淺析數學思想方法在教學過程中的滲透與發展

[摘? 要] 思想和方法蘊含在知識形成、發展和應用的過程中，是知識轉化為能力的紐帶，其生長于數學課堂的每個角落. 為了更好地發展學生，初中數學教師在關注結果教育的同時也要關注創新教育，帶領學生在知識的形成、發展和應用過程中感悟數學思想方法的價值，提升學生核心素養.

[關鍵詞] 思想和方法;創新教育;核心素養

作者簡介：閔曉穎（1965—），本科學歷，中學高級教師，從事初中數學教學與研究工作.

數學學習是知識的一種傳承，更是思想和方法的發展. 思想和方法是知識更高層次的一種抽象和概況，更能彰顯學生的數學學習能力和思維發展水平. 但在應試教育的束縛下，不少數學課堂還延續著“以師為主”的講授教育模式. 要知道，單純傳授知識的教育是一種結果教育、間接經驗教育，它重點強調的是知識的傳承，其往往難以激發學生的潛能，不利于學生創新能力的提升. 而創新教育是一種過程教育、直接經驗教育，教師應帶領學生參與知識的形成和發展過程，從而讓學生在參與的過程中獲得直接的數學感悟，將其逐漸轉化為個體的獨特學習能力，助力學生提升自主學習能力. 同時，為了更好地發展學生的創新能力，教師在數學教學中要重視數學思想方法的滲透，從而幫助學生更好地認識問題的本質，激發學生無限潛能，促進學生學習能力不斷提升.

在知識的形成過程中激發

在傳統教學中，為了提升教學效率，大多教師通常獨占課堂，將知識和經驗以講授的方式直接傳授給學生，同時加以輔助的練習幫助學生理解和消化. 從練習反饋來看，對于一些簡單的問題學生可以通過模仿和套用順利完成，但是對于一些多變的、復雜的問題，學生常常表現得束手無策，究其原因是過程的缺失并沒有讓學生的思維能力和解決問題的能力獲得實質性的提升. 為了改變這一現象，在日常教學中教師可以帶領學生經歷一些知識形成的過程，并在此過程中注重思想方法的滲透和提煉，讓學生在學懂學會的基礎上，可以靈活應用相關知識去解決問題[1].

案例1? 認識“增根”

在實踐教學中，部分學生通常將增根與無解的概念混淆，為了讓學生更好地理解分式方程中的“增根”概念，教師完成概念教學后又帶領學生通過具體練習經歷知識形成過程，以此幫助學生更好地理解和掌握概念.

師：通過以上分析，誰來說一說若使分式方程有增根需要滿足什么條件？

生1：既要保證變形后方程的根，又要使原方程中的分母為0.

師：若關于x的方程-=1有增根，則m=______. （問題給出后教師鼓勵學生獨立求解）

生2：若該方程有增根，則方程中的分母為0，即（x+1）（x-1）=0，于是x=1和x=-1. 方程變形得6-m（x+1）=（x+1）（x-1），當x=1時，6-2m=0，m=3，驗證符合題意. 當x=-1時，等號不成立，所以x=-1不是方程的增根.

師：很好，看來大家已經熟練掌握了增根的成立條件，現在大家看一下這個問題. （教師用PPT給出問題1）

問題1：若關于x的方程-=1有增根，則a=______.

問題給出后，學生按照上述過程求解，很快得到了答案.

生3：若該方程有增根，則x=0或x=1. 方程變形得x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），當x=0時，等號不成立;當x=1時，1-a=0，所以a=1.

生4：這個題有問題，若a=1，則有-=1，即=0，方程無解，這是怎么回事呢？

師：很好，觀察得非常仔細，這確實是一個問題. 問題到底出在哪里呢？（生沉思）

師：仔細觀察分式，在什么情況下分式才有意義？

生5：當x-1≠0，即x≠1時，分式才有意義.

師：那么分式何時才能約分呢？

生6：只有當分式中分子和分母的公因式不等于0時才能約分.

師：很好，也就是說只有當分式有意義時，分式才能約分.

師：我們來回顧一下求解過程，“當x=1時，1-a=0，所以a=1”，也就是說a=1時，變形方程的根x=1，此時分式沒有意義，所以分式不能直接約分.

生7：那么該如何驗證呢？代入原方程不能驗證，難道代入變形方程進行驗證？

師：解分式方程時，對于含有未知數的因式若想做約分處理必須保證分子和分母的公因式不等于0，否則若盲目約分容易使方程失根. 驗證時代入原方程或變形方程的結果是一樣的，但是代入變形方程一般會更簡捷，因此本題可直接代入變形方程進行驗證. 當a=1時，x（x-1）-3（x-1）=x（x-1），得x=1. 其滿足方程有增根的要素，即變形后的方程有根，根為x=1，且滿足原方程的分母為0. 所以當a=1時，有增根x=1.

教學中，教師通過精心設計的練習引導學生從本質上理解分式、分式方程、增根之間的聯系，通過親身經歷切身體驗回驗的重要性，同時讓學生在參與的過程中積極思考與互動，有助于學生數學活動經驗的積累，有助于學生自我發現和分析能力的提升.

師：大家思考一下，這個問題該如何求解呢？（教師用PPT給出問題2）

問題2：若關于x的方程-=1無解，則a=______.

師：將“增根”變為“無解”，該如何求解呢？

生8：若想求解首先需要變形，若變形方程有根，而原方程的分母為0，產生增根，原方程無解，故當a=1時，方程無解.

生9：當a=-2時方程也無解.

師：具體說一說你的理由.

生9：方程變形并整理可得（a+2）x=3，若a=-2，則變形方程無解，所以原方程無解.

師：補充得非常好，大家思考一下，是不是分式方程無解都會存在這樣的兩種情況呢？（生沉默）

師：這個問題似乎有些難以解答，現在我們借助具體習題分析一下. （教師用PPT給出問題3）

問題3：若關于x的分式方程-2=無解，則m=______.

（問題給出后，教師讓學生獨立思考，反應快的學生很快就有了答案）

生10：方程變形并整理得x=m+10，此時只滿足上述的第一種情況，即當x=5時，方程有增根，此時m=-5.

師：很好，結合以上過程請大家總結歸納一下求分式方程“無解”的解題過程.

在教師的指導和鼓勵下，學生通過互動交流，總結歸納出了分式方程“無解”的具體解題過程. 這樣讓學生親歷“增根”與“無解”的形成過程，有利于學生更深刻地理解兩者的本質聯系，可有效避免因理解不清而造成的錯解，有利于提升學生解決實際問題的能力.

在實踐教學中，學生面對一些相似或相關的問題時，常常會因為理解不夠深刻而出現“張冠李戴”，因此實踐教學中教師有必要精心挑選一些具有代表性的問題進行引導和強化，從而借助實際操作讓學生更好地理解知識、應用知識、內化知識.

在知識的發展過程中滲透

數學知識具有一定的邏輯性、關聯性和發展性，隨著學生認知水平的不斷提升，學生解決問題的能力也得到了較大的發展和提升. 教學中教師要用發展的眼光看待學生，善于應用一些啟發性的問題激發學生的思維，提升學生的數學素養.

案例2? 如圖1所示，在Rt△ABC和Rt△DEA中，∠BAC=∠D=90°，AB=AC，AD=DE，AB

（1）圖1中共有多少個三角形？分別是什么？

（2）圖1中共有幾對相似三角形？分別是什么？

教師帶領學生復習“相似三角形的性質和判定”時，借助開放性問題引導學生通過直觀觀察和邏輯推理完成知識的回顧. 案例2較為簡單，學生順利地找出了所有的三角形，并用相似三角形的判別方法進行了證明. （教學過程略）

師：接下來，我們將問題“變一變”，大家有沒有信心求解呢？

生齊聲答：有.

師：很好. （教師繼續展示問題）

如圖2所示，△ABC和△DEF為兩個不全等的等腰直角三角形，其中∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的頂點E與△ABC的斜邊中點重合. 現將△DEF繞點E旋轉（如圖3所示），線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與射線CA相交于點Q.

（1）如圖2所示，當點Q在線段AC上時，△BPE與△CEQ相似嗎？為什么？

（2）如圖3所示，當點Q在線段CA的延長線上時，連接PQ，圖中有幾個與△CEQ相似的三角形？分別是什么？

問題（1）較為簡單，與上面問題基本類同，因此證明問題（1）讓學生獨立完成，對于個別有問題的學生教師進行單獨指導. 問題（2）難度略有提升，教師讓學生經過討論、交流后再回答，通過合作交流大家很快也找到了解題方法.

生11：由△BPE∽△CEQ，可得=. 因為BE=CE，所以=. 又∠FED=∠C=45°，根據相似三角形的判定定理可證△CEQ∽△EPQ.

師：你是受什么啟發的？

生12：主要是受問題（1）的啟發，△BPE易找，而△EPQ難找，但是有了前面問題的鋪墊，容易發現隱含條件“對應邊成比例”，這樣根據已知進行轉化，就尋得了△EPQ.

師：說得很好，在一些綜合題，尤其是壓軸題中，前面的問題往往是后面的鋪墊，因此解題時要用發展的眼光去看待問題，善于應用類比和轉化的思想去思考與解決問題，這樣往往會收到事半功倍的效果.

接下來，教師將題目進行了改編，將“△ABC和△DEF為兩個不全等的等腰直角三角形，其中∠BAC=∠EDF=90°”改編為“△ABC為等腰三角形，∠BAC=120°”，若△BPE與△CEQ相似，求∠DEF的度數. 這樣通過靈活的變化易于激發學生思維活力，讓學生在逆向推理的過程中靈活運用知識解決問題.

解題是數學教學的重要課題，但是解題不應局限于“就題論題”，教師可以借助一些變式問題引導學生去發現、去探究，從而借助“變”實現知識的同化、順應和發展，助力學生解決問題能力的提升.

在知識的應用過程中落實

因思維差異的存在，使得學生在解題時往往會呈現一種多樣性，在教學中教師不僅要鼓勵學生學會多角度、多維度思考問題，同時還應引導學生嘗試應用多種解法來解決問題，從而幫助學生找到解決問題的通法，提升思維的靈活性[2].

案例3? 函數y=-的圖象上有A（1，y），B（-1，y），C（-2，y）三點，則下列各式正確的是（? ?）

A. y

C. y

師：對于案例3你認為應該如何求解？

生13：這個很簡單，將三點的坐標直接代入函數就可以得到答案，代入后分別求得y=-4，y=4，y=2，所以y

師：很好，運用計算法，通過計算、比較、判斷，輕松地求得了答案. 還有其他方法嗎？

生14：還可以用觀察法，先畫出函數y=-的圖象，然后分別描出三點，這樣通過直觀觀察也能輕松得到答案.

師：很好！以上兩種方法都是常用的方法，而且生14的方法還體現了數形結合這一重要的思想方法，借助“形”可以使問題更加直觀化、具體化.

師：大家思考一下，是否可以直接利用反比例函數的性質來比較三者之間的數量關系呢？

生15：可以. 由已知k=-4<0，所以y隨x的增大而增大，因為-2<-1<1，所以y

生16：這個結果指定是不對的. （生16補充道）

師：問題到底出現在哪里呢？

雖然大家知道生15的結果有問題，但是一時不知問題到底出現在哪里，課堂氣氛沉悶.

師：請各小組討論交流一下，為什么不對呢？（通過交流，大多學生找到了問題的癥結，紛紛舉手）

生17：我知道了，因為反比例函數不是連續函數，若想利用增減趨勢來判斷大小只適用于同一個象限，而根據已知可以看出三點并非同一個象限內的點，所以不能籠統地用反比例函數的增減性質來比較函數值的大小.

師：很好，現在請同學們在草稿紙上畫出函數y=-. （教師看有部分學生還沒有認清問題的本質，于是讓學生通過“畫一畫”親身體驗圖象的不連續性，從而為下面的探究掃清障礙）

師：若想利用函數的性質判斷數量關系是否可行呢？

生18：可以. 根據已知，點A在第四象限，所以y<0;點B，C同為第二象限上的點，y隨x的增大而增大，而-2<-1，所以0

師：說得很好，條理清晰. 接下來請同學們看一下這個問題該如何比較三個函數值的大小關系呢.（教師用PPT展示題目）

變式1：已知點A（x，y），B（x，y），C（x，y）在反比例函數y=（k>0）的圖象上，且x>x>0>x，則y，y，y的大小關系是______.

為了深化對剛剛問題的理解，引導學生從特殊向一般轉化，教師對題目進行了改編，進而讓學生在鞏固知識的基礎上實現問題的深化.

生19：因為反比例函數y=中的k>0，所以函數的圖象位于第一、第三象限，y隨x的增大而減小. 又x>x>0>x，所以點A，B在第一象限，0

師：說得很好！現在我們再增加一點難度，看看你們是否還會.

變式2：知點A（x，y），B（x，y），C（x，y）在y=的圖象上，x

問題給出后，學生很快就給出了答案，這次教師點名基礎較弱的學生來回答變式2，從學生回答反饋上來看，大多數學生經歷了以上變式練習已經熟練地掌握了應用反比例函數的性質比較數的大小的方法.

在以上教學過程中，教師引導學生利用“多解”探究同一問題，同時在“問題鏈”的引導下讓學生自然地融入思考和討論問題的過程中，有效地激發了學生的學習熱情. 同時在探究過程中，借助“錯解”讓學生進行合作交流，并發現錯誤的癥結，幫助學生理解了連續函數與不連續函數在具體應用上的本質區別. 另外，教師在問題的設計上遵循由易到難、逐層遞進的變化規律，讓學生在特殊中認識了問題的一般規律，有助于學生思維能力盤旋上升.

總之，教師在日常教學過程中應關注過程教學，注意數學思想方法的滲透，善于應用“多變”“多解”等教學手段來培養學生的發散思維，拓展學生的視野，讓思想與方法在知識的生成、發展和應用過程中扎根、開花、結果.

參考文獻：

[1]盛盈丹，周孝輝. 踐行過程教育，提升數學抽象素養——“探索確定位置的方法”教學實踐與反思[J]. 中學數學教學參考，2018（24）：1-3.

[2]趙齊猛. 在數學實驗中獲取有價值的數學活動經驗[J]. 中學數學教學參考，2014（11）：58-60.