巧借相對運動原理,妙解數學動點問題

[摘? 要] 縱覽近些年的數學中考試題，動點問題常出現在壓軸的位置. 此類問題具備綜合性高、分值大等特點，對學生的基本功要求較高. 不少學生遇到此類問題常常唉聲嘆氣，感覺力不從心. 鑒于此，文章以翻折（軸對稱）、平移、旋轉三類動點問題的解決為例，具體談談如何巧借相對運動原理，妙解數學動點問題.

[關鍵詞] 動點問題;相對運動;解題

作者簡介：李斌（1986—），本科學歷，從事初中數學教學工作.

物理學中，常借助相對運動原理解決一些運動問題. 其中，參照物的選擇尤為重要，它決定著運動的角度、效果與運算等. 實踐證明，相對運動原理除了廣泛應用于物理學科外，對處理數學中的定點與動點問題也有較好的效果[1].

一般情況下，遇到動態問題的求解，學生首先想到的就是用函數模型來解決問題，這種方法雖然符合學生的認知，但過程過于煩瑣. 如果根據問題條件，從運動變化的角度來觀察圖形以解決問題，這對于初中生而言，難度又相對偏高. 而巧借運動的相對性特征，不僅能將復雜的動態問題簡單化，還能激活學生的思維，幫助學生建構新的模型.

經典例題分析

初中階段，數學教學涉及的動態變化問題常見的有翻折、平移與旋轉等. 如何快速、準確地把握此類問題的核心，實現求解呢？實踐發現，掌握規律、以靜制動、巧用模型、應用函數思想等方法，能起到較好的效果. 在此，筆者以三類問題為研究方向，結合運動的相對性特征的應用，進行解題分析.

1. 翻折（軸對稱）相對運動

此類問題一般以軸對稱類問題為代表，學生解題時常因缺乏良好的空間感而出現思維障礙. 若能借助相對運動原理解題，則能化繁為簡，突破思維的瓶頸，使解題得心應手.

例1? 如圖1所示，在矩形ABCD中，已知AB=12，BC=9，AE為∠CAB的平分線，其中點O為射線AE上的動點，若以點O為圓心作圓，使得☉O分別與直線AC，AB相切于點G，F，再作☉O關于射線AC的對稱圖形☉O′. 當☉O′與直線CD為相切的關系時，此時☉O的半徑為多少？

分析? 從問題條件著手進行分析，如圖2所示，將☉O翻折，獲得☉O′，但點O為一個動點，☉O會隨著點O位置的變化而變化. 因此，解決本題的關鍵步驟在于刻畫出☉O′的活動軌跡，找出它與直線CD發生相切關系的具體位置，位置一旦固定，求☉O的半徑就不成問題了.

處于運動狀態的☉O本身就比較復雜，若再將它翻折，則給學生思考增加了難度. 面對如此復雜的問題，若換個角度去分析，可能會有新的收獲.

如圖3所示，根據題意可知，☉O的軸對稱圖形☉O′是相對于直線CD在運動的，CD這條直線一直處于靜止狀態，若將CD這條直線沿著對角線AC翻折，僅需考慮☉O與CD的翻折線相切的情況即可.

解答：將CD沿著AC翻折，獲得CD′，由∠ACD′=∠ACD=∠CAH可知△ACH為一個等腰三角形. 容易證明點G為AC的中點，可得AG=CG=7.5，再從切線長定理出發，可得FA=GA=7.5.

分別連接OG，OF，根據切線性質，容易獲得Rt△OGA，Rt△OFA，BC∥OF，通過相似比可得=.

根據題設條件與證明，AB，AF的長已經知道了，那么該如何求得BE的長呢？

根據角平分線的性質，可知BE的長與點E到AC的距離相等，因此自然想到，過點E作AC的垂線，再運用面積法得（12+15）BE=9×12，計算得BE=4，將其代入式子=，得=，計算得OF=2.5.

至此，就完美地解決了本題. 從該解題過程來看，相對運動原理的應用，有效地解決了這個復雜的軸對稱翻折問題，而且解題過程思路清晰，學生順利解決這一道題就能獲得解決這一類問題的能力.

例2? 如圖4所示，四邊形ABCD為一個菱形，其中AC=6，BD=6，點E為BC邊的中點，點P，M分別為AC，AB邊上的動點，若分別連接PE，PM，求PE+PM的最小值.

分析? 觀察題設條件，可知點P，M為兩個動點，點E為定點，那么點P，M在相對于點E的運動中，在什么情況下PE+PM的值最小呢？學生參考自身已有的認知經驗，得到P，M，E三點共線時，PE+PM的值是最小的. 問題是，這三點并沒有實質運動到同一條直線上，該怎么辦呢？這讓不少學生感到茫然.

如圖5所示，反過來思考，將點E看作相對于點P，M運動的一點，從菱形的性質出發，利用翻折法將PE轉化成PE′，這相當于E，P，M三點就在同一條直線上，當E′M與AB垂直時，待求的PE+PM的值最小.

解答：如圖5所示，作點E關于AC的對稱點E′，再過點E′作E′M垂直于AB，點M為垂足，且與AC相交于點P，此時點P，M的位置為PE+PM取最小值的位置（證明過程略），因此PE+PM=PE′+PM=ME′.

因為四邊形ABCD為一個菱形，所以點E′位于CD上，又AC=6，BD=6，因此AB=3. 根據菱形的性質可得S=AC·BD=ME′·AB，計算得ME′=2，即PE+PM的最小值為2.

運動與靜止是相對而言的，本題將定點視為動點，將動點理解為定點，有效突破了思維的障礙，讓解題變得簡便. 通過本題的解決，讓學生深切體會到，解決數學問題，必須學會從多角度分析問題，當一條路行不通時，要換一種思維方式，則有可能見到曙光.

2. 平移類相對運動

平移類問題是近些年的熱門話題，一個點、一條線或一個圖形的移動，會帶動整個圖形的變化，這讓不少學生感到難以想象. 其實，相對運動能化動為靜，也能化靜為動，可降低問題難度，突破解題障礙.

例3? 在直角坐標系xOy中，點O的坐標為（0，0），已知點At

，t為第一象限內的一個動點，點B（0，m）為y軸正半軸上的一個動點. 求AB=4時，△ABO的最大面積值.

分析? 從動點A的特征出發，能判斷出點A在直線y=x（x>0）上運動，而點B則在y軸上運動. 那么待求的△ABO就存在兩個動點，想要直接求出該三角形的面積，幾乎不可能.

觀察圖形，從圖中的幾何元素來思考，發現點A，B分別相對于點O在進行運動. 若將點A，B理解成靜止的，那么點O則相對于點A，B在運動. 從這個角度出發，問題則簡單多了.

解答：如圖6所示，根據點A的坐標，可知點A為直線y=x（x>0）上運動的點. 根據k=，不難發現∠AOB=60°. 又點O相對于A，B兩點在運動，可確定點O的活動軌跡為圓，由此可知△ABO為該圓（活動軌跡）的內接三角形. 若想使得△ABO的面積最大，那它應為一個等邊三角形. 根據AB=4，可得該等邊三角形的高為2，故（S）=×4×2=4.

3. 旋轉型相對運動

例4? 如圖7所示，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=BC=6，點D為AB邊延長線上的一點，AB=CD. 若將△ACD圍繞點C逆時針旋轉α°（0<α<360），可得△A′CD′，如果點M恰巧為AC的中點，而點N為A′D′上的任意點，那么在三角形的旋轉過程中，線段NM長的取值范圍是多少？

分析? 根據題意可知，點M為定點，N為動點，點N會隨著△A′CD′的旋轉而發生旋轉運動，點N為相對于點M在一個動圓中不斷變化的點. 至于運動到哪個位置距離最大，哪個位置距離最小為本題的難點所在. 不少學生受空間想象力的限制，很難把握住NM長的取值范圍.

若將△ACD理解為一個固定不動的三角形，點N的位置一直落于線段AD上，將點M理解成相對于點N在不斷運動的點，點M到點C的距離不變，那么點M的運動軌跡就是以點C為圓心，以線段MC為半徑的圓.

解答：如圖8所示，當CN垂直于AD，與圓C相交于點M時，線段NM的長是最短的;當點N重合于點D時，延長DC可與圓C相交于點M，這時的NM最長.

依照直角三角形的相關性質，可得CN=3，CN=6，M1C=M2C=3，由此可確定NM長的取值范圍是

通過以上三類例題的分析，不難發現，它們雖然是不同種類的問題，但都蘊含著共性：以題設條件所提供的圖形進行分析并試圖求解，反而會將問題變得更加復雜，難度更大，而換個思維角度，引入相對運動的方法，則能讓原本動態、復雜的圖形變為靜止、簡單的圖形. 隨著參照物的變化，問題變得越發簡單，學生能從中感知到一片新的解題天地.

借助相對運動解決問題的關鍵，在于明確其中的運動過程，并結合問題中所涉及的翻折、平移與旋轉等性質，可巧妙地結合圖形中運動的相對性原理，破解思維上的難點，達到解決問題的目的.

教學思考

1. 注重思維過程，提煉知識本質

解題過程反映了學生的思維能力，教師應注意避免學生出現“思維劃過”的現象，所謂思維劃過就是指“知其然而不知其所以然”的狀態，即看到問題能知曉答案，卻不知道答案的由來;或只能就題論題，知道某一題的解答方法，卻無法理解一類題的解答通法，更談不上變通與舉一反三. 通過一道題的解決，獲得觸類旁通的解題能力，才是真正掌握了知識的本質.

弗賴登塔爾提出，再創造是數學學習最正確的方法[2]. 也就是說，教師應引導學生將所學知識再創造一次，讓學生親歷知識的形成與發展過程，對知識的本質產生深刻理解，為知識的靈活應用奠定基礎.

鑒于此，教師在課程設計、教學實施的過程中，應做個有心人，通過對例題的精挑細選，營造民主、和諧的教學氛圍，鼓勵學生在獨立思考、自主分析與合作交流中，經歷問題的辨析過程，提出合理的解題策略，自覺發現知識的核心性質以及解題的通法與技巧等，從而體悟出數學的本源與意義.

巧借相對運動原理解決數學問題的教學中，教師應注重結合學生原有的認知結構，應用同化與順應的教學方法，引導學生充分感知運動過程，以及參照物發生改變后的運動與靜止的相對關系，以提升學生的空間想象力與數學思維.

2. 立足實踐操作，親歷體驗感悟

對初中生而言，相對運動確實有點抽象，想要讓學生從“紙上談兵”中理清圖形間運動與靜止的關系，真不是一件容易的事情. 若借助實踐操作，則能讓學生通過直觀感受發現問題中圖形元素靜止與運動的相對狀態，為解題奠定基礎[3].

隨著社會的發展，科技的進步，幾何畫板、多媒體等的應用越來越廣泛. 為了增強學生的空間想象力，并理解運動與靜止的相對關系，教師可借助這些先進的多媒體工具，鼓勵學生親自參與動態圖形的繪制，讓學生在操作、觀察、演示與測量中，更加直觀地感知問題中的相對運動關系，為發現并深刻理解動態問題的本質奠定基礎，也為形成良好的解題能力夯實基礎.

3. 加強知識梳理，提高思維能力

數學是一門系統性學科，教學過程遵循循序漸進的原則. 在整合圖形變化類的知識點時，教師應鼓勵學生自主感知題組解答與互動過程，為有效推動知識入網做準備. 上述幾個例題，都是筆者精心篩選出來的問題，主要是從圖形運動變化的規律來思考相對運動的問題，幫助學生梳理此部分知識，為后期解決更多綜合性動態問題提供強有力的支撐.

日常教學中，教師可以時常帶領學生總結各類基本圖形，通過多次、反復的有效訓練，讓學生形成一種解題的條件反射. 尤其要注重對知識本身的追溯，讓學生學會思考、善于思考，并在思考中形成自己獨有的解題經驗與技巧. 當再次遇到同類型的問題時，學生即使搞不清問題的來龍去脈，也能快速地想到作輔助線去解決問題.

當然，最關鍵的在于教師要做到心中有數，只有引導學生做好知識梳理工作，幫助學生建立完備的認知體系，學生才能自主地打通各個知識點之間的脈絡，建立良好的知識體系，獲得問題的本源，提高解題能力與數學素養.

總之，巧借相對運動解決數學問題并不復雜，關鍵是要抓住相對運動的過程，結合翻折、平移、旋轉等性質，巧妙地改變圖形相對運動的關系，則能順利解決問題. 解題中，常會涉及數形結合思想、轉化思想、極端化思想以及建模思想等，這些數學思想作為數學核心素養的重要組成部分，也是課堂教學中滲透的重點.

參考文獻：

[1]波利亞. 數學的發現[M]. 劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯. 北京：科學出版社，2006.

[2]弗賴登塔爾. 作為教育任務的數學[M]. 上海：上海教育出版社，1995.

[3]李健. 妙用相對運動? 巧解動態問題[J]. 初中數學教與學，2019（11）：35-37.