一類考慮反饋機制的M/M/1/N單重工作休假排隊

摘要：為了進一步推廣單重工作休假排隊模型，以便更好地將其應用于實際，重點考慮了顧客接受服務后帶有反饋機制的情形，構造了一種新的工作休假模型.依據Markov過程原理建立了系統穩態概率方程組，利用矩陣解法求出了穩態概率的矩陣解，得到了系統穩態下的一些重要的性能指標.最后運用matlab軟件進行數值模擬，為系統的優化設計提供參考依據.

關鍵詞：反饋；單重工作休假；矩陣解法；數值模擬

中圖分類號：O226 文獻標志碼：A

文章編號：2095-6991（2023）01-0029-06

Abstract：In order to further popularize the single working vacation queuing model for better application in practice， the case with feedback mechanism after customer receiving service is mainly considered， and a new kind of working vacation model is constructed. The steady state probability equations of the system are established according to the Markov process principle， the matrix solution of the steady state probability is obtained by using the matrix solution method， and some important performance indexes of the system under steady state are obtained. Finally， matlab software is used for numerical simulation to provide reference for the optimal design of the system.

Key words：feedback; single working vacation; matrix solution; numerical simulation

0 引言

休假排隊系統已成為近年來研究的一個重點.但隨著社會的快速發展，各種服務行業考慮到自身的服務成本和服務效率等因素，會調整服務模式，在沒有業務時，也不會完全休假，而是設定一個低速運轉的服務機制，以較少的工作人員在崗，并且工作的效率比正常時段會低，這樣的服務休假模式也稱為工作休假，在當下的休假模型中也是比較普遍的一種休假模式，因此有很重要的研究價值.

近年來，隨著對工作休假模型的廣泛而深入的研究，并結合實際應用，在經典的單重工作休假中考慮各種影響因素也成為研究的熱點[1-5]，比如在模型中考慮負顧客的侵入給模型帶來的影響的研究也不乏少數[6-9]，同時考慮到顧客的不耐煩情緒出現中途退出的情形的研究也很多[10-12].特別地，在實際生活中，帶有反饋機制往往是考慮的關鍵因素[13-14]，也是實際排隊服務系統最為常見的一種情形，即服務臺需要對到達的顧客進行多次的服務才能完成任務，服務的次數多少是由服務系統設置的反饋機制決定.比如醫院看病，對有的病人需要服務多次，由于對病情診斷的需要，中途可能會進一步去做各種檢查，然后再反饋回來給醫生，才能更好地分析和醫治.本文將上述所提及的各特點結合一起，首次提出一個考慮反饋機制的M/M/1/N單重工作休假排隊模型.

1 模型描述

本文研究的具體模型是帶有反饋機制和負顧客及中途退出的M/M/1/N單重工作休假排隊系統.系統描述如下：

（1）加入負顧客后，系統出現了正、負顧客兩種類型，系統的服務機制是一次只服務一位顧客的單服務臺系統，最大服務量為N，如果系統中的正顧客數大于規定的臨界值，就不允許再有正顧客進入.規定正、負顧客的到達率不同，分別是λ和ε，并且服從泊松分布.

（2）系統包含工作休假、忙期和閑期三種狀態.如果系統中是空的，這時會進行一次周期為隨機變量V的工作假期，且服從參數為θ的負指數分布，在假期內進入系統的顧客也

會接受服務，但是被服務的效率η要比正常工作期的低.如果一個周期的休假期結束后，系統仍是空的，那么將繼續一個完全相同周期的休假；反之，如果一個假期結束時系統不是空的，那么結束假期進入正常工作忙期，服務率提高到μ（μgt;η），否則，會進入閑期.當有顧客時，再進入忙期.假期和忙期兩種狀態下系統的服務時間都服從負指數分布.顧客結束服務后可能會直接離開，也可能繼續反饋到隊尾等待第二次服務.設直接離開的概率為p（0lt;p≤1），則反饋到隊尾的概率記為1－p.服務時按到達的先后順序服務.

（3）系統內的顧客在排隊等待服務的過程中會由于個人主觀原因或厭煩情緒等在這期間選擇中途退出. 設定顧客在系統內停留的時間分布是負指數分布，參數為α，則會有顧客中途退出的概率為

（4）系統所涉及的各個過程相互獨立，服務的原則實行先到者優先接受服務.

5 數值例子

新模型的性能指標已經利用理論方法給出.為了檢驗其合理性，以便能更好地利用這一類模型解決實際的一些問題，現需要對模型進行數值模擬，同時觀察系統設定的一些重要參數對這些性能指標的影響.

主要模擬在條件發生變化時，系統的平均隊長的變化情況.以下利用Matlab方法模擬系統的平均隊長分別隨負顧客的到達率和工作假期的服務率的變化情況，同時取定指標公式中的其余參數，讓其不變.影響如圖1、圖2所示.

6 結語

本文給出了一類帶反饋機制的新模型，推出了其性能指標，并進行了數值擬合，從以上數值模擬的兩個圖形呈現出的變化規律可以得出：當新模型中的參數取值設置合理時，可以人為控制系統讓其達到最優的狀態，不同具體實例中要根據具體的實際情況進行調節，這也為這類模型的深入研究提供了參考.

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［責任編輯：趙慧霞］

基金項目：國家自然科學基金項目（70571030）；宿遷市科技計劃項目（21SYB-33）

作者簡介：王莉（1980-），女，山東武城人，講師，碩士，研究方向：排隊論及隨機神經網絡.E-mail：wycggwll@163.com.