蒙特卡洛模擬法在障礙期權定價中的應用

摘 要：實際金融市場中，障礙期權標的資產價格運動并不服從理想的幾何布朗運動，而是存在跳躍過程。為研究障礙期權的定價問題，考慮蒙特卡洛模擬法來進行障礙期權標的資產的路徑模擬，同時使用資產價格的跳擴散模型為期權進行定價。由于蒙特卡洛模擬法會產生較大的誤差，所以加入方差減少技術中的重要性抽樣來對障礙期權重新定價，以進一步提高定價算法的精確度和運行速度。

關鍵詞：蒙特卡洛模擬；障礙期權；跳擴散模型

中圖分類號：F830.9

文獻標識碼：A

doi：10.3969/j.issn.1672-2272.202209012

Application of Monte Carlo Simulation in Barrier Option Pricing

Zheng Yimin， Xu Feng

（School of Science， Guilin University of Technology， Guilin 541006， China）

Abstract：In the actual financial market， the price movement of the underlying asset of barrier option does not obey the ideal geometric Brownian motion， but there will be a jumping process. In order to study the pricing problem of barrier option， the Monte Carlo simulation method is used to simulate the path of the underlying asset of barrier option， and the jump diffusion model of asset price is used to price the option. Since the Monte Carlo simulation method will produce large errors， the importance sampling in variance reduction technique is used to re-price barrier options， so as to further improve the accuracy and speed of the pricing algorithm.

Key Words：Monte Carlo Simulation; Barrier Option; Jump-diffusion Model

0 引言

在國際金融市場上，期權是一種重要的風險管理以及套利投機的金融工具^[1]。障礙期權是路徑依賴型期權的一種，由于該類期權能夠有效防止出現惡意操控期權價格的現象，維護投資者權益，所以其在金融市場中占有十分重要的地位^[2]。障礙期權與合同期內標的資產價格變化關系十分密切，所以普通的期權定價模型不能應用于障礙期權定價。數值分析方法就隨之產生了，其對金融衍生品定價的應用研究具有十分重要的意義^[3]。

對于低維度期權，可以采用二叉樹方法和有限差分法，但用來計算高維度期權時不太適用，需要使用蒙特卡洛模擬方法。利用蒙特卡洛模擬法為障礙期權定價一直是熱點問題^[4]。1977年，Boyle^[5]首次將蒙特卡洛方法應用于歐式期權，為之后蒙特卡洛的廣泛應用提供了理論基礎。邢曉芳等^[6]考慮了股票價格的跳擴散模型，給出了歐式下降敲入看漲期權的定價公式，但當維數過高時，Girsanov定理并不適用且誤差較大。2015年，薛原等^[7]在標準蒙特卡洛模擬的基礎上加上了方差減少技術來減少方差，重新計算了障礙期權的價格，但實際市場中障礙期權的標的資產價格運動會存在跳躍過程，期權定價結果與真實情況還存在較大差距。

本文以向下敲入式看漲期權的定價為例，在標的資產價格服從跳擴散模型的前提下，采用蒙特卡洛模擬方法模擬資產價格路徑，并選擇重要性抽樣技術來減少誤差，從而為障礙期權重新進行定價。

1 障礙期權

障礙期權的定價與預先設定的水平有關，可以根據設定水平分為兩類^[8]：

（1）敲出障礙期權。在有效時間內，資產價格若未碰到設定水平，此時是一個常規期權。相反，當標的資產價格達到設定水平時，該期權就沒有意義。

（2）敲入障礙期權。在有效時間內，資產價格碰到設定水平，此時是一個常規期權。相反，當標的資產的價格沒有達到設定水平時，該期權就沒有意義。

有了以上的解釋，就能通過設定水平進一步分類：向上期權：設定水平比資產初始價格高；向下期權：設定水平比資產初始價格低。

進一步細分可以得到：向下敲出看漲和看跌期權、向下敲入看漲和看跌期權、向上敲出看漲和看跌期權、向上敲入看漲和看跌期權^[9]。

本文以向下敲入式看漲期權為例，期權的理想價格為^[10]：

其中，S代表股票價格，K代表執行價格，r代表無風險利率，σ代表波動率，T代表期權的期限，t代表現在的時間，H代表障礙值。

2 蒙特卡洛模擬應用于障礙期權定價

現有一支向下敲入式看漲期權，標的資產股票的初始價格S₀=145，執行價格K=145，障礙值H=130，時間為6個月，無風險利率r=3%，波動率σ=0.295，期權的理論價格為2.423 7，驗證蒙特卡洛模擬法能否應用到該類期權定價中。

在股票價格服從幾何布朗運動的條件下，對該類期權的價格進行蒙特卡洛模擬。計算期權價格的步驟如下：

步驟1：在風險中性測度下，輸入股票初始價格等參數值，用幾何布朗運動模擬股票價格的路徑；

步驟2：判斷股票價格是否碰到障礙值，若碰到障礙值并且到期價格大于執行價格，則立即執行，并且將股票價格路徑下的到期收益計算出來，同時利用無風險利率來貼現，否則不執行；

步驟3：將第一個步驟和第二個步驟不斷進行重復，從而取得大量的抽樣樣本，這些樣本是對期權到期收益進行貼現得到的；

步驟4：將第三步中的抽樣樣本均值求解出來，得到的期權價格就是蒙特卡洛的估計值，估計值不唯一。

障礙期權的理論價格為2.423 7，模擬次數越來越大時，蒙特卡洛模擬的障礙期權的模擬值越來越接近理論值。隨著模擬次數的增大，期權價格的模擬誤差越來越小。從而驗證了蒙特卡洛模擬法在障礙期權定價中的有效性。詳見圖1。

3 跳擴散模型下的障礙期權

股票價格服從幾何布朗運動模型是一種理想狀態，而現實中股票價格存在跳躍現象。所以這里假設在風險中性概率測度Q的條件下，股票價格S_t服從跳躍-擴散過程，則S_t能夠寫成的隨機微分方程如下：

其中，t時刻的股票價格用S_t表示，無風險利率用r表示，股票波動率用σ表示，標準布朗運動用W_t表示，一個強度為λ的標準泊松計數過程用q_t表示。獨立同分布的隨機變量用跳躍幅度U（Ugt;－1）表示，并且k=E（U）。

則對于股票價格S_t滿足跳擴散過程的向下敲入式看漲期權，在T時刻的價值為：

表示標準正態分布變量的累計概率分布函數，其中的變量表示為：

4 重要性抽樣技術

將一個概率測度下的數學期望轉化為另一個概率測度下的數學期望是重要性抽樣技術的核心思想。能利用似然比或者Eadon-Nikodym導數來完成上述概率測度的轉換。如一個歐式看漲期權，其到期收益的期望值可以做如下轉化：

EmaxS_T－K，0=E_μmaxS_T－K，0L""" （6）

其中，L為似然比率。S_T為T時刻股票價格，K為執行價格。在重要性抽樣中，改變概率測度的目的就是為了增加有效模擬的次數，減少模擬誤差，從而得到一個更為有效的蒙特卡洛估計值。

具體解釋這個思想，考慮估計值：

η=E_fhx=∫hxfxdx""" （7）

其中，X表示的是R^d中的一個隨機變量，X的概率密度函數為f，h是從R^d映射到R的函數。

η在概率測度f的估計值為：

其中，X₁，X₂，…X_n是從f中獨立抽取的。令g為R^d上的滿足對所有x∈R^d的概率密度函數，且：

這個積分可以解釋為密度g條件下的期望值，可以將其寫成：

如果X₁，X₂，…，X_n是從g中獨立抽取的，與g相關的重要性抽樣的估計值為：

權重fX_i/gX_i是似然比或者Eadon-Nikodym導數在X_i處的值。

則E_gη^_g=η，所以η^_g是η的無偏估計。

只要將非重要性和重要性抽樣的二階矩進行對比，就能比較它們的方差。重要性抽樣中有：

這可能比非重要性抽樣的二階矩Eh²x更大或更小。故需要選擇合適的概率測度g，才能達到減少模擬誤差的效果。綜上，成功的重要性抽樣取決于選擇有效的概率測度g。

5 結果與分析

股票價格服從跳擴散模型時，S₀=145，r=3%，股息收益率d=4%，σ=0.296，時間為6個月，K=145，H=130，跳躍系數為0.1，泊松強度為1，期權價格的理論值為3.4。比較采用了重要性抽樣技術的蒙特卡洛方法與普通蒙特卡洛方法的模擬效果。

使用Matlab軟件，采取蒙特卡洛方法計算跳擴散模型下，向下敲入式看漲期權價格：

步驟1：在風險中性測度下，輸入股票初始價格等參數，用蒙特卡洛方法模擬跳擴散模型下，標的資產股票的路徑；

步驟2：判斷股票價格是否碰到障礙值，若碰到障礙值并且到期價格大于執行價格，則立即執行，并且將股票價格路徑下的到期收益計算出來，同時利用無風險利率來進行貼現，否則不執行；

步驟3：將前兩步不斷進行重復，從而取得大量的抽樣樣本，這些樣本是對期權到期收益進行貼現得到的；

步驟4：將第三步中的抽樣樣本均值求解出來，得到的期權價格就是蒙特卡洛的估計值。

步驟5：加入重要性抽樣技術，得到另一個估計值。

由表1可知，無論哪種方法，都與期權理論值3.4差距不大，但是采用重要性抽樣技術明顯效果更好，該技術使股票價格突破障礙值的概率變大，能有效減少誤差。同時隨著模擬次數的增加，各方法的標準差都越來越小，說明可以通過增加模擬次數減少誤差。

6 結論

考慮到實際市場中標的資產價格運動會存在跳躍過程，所以在布朗運動的模型下，進一步引入股票價格的跳擴散模型，利用蒙特卡洛方法為服從跳擴散模型的股票價格重新進行路徑模擬，由于蒙特卡洛會產生較大的誤差，故加入方差減少技術中的重要性抽樣，將模擬結果與理論價格進行比較，發現采用重要性抽樣技術的模擬方法優于普通蒙特卡洛模擬法的定價結果，同時提出的方法進一步提高了定價算法的精確度和運行速度。

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（責任編輯：宋勇剛）