淺談圓錐曲線二級結論在教學中的應用

王明明

摘要：高中數(shù)學中圓錐曲線部分的教學，抽象性較強，計算量大，對學生綜合能力的考查比較全面，對學生綜合能力的培養(yǎng)有更高的要求。本文主要探討的是：在圓錐曲線章節(jié)教學中滲透二級結論的應用，以提高學生的解題速度和解題能力。

關鍵詞：高中 圓錐曲線 二級結論

圓錐曲線在高中數(shù)學當中屬于一個重難點問題。選擇填空題當中的圓錐曲線，一般考查的是概念問題和一些簡單最值、中點、數(shù)形結合等，屬于高考必拿分題，但實際上還有部分學生并不擅長，主要是這種題設計時技巧性強，而學生做題按做大題的思路去做，這樣既耗時間，可能最后還算不出來，此時需要知道一些重要的二級結論，那么這些題就能很快解出來了，下面我先給出圓錐曲線的二級結論，再給出在實際問題的具體應用。

1.P為橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上的任意一點，則[ΔPF1F2]的面積[S=b2?tan∠F1PF22，]，特別地 ，若[PF1⊥PF2]時，則[S=b2]

2.P為雙曲線[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]上的任意一點，則[ΔPF1F2]的面積[S=b2tan∠F1PF22]，特別地 ，若[PF1⊥PF2]時，則[S=b2]

3.在橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]存在點p，使得[PF1⊥PF2]成立的條件為[c≥b]，即橢圓的離心率范圍為[22，1）]

4.斜率存在的直線與橢圓交于A、B兩點，P是AB的中點，則有

當橢圓焦點在x軸上，[kAP?kBP=-b2a2，]當橢圓焦點在y軸上，[kAP?kBP=a2b2]

5.斜率存在的直線與雙曲線交于A、B兩點，P是AB的中點，則有

當雙曲線焦點在x軸上，[kAP?kBP=b2a2，]當雙曲線焦點在y軸上，[kAP?kBP=a2b2]

6.設[P（x0，y0）]是圓錐曲線上一點，則過點P的切線方程為

（1）橢圓：[xx0a2+yy0b2=1（a>b>0）]

（2）雙曲線：[xx0a2-yy0b2=1（a>0，b>0）]

（3）拋物線方程為[y2=2px（p>0）]，則切線方程為[y0y=p（x+x0）（p>0）]

7.拋物線物線切線性質：物線線焦點的直線與拋線交于AB兩點，過AB分別引拋物線拋物線的兩條這兩條切線的交點一定在拋物線物線的準線上若焦點在x軸上，則P點坐標為[（-p2，y1+y22）]

例1：設點P是橢圓C：[x2a2+y24=1（a>2）]上任意一點，點[F1，F(xiàn)2]是曲線C的左右焦點，且[∠F1PF2=60°]，則[ΔF1PF2]的面積為

解：由[SΔF1PF2=b2tanθ2=4×tan30°=433]

例2：已知橢圓[x2a2+y2b2=（a>b>0）]的左右焦點分別為[F1，F(xiàn)2]，左右頂點分別為[M，N]，過[F2]的直線[m]交橢圓于[A，B]兩點（異于[MN]）且[ΔAF1B]的周長為[43]，且直線[AM]與直線[AN]的斜率之積為[-23]，則橢圓的方程為

[x][y][A][N][M][F1][F2]

解：[CΔAF1B=AF1+AB+BF1=AF1+AF2+BF1+BF2=4a=43]

又[kAM?kBM=-b2a2=-23]，可得[a2=3，b2=2]

例3：已知曲線[C：x2=2y]，[D]為直線[y=-12]上的一個動點，過[D]點做曲線[C]的兩條切線，切點分別為[A，B]，

[x][y][A][B][O]

求證：直線[AB]過定點

解：設[A（x1，y1），B（x2，y2），D（t，-12）]

則切線[AD]方程為：[x1x=y1+y]

則切線[BD]方程為：[x2x=y2+y]

有[AD，BD]都經過[D]點，則滿足[tx1=y1-12tx2=y2-12]，所以[A，B]都在直線[tx=y-12]

即[AB]直線方程為[tx-y+12=0]，過定點[（0，12）]

例4：設拋物線[y2=2px（p>0）]的焦點為[F]，其準線與[x]軸的交點為[Q]，過[F]點做直線與拋物線交于A，B兩點，且[∠QBF=90°]，則[AF-BF=]

[x][y][A][F][B][Q]

解：記直線[AB]的傾斜角為[α]，則[AF=p1-cosα，BF=p1+cosα，]

由于[∠QBF=90°]，則[cosα=BFBQ=p1+cosαp]

化解得[cosα=1-cos2α]

[AF-BF=p1-cosα-p1+cosα=pcosα1-cos2α=p]

例5：已知點[M（-1，1）]和拋物線[C：y2=4x]，過曲線[C]的焦點做斜率為[k]的直線交曲線[C]于[A，B]兩點，且[∠AMB=90°]，則[k=]

[x][y][A][O][F][B][D][M][C]

解：做[AB]的中點[O]，

設[A（x1，y1），B（x2，y2），O（x0，y0）]

做[AC]垂直于準線于[C]點，[BD]垂直于準線于[D]點，則由拋物線定義得，[AF=AC，BF=BC]，因為[∠AMB=90°，]

所以[M]在[AB]以為直徑的圓上[OM=12AB=12（AF+BF）=12（AC+BD），]

又[O]為[AB]中點，所以[M]為[CD]的中點，則[OM//AC.]

則[O]點與[M]點縱坐標相同，則，即[y0=1]

又[k=py0=21=2]

圓錐曲線的二級結論較多，這里僅根據教學過程出現(xiàn)的題型得到部分二級結論，它的最大便利就是不用自己在推導中間的過程，極大減少了計算時間，但要將二級結論靈活運用，還是需要對圓錐曲線本身概念進行理解，因此二級結論只是我們解決圓錐曲線的一個工具，更重要是把基本概念理解，同時也要不斷總結，很多方法結論正是在實踐反思中得到的，所以在運用中還是要加強自己思維的訓練，對基本知識的理解。