小軸交角面齒輪副齒面展成與嚙合特性分析

摘要：

為了增強直升機傳動系統中小角度齒輪傳動副的嚙合性能，對小軸交角面齒輪副進行齒面幾何與嚙合特性研究。建立了小軸交角面齒輪副展成坐標系，并基于齒輪嚙合原理推導了其齒面方程。基于蝸桿推導了拓撲修形的圓柱齒輪齒面方程，并將該圓柱齒輪應用到小軸交角面齒輪副中。進行了輪齒接觸分析，并研究了安裝誤差對嚙合的影響規律。為評價小軸交角面齒輪副的傳動性能，進行了應力計算分析，并與錐形漸開線-圓柱齒輪副進行了對比。研究結果表明：相對于圓柱齒輪齒向修形，拓撲修形可有效避免小軸交角面齒輪副的邊緣接觸，減小接觸應力和彎曲應力；相同參數下，小軸交角面齒輪副的接觸應力和彎曲應力均比錐形漸開線齒輪-圓柱齒輪副小約27%。

關鍵詞：小軸交角面齒輪副；齒面展成；輪齒接觸分析；應力分析

中圖分類號：TH113

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2023.06.001

Tooth Surface Generation and Meshing Characteristics Analysis of Low-angle Face Gear Drives

ZHOU Ruchuan1 WU Wenmin1 FENG Manman1 GUO Hui2 LIN Yanhu3

1.China Helicopter Research and Development Institute，Jingdezhen，Jiangxi，333000

2.School of Mechanical Engineering，Northwestern Polytechnical University，Xi’an，710072

3.School of Aerospace Engineering，Taizhou University，Taizhou，Zhejiang，318000

Abstract： Gear geometry and meshing properties of the low-angle face gear drives were investigated in order to enhance meshing capabilities of the gear drives with small shaft angle in helicopter transmission systems. The applied coordinate systems for generation of the low-angle face gear drive were established and the equation of the tooth surface of the small cone angel face gear was derived based on gear meshing theory. The tooth surface equation of a double-crowned cylindrical involute pinion was deduced by application of a generating worm." The generated double-crowned pinion was then introduced into the low-angle face gear drive. The TCA was implemented and the influences of misalignments on the contact were researched. Stress analysis was performed for the purpose of evaluating the performance of the proposed face gear drives. And the stresses of the low-angle face gear drive were compared with the conical involute gear and cylindrical involute gear pair. The results show that the application of double-crowned pinion avoids edge contact， providing lower contact and bending stresses compared with the face-gear drive with a longitudinal modification pinion. Under the same conditions， the contact and bending stresses of the tapered face gear are 27% decrease than that of the conical involute gears.

Key words： low-angle face gear drive； tooth surface generation； tooth contact analysis（TCA）； stress analysis

收稿日期：2022-09-18

基金項目：

國家自然科學基金（51675424）；“兩機”專項基礎研究項目（HT-J2019-Ⅶ-0017-0159）

0 引言

在給直升機升級換代時，為了提高傳動系統的功重比等性能，通常需要在保持發動機和旋翼等安裝接口不變的條件下，引入新的主減速器構型。為了兼顧新主減速器構型和全機安裝接口要求，有時會使用小角度換向傳動。阿帕奇直升機換代時，在主減速器輸入處和尾傳動軸輸出處共引入了4處小角度傳動齒輪副，這些小角度傳動齒輪副的軸交角通常不大于15°［1］。由于軸交角較小，限制了所能使用的齒輪副類型，因此設計時面臨較大的重量與承載壓力。

弧齒錐齒輪具有很強的承載能力，但是對安裝精度要求很高［2］，多對齒輪同時嚙合時精度難以保證。當前主流的小角度傳動齒輪為錐形漸開線齒輪，也被稱作漸開線變齒厚齒輪。該類齒輪副在小角度安裝時嚙合性能明顯優于其他非平行軸傳動方式［3］。

國內外學者對小軸交角齒輪傳動進行的研究主要集中于對錐形漸開線齒輪的研究。齒輪齒面幾何與修形方面：MITOME［4-5］、賀敬良等［6-8］從嚙合原理角度揭示了錐形漸開線齒輪的齒面展成，同時進行了齒面數值嚙合仿真，并給出了齒輪副幾何參數設計方法；周堯等［3］、LIU等［9-10］和NI等［11］進一步對齒面修形方法進行了研究；劉思遠等［12］提出了一種小軸交角面銑準雙曲面齒輪的幾何設計方法，建立了嚙合模型并進行了有限元分析。輪齒應力分析方面：宋朝省等［13］基于精確齒面，采用有限元法對錐形漸開線齒輪齒根應力進行了計算分析；CAO等［14］建立了齒面接觸壓力和載荷分布數值計算方法，該方法與有限元結果匹配良好。加工方法方面：MITOME［4-5］、賀敬良等［15］基于空間雙自由度包絡理論，研究了基于滾削的錐形漸開線齒輪加工方法，該理論可用于滾齒和磨齒加工；CAO等［16］對錐形漸開線齒輪剃齒方法進行了研究；ZHU等［17］以傾斜安裝的圓柱漸開線齒輪為刀具，獲得了近似的錐形漸開線齒輪齒面，并將近似齒面與標準齒面進行了對比。動力學計算方面：BAI等［18］、宋朝省等［19］采用集中質量法建立了錐形漸開線齒輪非線性動力學模型，并對其動力學行為進行了研究；部分學者對嚙合剛度進行了研究［20-22］。綜上，錐形漸開線齒輪副的研究較為全面，已應用于汽車、艦船等行業，但是對重量和承載能力要求極其嚴格的直升機傳動來說，迫切需要一種承載能力更強的小角度齒輪傳動。相比于錐形漸開線齒輪副，小軸交角面齒輪副展現了更大的應用潛力，然而，該類型齒輪副僅在文獻［1］中被提及，相關研究并沒有公開。

本文對小軸交角面齒輪副進行齒面幾何與嚙合特性研究，推導了小錐角面齒輪齒面方程，研究了小軸交角面齒輪副的修形方法，通過輪齒接觸分析（tooth contact analysis，TCA）和應力計算展現其嚙合性能，并與錐形漸開線齒輪副-圓柱齒輪副進行了對比。

1 小軸交角面齒輪副齒面展成

小軸交角面齒輪副由圓柱齒輪和小錐角面齒輪組成。圖1所示為第3代阿帕奇直升機主減速器輸入處和尾傳動軸輸出處的4處小角度傳動齒輪副。不同于常規錐形漸開線齒輪副中大小齒輪都帶錐角，小軸交角面齒輪副中的小齒輪為常規的圓柱齒輪，滿足小角度傳動的同時有效降低小齒輪安裝誤差敏感性的要求。大齒輪由圓柱齒輪刀具共軛展成，因其展成方法受啟發于航空面齒輪［22］，因此將其命名為小錐角面齒輪。

3.3 輪齒接觸分析算例分析

為了研究小軸交角面齒輪副的嚙合特性，針對某型號直升機主減速器中小角度傳動工況，設計了兩個實例。實例1僅對圓柱齒輪齒向修形，實例2僅對圓柱齒輪拓撲修形，具體參數見表1。

實例1和實例2中圓柱齒輪修形量如圖11所示。實例1中圓柱齒輪四個角點的修形量均值為-35.73 μm；實例2兩角點的修形量均值為-34.20 μm，兩者較接近。

圖12展示了兩個實例小錐角面齒輪齒面上的接觸印痕，可得出以下結論：實例1的接觸點軌跡從齒頂到齒根與齒根基本垂直，實例2的接觸點軌跡相對于實例1有明顯傾斜，因為實例2相對于實例1增加了齒廓修形；實例2中接觸點軌跡分布有利于提高面齒輪副的重合度；在接觸點處齒面彈性變形量相同的情況下，實例2的橢圓長軸長度更大，更有利于減小齒面接觸應力。

為了研究安裝誤差對小軸交角面齒輪副嚙合特性的影響，對實例2設定了不同的安裝誤差進行齒面接觸分析計算，結果如圖13所示。在僅存在單個安裝誤差的情況下，正安裝誤差使嚙合印痕向面齒輪大端移動，負安裝誤差使嚙合印痕向面齒輪小端移動；誤差值相等時，軸交錯誤差對嚙合印痕的影響比面齒輪軸向誤差更大；將三種安裝誤差同時作用于面齒輪副時，嚙合印痕的移動量比單個誤差作用下的移動量更小，說明在一定組合下，安裝誤差對嚙合印痕的影響可以相互抵消。綜合以上分析結果，小軸交角面齒輪副對誤差有很好的耐受性。

圖14展示了標準安裝下實例2的安裝誤差曲線。在標準安裝時，面齒輪副的傳動誤差為拋物線形，該類型傳動誤差可有效吸收由各類安裝誤差導致的線性傳動誤差函數［26］。綜合安裝誤差（ΔE=-0.5 mm，Δq=0.5 mm，Δγ=0.02°）對小軸交角面齒輪副的傳動誤差函數影響很小。

4 小軸交角面齒輪副應力分析

采用有限元軟件對面齒輪副進行靜力學分析，以獲得小軸交角面齒輪副的接觸應力和彎曲應力，及檢驗是否存在邊緣接觸。本文設計了一組錐形漸開線-圓柱齒輪副［3］，與小軸交角面齒輪副進行對比，定義為實例3，其圓柱齒輪參數同實例2，與之配對的錐形漸開線齒輪的參數見表2。

4.1 有限元模型建立

為了提高有限元計算精度，3個實例中的齒輪部件均是基于齒面方程建立的。首先按一定規律自定義節點和網格單元，再進行裝配，定義兩齒輪間相互作用關系，最后施加邊界條件和載荷［27］。以上操作過程均通過MATLAB開發的程序實現參數化，并生成相應的INP文件，最終導入商用有限元軟件ABAQUS中進行計算。3個實例的網格劃分方式、網格個數和邊界條件都保持一致。圖15展示了自動生成的小軸交角面齒輪副5齒模型。

計算過程中采用的材料屬性為：彈性模量206.8 GPa，泊松比0.29，扭矩1000 N·m作用于圓柱小齒輪的剛性耦合點上。

4.2 有限元結果分析

圖16展示了實例2中面齒輪在某瞬時的接觸應力云圖。該時刻有兩個輪齒參與接觸，最大接觸應力為442.9 MPa。圖17同時給出了有限元計算得到的單齒接觸印痕（由不同時刻齒面上接觸應力最大值點組成）和TCA計算的接觸印痕。由圖17可知，兩者趨勢吻合良好，進一步驗證了文中所建立的小錐角面齒輪副模型及TCA模型的正確性。

圖18和圖19分別展示了3個實例的齒輪接觸應力和彎曲應力。實例1和實例2是小錐角面齒輪應力，實例3是錐形漸開線齒輪應力。

算例計算結果顯示：實例2中面齒輪齒面接觸應力和彎曲應力較實例1小，因為實例1中的面齒輪齒頂存在邊緣接觸，使局部接觸應力增大，而采用拓撲修形的圓柱齒輪則消除了邊緣接觸。實例2彎曲應力的減小是因為拓撲修形使嚙合點軌跡傾斜，面齒輪副的一部分嚙合點移動到齒厚更大的面齒輪大端（圖12和圖20）。

實例3中的錐形漸開線齒輪和實例2的小錐角面齒輪接觸應力與彎曲應力的變化趨勢一致，兩齒輪均無邊緣接觸。但在所有計算瞬時，面齒輪的接觸應力和彎曲應力均小于錐形漸開線齒輪的接觸應力和彎曲應力。面齒輪最大接觸應力（626.8 MPa）比錐形漸開線齒輪最大接觸應力（794.3 MPa）小26.7%；面齒輪最大彎曲應力（146.2 MPa）比錐形漸開線齒輪最大彎曲應力（187.2 MPa）小28.0%。接觸應力的差異是由于拓撲修形圓柱齒輪的應用使小錐角面齒輪副的接觸點軌跡傾斜（圖12），接觸橢圓長軸變長，面齒輪接觸應力更小。有限元計算結果顯示，即使圓柱齒輪拓撲修形，錐形漸開線齒輪齒面上的接觸點軌跡從齒頂到齒根仍近似垂直于齒根。導致彎曲應力差異的可能原因主要有兩個：一是接觸點軌跡傾斜后，部分時刻小錐角面齒輪彎曲應力的最大值出現在輪齒厚度較大的中間偏大端處；二是小錐角面齒輪的輪齒厚度本身略大于同等參數的錐形漸開線齒輪，如圖21所示。

5 結論

對小軸交角面齒輪副的齒面幾何和嚙合特性展開了研究，獲得以下結論：

（1）通過插齒刀與圓柱齒輪齒數差的修形方式獲得的齒向修形量過小，對軸交角很小的小軸交角面齒輪副適用性不佳。

（2）相比于僅齒向修形的圓柱齒輪，拓撲修形圓柱齒輪的引入，有效避免了小軸交角面齒輪副的邊緣接觸，并減小了面齒輪齒面接觸應力和輪齒彎曲應力。

（3）輪齒接觸分析結果顯示，引入拓撲修形圓柱齒輪后，小軸交角面齒輪副對安裝誤差有良好的耐受性。

（4）有限元計算得到的小錐角面齒輪單齒面接觸印痕與輪齒接觸分析計算結果吻合良好，驗證了本文研究的正確性。

（5）小軸交角面齒輪副的嚙合性能優于錐形漸開線齒輪-圓柱齒輪副的嚙合性能。在直升機傳動系統設計中，使用小軸交角面齒輪副將有效提高局部功重比。

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（編輯 王艷麗）

作者簡介：

周如傳，男，1990年生，博士、工程師。研究方向為直升機傳動系統動力學、齒輪嚙合原理。發表論文10余篇。E-mail：ytuzrc@mail.nwpu.edu.cn。