高中數學建模教學存在的問題及對策

摘" 要：在核心素養時代來臨的今天，數學模型的教學已經成為數學教育的一個重要內容。文章對目前中學數學建模教學中存在的問題進行了剖析：教師對數學建模的理解和干擾；缺乏對模型活動的引導以及模型的有效性；教學的評價方式、考核方式單一、封閉。在此基礎上，提出了數學建模路徑實施的對策：將數學建模意識滲透到教學中，使數學的教學過程具有高度建模的思維，實現了密集建模，從而提高了數學建模研究的完整性。

關鍵詞：高中數學；數學建模；教學現狀；評價導向

數學模型在數學應用價值上的強大體現，是一種有效的交流與探究方式，是培養學生創造性思維的一種有效途徑，也是降低學生“惰性”的有效途徑。從英國、法國到我國的高校，再到中小學，從數學教育到教學實踐，都表現出了分階段、沉浸式發展的特征。《綜合高中數學課程標準（２０１７年版）》把數學模型列為數學６大基本能力之一，并將其作為高中數學必修課的主要內容。通過課堂教學，教育行業已有了一些初步的結果。盡管數學模型課在中學數學的教學中，已經有了一些成績，但許多中學數學教師對數學模型的認識還不夠全面，在實際應用中存在一些問題。

一、中學數學建模教學存在的問題

人們所關心的、研究的和面對現實的事物叫作“原型”，包含了有形的、可觸的、可感知的、無形的、抽象的和隱含的思想的客體。模型是一個構造原型的結構，它可以提取、省略或移除原型中的全部信息。在原型系統中，構件和鏈路特征各不相同，因此在模型中包含的鏈路特征與要實現的目標緊密相關。數學模型通常使用公式、圖形圖和算法等進行表達，公式的載體是數字文字、數學符號等，用來描述真實物體的空間運動與量化關系。

（一）教師錯誤的認識

對數學建模不熟悉的教師來說，數學建模就是數學問題，容易混淆數學模型和數學應用。即，將應用場景添加到數學、物理和化學的題目中。這樣的偏見會導致學生對應用的問題產生封閉的理解：從簡單的表面問題的結構中找出答案，并給出“不能再少”的答案。教師也很容易混淆數學模型和數據統計。數學模型，就是通過對數據的分析、加工，形成表格、柱狀和點狀的圖形或模型。

數量化的研究是一種形式化的思考材料，它只能從真實的世界中進行創造性地綜合復制。事實上，在現實生活中，數學物質的生成是一個模型。數學的數量、符號、概念定義、定理、公式、規則和方法等，都是數學的經典模式。為了避免泛化，對數學模型的理解就會喪失其特殊的含義。在傳統的數學建模中，人們往往會摒棄數學知識，不會把它們融入數學模型中。在日常的數學教學中，如果教師缺乏對這些問題清晰、合理的認識，就不可能把數學模型與日常的數學教學結合起來。

（二）缺乏足夠的建模活動指導

許多數學課堂都是以小組為單位進行的，小組成員的構成和性質不完全一致，但是模型活動也能順利進行。剛開始學習數學模型的學生，對真實的背景、模糊的目標以及單一的提取信息和數據的方式都是一知半解的。在模型的假定階段，中學生過分關注問題的正確解答，沒有充分運用分析、引導、抽象化和匯總等思維方式，使問題得到適當簡化，因此無法正常地進行模型活動。

教師的引導能力差，會影響、減弱學生對模型的認識，削弱數學模型的影響。

（三）單一的教學評價方式

教育評價的科學性、合理性、是檢驗學生掌握數學模式的重要手段，不但指導了教師的數學建模，而且對學生數學建模能力的培養起到了很好的引導作用。目前，在我國高校的招生考試中，并不十分重視對數學模型的考查。數學考試以筆試為主，直接運用數學知識，例如推理證明等，往往會給出問題的前提，擁有與預期答案相對應的特點。現階段，在試題編排的改革中，對“條件選擇”與“結論選擇”進行了一些有益地嘗試，但這些嘗試都是在對“條件組”與“條件組”知識完全了解的情況下進行地綜合運用。“結論組”是對該模式進行討論的主要環節。

當前的高中數學測試多以綜合評價為基礎，以學習成績和考試成績為主。在進行數學建模時，要從多個角度、多個方向和多個維度進行思考。沒有統一的標準答案，也沒有相似的經驗可以被重復利用，有必要存在不同的思想。這種數學模型要求的思想和方法，不能用單一的教學評價進行充分地討論。

二、中學數學模型的實施策略

針對當前中學數學教育存在的問題，結合中學數學教學的實際情況，文章設計了一系列的數學模型課程，主要有以下建議措施：

（一）滲透數學建模意識

數學模型是由數字、文字或其他數學符號組成的，用數學公式、圖形或算法來描述現實世界中物體的數量和空間形態。在課堂上，教師要善于設計和幫助學生建立概念、并理解各種定理和公式。舉例來說，某個問題被稱為“單價”。學生甲花費了５２元買了５本作業本、２個文件夾和８支簽字筆。學生乙買了３本作業本、４個文件夾、２支簽字筆花費４８元，求文件夾單位與簽字筆單位之間的差價。ｘ、ｙ和ｚ分別表示作業本、文件夾和筆的單價，即：公式５x＋２y＋８z＝５２，３x＋４y＋２z＝４８。實際上，用這兩個方程構成的聯立方程就是上面提到的單價問題的一個數學模型。設置聯立方程的基本元素，把實際問題轉化成純數學問題，這樣，就可以得出ｙ－ｚ＝６的元素，并由此得出一個單價問題。

在現實生活中產生的問題要比教學中的問題更加復雜，而求解問題的數學模式也更加復雜。應根據題目的具體情況，需要設置一些簡單的假定（包括大量的練習本、文件夾和鋼筆）。各種文具的價格都是統一的，由于采購量不大，因此不會有批發價。代表問題的單詞（ｘ、ｙ和ｚ分別代表作業本、文件夾和簽字筆，ｙ－ｚ代表文件夾單位和簽字筆單位之間的差）。采用對應的數學模式，列出（購買金額＝單位×數量）公式（三維線性方程體系），借助數學思考（全部排除）（y－z＝６元），并利用現實中的情況來檢驗該模型是否合理。

（二）注重建模的關鍵步驟

一方面，需要聚焦于第一個步驟，對問題進行分析，使假定變得簡單，要將注意力集中到一個真實的數學問題上。在真實的世界里，學生經歷的知識是非常豐富和復雜的，對問題的分析并非要將全部的信息都納入自己的知識儲備，而是要從實際問題與數學知識的聯系中找出問題。教師需要借助數學世界與真實世界之間的聯系，指導學生，并結合數學的實質知識，發掘生命的內涵，只有在課堂中靈活運用數學知識，才能打破數學在課堂之外的運用。教師通過保留真實數據，進一步了指導學生運用數學思維對真實世界的分析。通過把握學習對象的結構，簡化了假定條件，合理地借助了數學思考。實際上，由符號和定量的問題，到數學世界，再到學生的創造力的現實世界，教師應鼓勵學生在實際的全面情況和相互作用中提高對數學知識的深刻理解，提高數學的建模能力。

另一方面，注意模型的建立和分析以及模型的建立和修改的過程。簡化假定的合理性是建立模型的先決條件，如果過分注重問題的現實狀況、背景信息的精確度，則會使模型復雜化，從而使問題難以求解，乃至無法求解。而通過簡化，則會讓建立起的模型變得“扭曲”，降低了它的價值，因此這種假定策略并不適合。在教學中，教師應優化數學模型、穩定性模型、概率模型和統計回歸模型等，需要對模型進行研究，并思考是否可以再優化。在學生的認知中，樣本模式的數量愈多，則在建構模式時，其參考的價值就愈大，而在實施的可能性與精確度間，則愈有較高的可靠性。在建模教學中，教師要注意分析、檢查和改變構建的模型。由于學生對日常問題的思維速度已固定，因此模型的建立往往是一種線性、單向的行為。在現實問題中，背景信息是單一的，而信息又是復雜的。教師在模型試驗和修正模型時，需要引導學生提高對自身模型的監控和反應速度，轉變測試問題的思考方法，增加突破問題的勇氣，以達到高度的建模思想。

（三）完善評價考查機制

新一輪的新課程改革已經全面展開，新的教科書已經在２０１９年陸續走進了課堂。新教材規定了“數學模型活動”，而《普通高中數學課程標準（２０１７年版）》則明確了“數學模型活動與數學探究活動”的建議課時，為有效地開展數學教學活動提供了有力的支撐。在教學過程中，教師要充分發揮評價的引導功能，把模型認知、認同轉變成行為認同，提高學生的數學建模能力。

第一，需要研究模型的流程評價問題。要關注活動的成果，教師不僅要以數學成績作為評判依據，包括參與、鑒賞和咨詢等多種角色，以及學生參與模擬活動的過程，來評價小組的優勢、互相合作、小組間互相詢問和嚴謹的評論，還要對組員和模式是否合理進行審慎地測試。要把學生在學習活動中的探索與思考能力列入評價范疇，鼓勵學生大膽、直觀地進行評判與反思。

第二，是對模仿行為進行同等評價。與教師的單一評價相比，以學生為中心的評價更具有互動性。通過這種方式，能夠使學生把握要點、主動思考、敢于表達、加深理解和增強建模的能力。在評價交互關系的數學模型中，學生可以通過調節功能方向、參數選擇和模型構建等方面得到更多的信息。教師應該利用激勵評價激勵學生，通過多角度的思考，培養學生的自我意識。

第三，在高考時，數學模型測試應當包含在高考中，從而使模擬活動得以定型，并能在課堂教學中不斷發展。盡管在高考中，無法全面考查整個數學模型，但是可以讓學生對模型進行全面、真實地觀察，包括模型的各個步驟、環節和轉換。舉例來說，教師向學生提問：Ａ和Ｂ打賭，贏的概率是五分之一。在此期間，由于某種原因而中斷。在這一點上，Ａ贏得４個回合，Ｂ贏得３個回合，怎樣才能公平地分配這一籌碼。該問題僅僅是對模型的一種探討，而對學生來說，要想知道問題的答案，就必須將分配以４∶３為基礎的表面方式來看待。

數學建模能力的發展具有階段性、持續性和完整性等特點。在數學建模的教學中，教師應該重視數學模型的學習。首先，教師應做好課本的學習，即，數學模型：這門課的數學知識給學生帶來了什么教育意義，為模型思維的延續和加深以及模型的相關價值做好準備。其次，教師要讓學生了解現實生活中研究對象的結構特點。通過系統的思維，將整個結構劃分為若干層次分明的單元，每個單元的整體品質都會受到不同角度的影響，并善于針對這些因素進行調整。再次，在學習的過程中，教師要對學生的建模知識、常見的錯誤進行分析，并提出解決問題的方法。在教學中，教師要善于搜集學生的反饋，并對其進行評價，以推動教學活動的順利進行。最后，教師要在已有數學模型教學經驗的基礎上，不斷地思考數學模型的教學設計，并從學生個人的興趣與性格出發，進行數據模型的選擇與運用。

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（責任編輯：秦" 雷）