用變分量子本征求解器研究量子拉比模型的基態問題

郝明星 高一波

摘 要 在用變分法求解量子系統基態問題的研究中，采用變分量子算法求解基態的研究受到廣泛的關注，作為一種量子與經典混合算法的變分量子求解器在其中發揮了重要作用。本文在開源的量子計算模擬器上運行變分量子本征求解器對量子拉比模型在超強耦合區的基態進行了討論。在3量子比特空間中，我們采用標準二進制編碼方式將量子拉比模型中的算符和量子態進行編碼，并且在哈密頓量變分擬設構造的量子電路上計算得到哈密頓量最小平均值（基態能量）。最后，通過將變分量子本征求解器的計算結果與經典數值模擬方法得到的精確值進行對比，我們討論了變分量子本征求解器的計算精度與量子電路的消耗資源（量子比特數目）以及耦合強度之間的依賴關系。

關鍵詞 量子拉比模型;變分量子本征求解器;量子計算模擬器

量子系統中的大部分物理現象的發生是由能級躍遷決定的，能譜的計算一直都是量子力學中的重要問題。通常情況下，在量子力學中求解能量本征值時，可以把量子系統的哈密頓量寫成矩陣的形式，然后用解析方法或計算機數值模擬方法將矩陣對角化直接解出矩陣的特征值（能量本征值），從而可以計算各種物理量的平均值（期望值）和關聯函數等。多數情況下用解析方法求解矩陣的本征值是一個復雜的問題，也可采用數值模擬的方法（Qutip[1]）在通常的經典計算機上完成。

1982年，理查德· 費曼（Richard Feynman）在《用計算機模擬物理學》一文中討論用量子計算機模擬量子系統[2]時，首次提出了“量子計算機”，基于量子疊加態的量子計算機有不同于經典計算機的特點和特殊的優勢。普通的經典計算機解決問題時需要執行“經典算法”，伴隨量子計算機的發展也出現了“量子算法”。與經典計算機相比，1994年Peter Shor提出的大數因子化算法[3]和1996年Lov Grover提出的量子搜索算法[4]顯示出超越經典計算機的量子優勢，由此開拓了量子算法研究的廣闊空間。近年來，量子算法已經在化學、金融和醫學等領域進行了有效的探索和應用，涌現多種量子算法：如變分量子本征求解器[5]（Variational Quantum Eigensolver，以下簡稱VQE）、量子近似優化算法[6]（Quantum ApproximationOptimization Algorithm）、相干伊辛機[7]（Coherent Ising Machine）和量子退火算法[8]（Quantum annealing）等。實用量子計算機還沒建造成功，量子算法的發展受到量子硬件缺乏的限制，使得量子算法只能在小型量子硬件和模擬器上進行檢驗和運行。目前，受到廣泛關注的開源量子計算模擬器主要有Qiskit （IBM）、Cirq（Google）、Q# （Microsoft）、QPanda（本源量子）、Paddle Quantum（百度）和TensorCircuit（騰訊）等。本文使用Qiskit（Quantum information scienceKit）是由IBM 公司開發的開源量子軟件開發SDK （Software Development Kit），科學研究人員可以在模擬器上執行量子算法的運算和檢驗。鑒于量子硬件的缺乏，量子算法中的優化過程只能在經典計算機上運行，從而催生出VQE等量子經典混合算法[9]。在量子化學的研究中，用VQE計算分子基態能量[10-13]是目前比較成功的應用之一。本文將在Qiskit的模擬器上運行VQE 求解量子拉比模型的基態問題。

1 VQE的工作流程

利用量子力學變分原理求得量子系統的最小本征值（基態能量），對于給定哈密頓量H 的量子系統，其基態能量E0 表示為

E0 ≤E θ =<ψ θ H ψ θ > （1）

其中，θ 通常代表一組參數{θi，i=0，1，2，…}，且滿足歸一化條件<ψ θ |ψ θ >=1。VQE的基本思想就是：在量子計算機上計算能量平均值，利用經典優化方法迭代優化參數θ 從而得到最小的使得能量平均值E θ ，此時的試探態波函數|ψ（θ）>就是變分法得到的基態波函數。本文利用的VQE 是一種量子經典混合算法，其能量平均值的計算在量子電路上進行，變分參數的迭代更新由經典優化器完成，最后由變分參數的最優值確定基態能量和基態波函數。

以求基態為例，VQE的工作流程如下：

第一步：編碼。在計算表象（量子比特表象）中編碼量子系統的量子態和算符以及哈密頓量;

第二步：選定一個變分擬設，對試探波函數（|ψ θ >=U（θ）|ψ0>）進行參數化處理，并構造對應的量子電路;

第三步：利用損失函數在量子電路上測量出能量平均值C（θ）=<ψ θ |H|ψ θ >;第四步：利用經典優化器迭代更新參數θ，重復第三步中的能量平均值的測量，直至找到最小能量平均值（基態能量）。

在由多個量子比特組成的量子電路上執行量子計算過程，首先要將量子系統的量子態和算符進行編碼。用量子比特將量子系統的量子態和哈密頓量進行編碼[14]有多種方法，常用編碼方法主要有喬丹維格納（Jordan-Wigner）變換[15]、宇稱編碼（parity encoding）[16]和布拉維基塔耶夫（Bravyi-Kitaev）變換[17，18]，重新編碼后的哈密頓量形式上表示為

在上面的程序中，已經得到3光子量子光場當耦合強度g =0.6 時的基態能量的VQE 計算值。在此條件下，當耦合強度g取其他值時，VQE 計算值與Qutip 精確值之間存在差異（如圖3 所示）。取耦合強度g=0.1（強耦合區）時，相對誤差為0（VQE的計算值與Qutip的精確值相同），說明VQE的計算值的精度在強耦合區是足夠的。當耦合強度 g>0.1（超強耦合區）時，相對誤差隨耦合強度的變化逐漸增大（計算精度下降，相對誤差從0.00% 逐漸增大到4.44%）。這個結果表明，用于模擬量子光場的量子比特的數目取決于對計算精度的要求。如果要求計算精度大于99.9%（相對誤差小于0.1%），此時對耦合強度的限制為g≤0.2。

3 結果的討論

在上面的基態能量計算中，涉及兩個問題：（1）經典優化器對計算結果的影響;（2）計算精度對量子光場截斷光子數的限制。首先，我們討論經典優化器對計算結果的影響。在Qiskit關于VQE 的計算中主要使用的經典優化器有CG、COBYLA、SLSQP和SPSA。在上面的代碼中分別使用這幾種優化器計算基態能量時，除了SPSA運行時間相對較長，其他幾種優化器所得計算結果無明顯差別。其次，計算精度對截斷光子數空間維數的限制。在上述的討論中，主要涉及2個參數：截斷的光子數空間的最大光子數N 和耦合強度g。通常，量子拉比模型的研究是分區（強耦合、超強耦合和深強耦合）進行的，此時應用VQE計算基態能量需要的量子比特數目與光子數截斷取值直接相關。在圖4中，我們用Qutip計算的基態能量精確值來討論光子數空間截斷的維數與耦合強度之間的關系。圖4中，耦合強度的取值范圍是g∈ 0.1，2.0 ，三條曲線分別對應（從下往上）截斷空間包含最大光子數N 分別為3光子、7光子和15光子的情況。當g<1.0時，三條曲線幾乎重合，此時截斷光子數取N =3基本可以滿足計算精度的要求。隨著耦合強度g 繼續增大，7光子和15光子對應的兩條曲線比較接近且與3光子對應的曲線間隔較大，此時3光子對應的計算精度較低。

4 結語

綜合以上可知，VQE計算基態能量時：（1）在強耦合區（g<0.1）可以取最大截斷光子數N =3;（2）在超強耦合區（0.1

參 考 文 獻

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