(shè)一系列環(huán)環(huán)相扣、層層遞進、不斷深入的“問題鏈”，促進學(xué)生拾級而上.

筆者在“平行拐角求角度”這節(jié)課中，講評作業(yè)題目時發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生對六個平行拐角基本圖形的結(jié)論不熟悉，導(dǎo)致他們講解題目解法時耗時過多，題組1的前三個問題的解答超出了預(yù)計時間，所以課堂上沒有足夠的時間讓學(xué)生完成題組2. 筆者分析，學(xué)生現(xiàn)有的認知水平，以及他們對該問題的掌握程度不夠，是一個重要的原因. 若重新調(diào)整，會在此內(nèi)容施教前，增加一節(jié)針對這六個平行拐角基本圖形的變式題訓(xùn)練課，讓本教學(xué)設(shè)計能夠得到更好的實施背景，從而高效實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).

近年來，國內(nèi)外掀起了數(shù)學(xué)教育心理學(xué)研究的熱潮，主要涉及學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的認知因素，對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)效的提升大有裨益. 因此，教師要踐行西蒙數(shù)學(xué)等理論，從認知心理的角度設(shè)計教學(xué)方案，在教學(xué)過程中不斷反思與實踐，探求更多的有效的方法，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

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