基于GeoGebra的中職數(shù)學教學探究

一、引言

在信息技術(shù)高速發(fā)展的時代，信息化教學能力已經(jīng)成為現(xiàn)代教師的必備教學技能和基本素養(yǎng)，信息化教學已經(jīng)成為教學改革的戰(zhàn)略支撐。

中職學生大都是普通高中的落榜者，部分學生數(shù)學基礎(chǔ)較差，對數(shù)學存在厭學或者焦慮的情緒。因此，以信息技術(shù)為著力點，激發(fā)學生數(shù)學學習興趣，支持和助力中職數(shù)學課堂教學改革，對提高中職數(shù)學課堂教學質(zhì)量具有重要的意義。

二、動態(tài)數(shù)學軟件GeoGebra簡介

GeoGebra是一款免費開源的動態(tài)數(shù)學軟件，它是由美國佛羅里達州亞特蘭大學的數(shù)學教授Markus Hohenwarter于2001年開發(fā)的，GeoGebra一名稱由Geometry（幾何）和Algebra（代數(shù)）兩個詞合成，意為數(shù)形結(jié)合，能讓幾何與代數(shù)進行有機結(jié)合，進行一場美麗的邂逅。但是，GeoGebra已經(jīng)不只局限于代數(shù)與幾何，在統(tǒng)計、微積分或者邏輯運算等方面也有不俗的表現(xiàn)。

近年來，GeoGebra逐漸走進我國中小學數(shù)學課堂教學中，國內(nèi)學者、教師對其應(yīng)用研究也如雨后春筍般層出不窮，引起數(shù)學教學模式的重大變革。并且，隨著對GeoGebra研究的不斷深入以及逐步推廣，GeoGebra以其強大的功能、獨特的優(yōu)勢，大有全面取代傳統(tǒng)的數(shù)學軟件幾何畫板、超級畫板等工具，一統(tǒng)數(shù)學教學軟件江湖之勢。

三、GeoGebra在中職數(shù)學教學中的應(yīng)用策略

近年來，我校數(shù)學教研組積極擁抱信息化教學，以動態(tài)數(shù)學軟件GeoGebra為抓手，將信息技術(shù)GeoGebra與中職數(shù)學課程深度融合，有效實施中職數(shù)學課程的信息化教學，促進學生的深度學習，提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，取得了良好的教學效果。

（一）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)數(shù)學學習興趣

當前，中職學生普遍對數(shù)學學習缺乏興趣，表現(xiàn)在對數(shù)學學習缺乏需要、存在焦慮以及期望值過低等。激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣，在中職數(shù)學教學中顯得尤為重要。

高度的抽象化、形式化的數(shù)學知識本身大都是冰冷的，所以激發(fā)學生的學習興趣，一般落在教學中創(chuàng)設(shè)情境環(huán)節(jié)。創(chuàng)設(shè)情境，可讓數(shù)學知識生活化，更加貼近學生，可以充分調(diào)動學生的情感，以內(nèi)在的情感需要激發(fā)學生的學習興趣。

案例1：圓錐曲線的方程

在“圓錐曲線的方程”一章的單元導(dǎo)學中，教師創(chuàng)設(shè)情境，引入新課。首先，播放天體運行軌道（橢圓）的視頻，展示發(fā)電廠冷卻塔（其外形線為雙曲線）的照片，展示投籃時籃球在空中的運動軌跡（拋物線）等照片。通過相關(guān)視頻或圖片，讓學生深刻感受到圓錐曲線與人類社會生活有著密切的關(guān)系。接著，簡述圓錐曲線的由來。早在古希臘，人們就發(fā)現(xiàn)了用一個平面去截圓錐，可以得到不同的截口曲線，我們將這些曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線。最后，以動態(tài)數(shù)學軟件GeoGebra來展示平面去截圓錐得到不同的圓錐曲線的過程，如圖1所示。

在本節(jié)課程創(chuàng)設(shè)的情境中，很多教師或許可以完成前兩步，對平面截圓錐呈現(xiàn)的是靜態(tài)的截圖，在一定程度上也激發(fā)了學生的學習興趣。但是，若想更加充分調(diào)動學生的積極性，通過軟件GeoGebra可以實現(xiàn)。在GeoGebra環(huán)境下，可以動態(tài)展示讓平面從不同角度截取圓錐的過程，讓學生經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線和雙曲線的過程，幫助學生了解知識體系的形成。特別是GeoGebra具有3D可旋轉(zhuǎn)功能，可以讓學生通過旋轉(zhuǎn)選取不同角度進行深入觀察，如圖2所示，以充分激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，充分調(diào)動學生的課堂參與積極性，培養(yǎng)學生的幾何直觀核心素養(yǎng)。

（二）聯(lián)系表征，促進數(shù)學概念理解

數(shù)學概念是人類對現(xiàn)實生活中的數(shù)量關(guān)系或空間現(xiàn)實等方面進行抽象、概括成的具有本質(zhì)屬性的對象，是數(shù)學教學的基本內(nèi)容。表征，是信息在人們心理活動中的表現(xiàn)和記載方式。對數(shù)學概念的表征，因數(shù)學概念的抽象性，單一表征往往難以揭示數(shù)學的本質(zhì)屬性，所以，一般數(shù)學概念的表征都呈現(xiàn)出多元性，需從不同的角度在不同的表征方式中相互轉(zhuǎn)換，凸顯多元表征聯(lián)系的優(yōu)勢，為學生揭示數(shù)學概念的形成過程，理解數(shù)學概念的本質(zhì)，以促進數(shù)學概念的理解。

動態(tài)數(shù)學軟件GeoGebra因其出色的數(shù)形結(jié)合功能，能實現(xiàn)數(shù)學概念中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的表征聯(lián)系，利用數(shù)學概念表征的多元化形式，完善學生的認知結(jié)構(gòu)，促進學生的深度學習。

案例2：圓的概念

對圓的概念，學生應(yīng)該都不會感到陌生，在小學、初中都有學習過。在小學人教版《數(shù)學》教材中，并沒有介紹圓的定義，而是由生活中的花圈、輪胎等圓形的物體中抽象出圓，像這樣子的圖形是圓的圖形表征形式。 在初中人教版《數(shù)學》教材中，是根據(jù)繩子或圓規(guī)畫圓，從圓的生成過程而抽象出圓的概念：在一個平面內(nèi)，線段OA繞著它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫作圓，這是圓的動作表征形式。 而在高中（中職）課本中，是從集合的角度抽象出圓的概念：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合叫作圓，這是圓的符號表征形式。這三種圓的概念的表征形式，按各學段學生的認知水平以及特點，按數(shù)學抽象的水平，層層深入，在核心素養(yǎng)的層次水平上要求有所不同。

在教學中，教師可借助動態(tài)數(shù)學軟件GeoGebra開展數(shù)學探究，實現(xiàn)對圓的不同表征方式的多元呈現(xiàn)，讓學生經(jīng)歷圓的概念不同表征之間的轉(zhuǎn)換，幫助學生抓住圓的概念的關(guān)鍵屬性，體會圓的概念的本質(zhì)。如圖3，通過拉動滑竿上的點，可以改變圓的半徑。通過拉動B點，既可得到類似圓規(guī)作圖——B點繞著O點旋轉(zhuǎn)一周生成圓的動作表征形式，也可得到點動成線——圓的集合表示符號表征形式。如圖4，通過拖動滑竿上的點，可以讓學生清晰地看到，當正多邊形的邊數(shù)越來越多時，正多邊形就越來越接近圓，滲透用極限的知識去理解圓的內(nèi)涵。

（三）自主探究，體驗數(shù)學知識生成

學生數(shù)學核心素養(yǎng)的形成，主要是學生自己“悟”出來、“看”出來的。會“悟”會“看”的數(shù)學教育是一種經(jīng)驗的積累，包括思維的經(jīng)驗和實踐的經(jīng)驗，需要學生自己的思考和實踐。因此，在教學中，教師要根據(jù)數(shù)學學科特點、學生認知規(guī)律和專業(yè)特點，創(chuàng)設(shè)讓學生積極主動參與的課堂情境，提供讓學生自主探究、動手實踐的學習方式，引導(dǎo)學生積極地思考，正確地思維和實踐，經(jīng)歷數(shù)學知識和數(shù)學技能的生成過程，感悟蘊含其中的數(shù)學思想與方法，以有效地培育他們的數(shù)學核心素養(yǎng)。

案例3：球的體積公式

當前，各個版本的中職《數(shù)學》教材對球的體積公式V球=43πR3，幾乎都不加以分析證明，而是直接給出。這種只是讓學生進行單純的記憶和模仿，不是有效的數(shù)學學習方式。而在高中各個版本的《數(shù)學》教材中，盡管對球的體積公式都給出了相關(guān)證明，但其證明過程因邏輯推理過于嚴密，運算過于繁雜，還是讓一些數(shù)學基礎(chǔ)差的學生望而生畏。

動態(tài)數(shù)學軟件GeoGebra可以根據(jù)學生的認知規(guī)律，設(shè)計一些低起點、重銜接、小梯度的信息化教學資源，讓學生主動參與探究，明確球的體積公式的推理證明。如圖5，將等底等高的圓錐、半球和圓柱擺在一起，讓學生觀察、思考、猜想半球體積的大小。學生已經(jīng)有了圓錐和圓柱的體積公式基礎(chǔ)，再加上比較幾何直觀的對比，大部分學生都容易猜想出V半球=23πR3。

猜想的下一步是驗證。傳統(tǒng)的驗證方法是——“倒沙實驗”，將空心圓錐和半球中的沙子先后倒進空心圓柱中，沙子剛好倒?jié)M，得證。但大多數(shù)學校都沒有相關(guān)的實物教具，導(dǎo)致實驗難以進行。在這里，可以以動態(tài)數(shù)學軟件GeoGebra設(shè)計信息化教學資源進行模擬實驗。在圖5的三個幾何體中，以半徑R=3為例，將圓柱挖空一個倒立圓錐，與一個半球置于同一平面，然后用一個平行于底面的平面去截兩個幾何體，分別得到兩個陰影截面，如圖6。然后，學生可以進行自主探究、合作體驗、發(fā)現(xiàn)驗證等。學生拖動上方滑動條上的點，可以改變截面的上下位置，而不管位置怎么變化，兩個截面的面積保持相等，由祖暅原理得知，兩個幾何體的體積相等。特別是，將截面從底部起快速拖動至頂部的時候，由面動成體，可以更加直觀地得到兩個幾何體的體積相等，從而得出等量關(guān)系V半球+V圓錐=V圓柱，從而V半球=V圓柱-V圓錐=πR3-13πR3=23πR3，進而得出了V球=43πR3的結(jié)論。

基于信息技術(shù)GeoGebra的數(shù)學實驗，更加適合為學生提供探究性學習的情境，可充分調(diào)動學生數(shù)學學習的積極性，讓數(shù)學基礎(chǔ)差的學生在實驗中也可以清晰地看到數(shù)學思維的形成過程，化解數(shù)學教學中的難點，促進對數(shù)學本質(zhì)的理解，感受到數(shù)學的奧妙。學生親自經(jīng)歷數(shù)學知識的建構(gòu)過程，在實踐中“看”，在實踐中“悟”，從而讓數(shù)學的思想方法真正走進他們的內(nèi)心，讓數(shù)學核心素養(yǎng)在他們心里生根發(fā)芽，感悟到數(shù)學獨特的育人價值。

（四）數(shù)形結(jié)合，優(yōu)化數(shù)學解題思路

解題教學是中職數(shù)學課堂教學中很重要的組成部分。一方面，通過解題可以促進學生對數(shù)學基本知識和基本技能的理解。另一方面，學生數(shù)學核心素養(yǎng)的最終落地——會用數(shù)學眼光觀察世界、會用數(shù)學思維分析世界、會用數(shù)學語言表達世界，也可以體現(xiàn)在學生的數(shù)學解題過程中。當前的中職學生由于其數(shù)學認知發(fā)展水平較差，經(jīng)常存在聽課一聽就會、解題一做就錯的情形，特別是對一些不熟悉的關(guān)聯(lián)情境中的解題望而生畏。從客觀上看，解題困難源自題目本身，此類題目一般涉及多個知識點，數(shù)學抽象水平較高，對能力要求高。從主觀上看，解題困難源自在教學過程中，對這類問題的本質(zhì)理解不夠深入，沒有在優(yōu)化解題思路上下功夫。

動態(tài)數(shù)學軟件GeoGebra具有同時處理幾何與代數(shù)動態(tài)變化關(guān)系的特點，在輔助立體幾何、解析幾何等數(shù)學解題上具有巨大的優(yōu)勢，可以將動態(tài)問題直觀化，復(fù)雜問題簡單化，思維過程可視化。

案例4：立體幾何例題教學

題目：把一個半徑為R的球放入棱長為4的正方體容器中，測得球底距正方體底面的距離為3，求球的半徑R。

按中職數(shù)學課程標準中學業(yè)質(zhì)量的評價要求，此題屬于水平二，即高職高考數(shù)學的要求。本題是一道具有關(guān)聯(lián)情境的題目，要求學生可以想象并構(gòu)建相應(yīng)的幾何體，并從其中抽象出相關(guān)的三視圖等平面圖形，從而發(fā)現(xiàn)圖形與圖形之間的數(shù)量關(guān)系。

但是，由于中職學生的空間想象能力普遍較差，大部分學生不能畫出相應(yīng)的圖像，不能抽象出其中的空間形式和數(shù)量關(guān)系。教師可以以動態(tài)數(shù)學軟件GeoGebra進行作圖，運用其中的三視圖作圖功能，構(gòu)建出3D立體的幾何體，如圖7，為學生解題打下基礎(chǔ)。接著，教師可以拖動圖形幾何體，讓幾何體進行空間旋轉(zhuǎn)，從而形成不同角度的視圖，讓學生更加直觀地感受幾何體的特點和題干中的數(shù)量關(guān)系。最后，引導(dǎo)學生選取該幾何體的正視圖，見圖8，從中抽象出圓和正方形，從三維視圖轉(zhuǎn)換成二維視圖，見圖9，轉(zhuǎn)化成圓的垂徑等問題。基于GeoGebra的動態(tài)可視，優(yōu)化了數(shù)學解題思路，讓題目迎刃而解。

基于GeoGebra的解題教學借助信息技術(shù)的優(yōu)勢，為題目題干理解創(chuàng)設(shè)了背景，為探究題干規(guī)律啟發(fā)了思路，為問題解決提供了直觀情境，實現(xiàn)了代數(shù)與幾何的融合，讓學生在解題中可以豁然開朗，找到解題的金鑰匙，從而有效地提高學生的邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)。

四、結(jié)束語

總之，基于GeoGebra的中職數(shù)學教學可以進一步提高教學效率、激發(fā)學生學習興趣、改變學生學習方式、優(yōu)化教材內(nèi)容呈現(xiàn)方式、優(yōu)化解題效率等。但是，基于GeoGebra的信息化教學并不是要取代其他信息技術(shù)輔助教學，而是要與其他信息技術(shù)一起，發(fā)揮所長，共同為教學服務(wù)。隨著廣大教育工作者對GeoGebra的進一步認識以及對其研究實踐的進一步深入，GeoGebra與中職數(shù)學課程內(nèi)容會進一步深度融合，GeoGebra在中職數(shù)學教學中的應(yīng)用會越來越廣泛，從而引起中職數(shù)學教學模式的變革，成為培育學生數(shù)學核心素養(yǎng)最有效的途徑之一。

[本文為廣州市增城區(qū)教育科學規(guī)劃2021年度課題“基于GeoGebra的中職數(shù)學信息化教學資源建設(shè)與應(yīng)用的實踐研究”（課題號：zc2021032）項目研究成果。]

責任編輯陳春陽