基于Drucker-Prager屈服準則及加卸載判據的圓形隧道圍巖-支護作用機制探討

葉泰龍 喻勇

摘要：隧道圍巖-支護相互作用機制是隧道力學中的基礎理論，為了準確描述圍巖與支護結構對隧道應力變形的影響，假定圍巖本構模型為理想彈塑性模型，采用適用于巖土材料的Drucker-Prager屈服準則，考慮加卸載判據，證明了圓形隧道的開挖過程是一個加載過程，支護過程是卸載過程。通過大型有限元仿真軟件Abaqus計算了平面應變情況下圓形隧道開挖與支護過程的彈塑性解。數值分析結果與理論公式結果相吻合，表明開挖的過程是解除內壓、增大壓差的加載過程，支護過程為施加內壓、減小壓差的卸載過程。支護后的圍巖應力增量和位移增量符合彈性規律，且支護過后的應力等于開挖后的應力減去彈性應力。支護過程的卸載效應使得開挖過程產生的塑性區變成了殘余變形區。研究結果可為工程應用提供參考。

關鍵詞：圓形隧道Drucker-Prager屈服準則加卸載判據圍巖-支護相互作用數值模擬

中圖分類號：U451.2文獻標志碼：A文章編號：1671-8755（2023）01-0061-06

Abstract：Theinteractionmechanismoftunnelsurroundingrockandsupportisthefundamentaltheoryoftunnelmechanics.Inordertoaccuratelydescribetheinfluenceofsurroundingrockandsupportstructureontunnelstressanddeformation，thesurroundingrockconstitutivemodelwasassumedtobeanidealelastic-plasticmodel.UsingtheDrucker-Prageryieldcriterionforgeotechnicalmaterialsandconsideringtheloadingandunloadingcriteria，itisprovedthattheexcavationprocessofthecirculartunnelisaloadingprocess，andthesupportprocessisanunloadingprocess.Theelastic-plasticsolutionoftheexcavationandsupportprocessofcirculartunnelunderplanestrainwascalculatedbythelargefiniteelementsimulationsoftwareAbaqus.Thenumericalanalysisresultsareconsistentwiththoseoftheoreticalanalysis，indicatingthattheexcavationprocessistheloadingprocesswithreleasingtheinternalpressureandincreasingthepressuredifference，andthesupportprocessistheunloadingprocesswithapplyingtheinternalpressureandreducingthepressuredifference.Thestressincrementanddisplacementincrementofthesurroundingrockaftersupportconformtotheelasticitylaw，andthestressesaftersupportareequaltothoseatexcavationstageminuselasticcounterparts.Theunloadingeffectinthesupportprocessmakestheplasticzonegeneratedintheexcavationprocessbecometheresidualdeformationzone.Theresearchresultscanprovidereferenceforengineeringapplications.

Keywords：Circulartunnel;Drucker-Prageryieldcriterion;Loadingandunloadingcriterion;Surroundingrock-supportinteraction;Numericalsimulation

隧道圍巖與支護相互作用一直是隧道力學中的熱門問題，隧道的開挖會引起洞周圍巖應力與位移的重新分布，高地應力情況下會產生塑性變形區，影響著隧道安全與穩定及施工支護措施。

對于圍巖-支護相互作用機制的研究，1950-1960年代盛行的卡斯特奈公式［1］用來描述隧道塑性區應力的分布規律和圍巖塑性區半徑。該公式只適用于屈服準則為摩爾-庫侖準則的平面應變問題，且公式中支護力與原巖應力同時作用在圍巖上的做法與工程實際不符。文獻［2-3］基于Levy-Mises本構關系，研究了D-P屈服準則和Hoke-Brown屈服準則下的軸對稱圓形隧道的理想彈塑性解，但研究僅僅考慮了開挖階段，沒有涉及到支護部分；文獻［4］基于圍巖與支護相互作用的兩階段分析法，提出了一種預測理想彈塑性圍巖下虛擬支護力的數值方法；文獻［5］研究了彈塑性變形條件下圍巖-支護作用的全過程解析，并提出了開挖空間效應和虛擬支護力的概念，但是沒有考慮到開挖與支護的加卸載判斷。由于塑性力學行為與加載路徑有關，原巖應力和支護力同時加載與依次加載所產生的結果并不相同，文獻［6］以滿足摩爾-庫侖準則或Mises準則的理想彈塑性材料為例，考慮塑性力學的加卸載準則，判斷了隧道開挖與支護階段的加卸載情況，討論了卡氏公式的適用范圍，并提出了一種對于隧道開挖支護作用的新認識。但由于Mises準則更適用于金屬材料，摩爾-庫侖準則沒有考慮中間主應力的影響，兩者不能較好地反映巖土材料的應力位移特性。本文在文獻［6］的基礎上，考慮到隧道圍巖為巖土材料，基于Drucker-Prager屈服準則（以下簡稱D-P準則），結合塑性力學的加卸載判據來研究隧道開挖與支護的加卸載情況。利用大型有限元仿真軟件Abaqus模擬了平面應變情況下圓形隧道開挖與支護過程的彈塑性計算過程，并分析了此過程對應力、位移分布的影響，結果對實際工程有一定參考價值。

1圓形隧道的彈塑性分析

1.1基本假設及力學模型的建立

為研究方便，假定隧道為圓形隧道，埋深較大，軸向無限長；地下隧道在巖體內處在一種均勻的初始應力場中；巖體為理想彈塑性體，其中在彈性階段，圍巖滿足古典線彈性理論的全部假定，即：連續、完全彈性、均勻、各向同性、小變形，且為平面應變狀態。

圓形隧道的力學模型如圖1所示。當隧道處在還未開挖的初始階段，巖體在無窮遠處受到地應力場p2的作用，如圖1（a）所示，其等效力學作用為在已開挖的圍巖洞周處施加大小相同的內壓力p1，如圖1（b）所示。隧道開挖過后的力學模型如圖1（c）所示，此時以解除內壓力p1來模擬開挖的過程。支護階段的力學模型如圖1（d）所示，在開挖后的狀態下再施加一個合適的內壓力p1來模擬支護力。

1.2圓形隧道在彈性階段的解

1.3屈服準則

在屈服準則的選取上，由于摩爾-庫侖準則在主應力空間的屈服面為不規則的六角錐形，在π平面上為不等角六邊形，不能很好地計算塑性應變增量，給數值模擬計算帶來了一定的困難，且摩爾-庫侖準則不能反映中間主應力σ2對屈服和破壞的影響，為此，這里采用更合理的D-P屈服準則［12］，其在π平面上為圓形，在主應力空間的屈服面為光滑圓錐，表述簡單且數值計算效率高，考慮了中間主應力的影響，在實際有限元軟件中獲得比較廣泛的應用，具體形式如下：

由式（20）可知，施加支護力會導致隧道圍巖的卸載。根據塑性力學理論，在產生塑性變形后卸除載荷，材料的應力應變和位移變化服從彈性規律，圍巖最終的應力、變形為卸載后的殘余應力和殘余變形。

2算例與分析

為了驗證本文基于D-P屈服準則和加卸載判據研究的正確性，下面計算高地應力場條件下的塑性區的產生條件和分布、應力分布及圍巖位移等，并與理論解進行對比研究。

因為圓形隧道模型存在對稱性，故采取四分之一圓來進行模擬。這里采用大型有限元分析軟件Abaqus進行模擬計算。隧道內徑a=5m，由于在數值計算中不能令隧道的外徑為無限大，且實踐表明在b10a與b=∞時，隧道應力的結果差距可以忽略不計。為方便計算，這里取b=50m。外壓即地應力p2=30MPa，圍巖的彈性模量E=12.5GPa，泊松比v=0.25，黏聚力c=6MPa，內摩擦角φ=25°。D-P模型與摩爾-庫侖模型的參數并不相等，但兩個模型的參數可以相互轉換。根據Abaqus軟件中D-P塑性本構模型公式［13-14］：

F=q-ptanβ-d（21）

換算后有如下關系：

tanβ=6sinφ3-sinφ（22）

d=6ccosφ3-sinφ（23）

計算可得對應于摩擦角φ的β值的大小為44.5°，d的大小為12.5MPa。

當隧道在縱向的尺寸比橫截面尺寸大得多且不考慮開挖面（掌子面）的影響時，平面應變的假定被認為是可以采用的。

有限元模型圖如圖2所示。考慮到隧道內壁附近的壓力變化較大，將網格密度徑向按等比關系共劃分成了9000個4結點雙線性平面應變四邊形單元。其中BD邊界固定橫向位移，AC邊界固定縱向位移。在CD邊界上施加30MPa的原巖應力，并在AB邊界上同時也施加30MPa的應力用來模擬隧道未開挖時的靜水應力場。

計算過程分為3步：

第一步：對未開挖的隧道模型進行彈塑性計算，此步驟得到了一個均勻的應力場，沒有產生塑性區；

第二步：開挖模擬。保持其他條件不變，將AB上的應力減小至0，繼續進行彈塑性計算。此步驟模擬隧道開挖的過程，因而AB上的應力被解除；

第三步：支護模擬。保持其他條件不變，在第二步的計算基礎上，在AB邊上施加8MPa的支護應力，繼續進行彈塑性計算。

以上計算為模擬隧道開挖與支護的彈塑性計算方案，為了說明卸載是彈性過程，單獨進行了一個彈性方案的計算，即在圖2模型中使AB邊的內壓為8MPa，DC邊的外壓為0進行彈性計算。

2.1數值計算結果分析

這里提取AC邊界的應力位移計算結果來進行研究分析。根據Abaqus數值分析軟件的默認規定，徑向應力σr可以表示為S11，環向應力σθ可以表示為S22，從數值計算結果提取數據分析，支護前后的應力分布如圖3所示。從圖3可以發現，切向應力曲線存在一個轉折點，這個轉折點右側的曲線分布規律與彈性狀態下的隧道應力分布相似，可以判定該點為彈性區域和塑性區域的分界點。還可以通過文獻提供的塑性區半徑公式：

Rp=R0［（1-3α）（1+3αkp0）］1-3α6α（24）

進行驗證。通過公式計算得到的塑性區半徑為5.74m，而數值計算得到該點處對應半徑為5.80m，兩者非常相近，這既驗證了轉折點為彈性區和塑性區的分界點，又表明了該公式適用于開挖階段的力學研究分析。

從圖3可以看出，隧道圍巖在開挖后與支護后兩個階段的應力分布規律是相似的，徑向應力的絕對值大小相對支護前有所增加，而環向應力的絕對值大小相對支護前有所減小。換而言之，支護后的環向應力與徑向應力的絕對值的差在減小，這說明了在支護之后沿半徑各點的應力圓在縮小，即應力圓的半徑減小，圓心位置不變。這時，應力圓顯然不會與D-P屈服準則所形成的屈服曲線重合或者相交，而是位于屈服曲線的內部，進一步說明圍巖應力狀態此時處于彈性狀態。

支護前后環向應力、徑向應力及位移的變化可以由它們自身的增量來表示。從圖4、圖5可以看出，應力、位移增量沿半徑的分布規律與隧道圍巖在彈性條件下只受內壓p1得到的應力、位移分布規律幾乎完全一致，表明支護階段支護力的施加符合彈性狀態下的規律，支護過程是一個彈性過程，說明支護過程是一個卸載過程。

同樣地，隧道圍巖的位移增量沿半徑的分布規律與彈性狀態下只受內壓p1情形下的圍巖位移分布規律幾乎完全一致。

對D-P屈服準則下結合加卸載判據的圓形隧道圍巖-支護相互作用機制的研究結果可以解釋為：隧道的地應力是一直大于其支護力的，地應力的影響要比支護結構的支護力大得多，考慮兩者大小之差顯得格外重要。僅考慮圍巖洞壁的話，解除支護力相當于卸載，但是對于整個巖體來說，壓差增大的過程是加載的過程，壓差減小則是卸載的過程。所以，這里的考慮對象應該是整個巖體。開挖階段解除內壓的過程是增大了壓差，產生了一個加載的效應，巖體狀態由彈性轉變為塑性狀態，形成了塑性區。而支護階段施加支護力是使隧道增加了一個內壓，減小了兩者的壓差，使巖體產生了一個卸載效應，進而使得塑性區成為了殘余變形區。

通過加卸載判據和數值分析計算的驗證，表明了隧道圍巖-支護相互作用機制為：隧道開挖支護的整個過程為先開挖后支護，開挖支護不是同時進行的，開挖的過程是解除內壓、增大壓差的加載過程，支護過程為施加內壓、減小壓差的卸載過程。

2.2數值計算結果與理論解對比分析

由上一節可以得到，支護后的圍巖應力等于支護前的彈性區和塑性區應力減去一個彈性應力。根據文獻［2］基于D-P屈服準則得到的圓形隧道的彈塑性解，可以得到支護前（即開挖后）塑性區應力公式和彈性區應力公式：

式中：R0為隧洞半徑；r為隧洞徑向上的一點；p0為地應力；α，k為巖石力學常數。

根據上節結論表述，支護后的圍巖應力大小會等于開挖后的圍巖應力大小減去只受內壓時的彈性區應力大小，這體現了圍巖作用機制的內外壓差效應，驗證結果如圖6所示。

從圖6可以看出，有限元模擬結果在支護后的圍巖應力-半徑曲線分布與理論公式計算得到的圍巖應力大小分布幾乎一致，再次驗證了數值結果的正確性又證明了隧道圍巖與支護相互作用的內外壓差效應是確實存在的。考慮加卸載判據可以為分析與研究隧洞圍巖的開挖與支護及更多實際工程提供理論依據。

3結論

關于圓形隧道圍巖-支護作用機制，通過理論分析和數值模擬計算，得到以下結論：（1）基于Drucker-Prager屈服準則，考慮加卸載判據，理想彈塑性圓形隧道的開挖是一個加載過程，支護是一個卸載過程。（2）通過Abaqus數值分析和理論公式對比可以驗證隧道的支護過程是一個卸載過程，它不產生塑性區，在這個階段的應力增量、位移增量符合彈性受力規律，且它會使得開挖形成的塑性區轉變成為殘余應力變形區域。（3）相較于摩爾-庫侖模型，考慮了中間主應力影響的Drucker-Prager屈服準則得到的應力理論解與數值解之間的差距更小，更符合巖土材料的特性。（4）開挖后的應力大小減去只受內壓情況下的彈性應力大小和支護后的圍巖應力大小一致，開挖后的圍巖位移大小減去彈性狀態下的位移等于支護后的圍巖位移大小，體現了圍巖內外壓差效應的正確性，進一步驗證了支護對于圍巖來說是一個卸載過程。

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