數(shù)學(xué)思想方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

摘 要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)明確認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法在解題中的重要性，為學(xué)生講解多種數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生達(dá)到“一題多解，一題多變”的解題效果，確保學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).基于此，本文主要分析數(shù)學(xué)思想方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用措施，以及數(shù)學(xué)思想方法的主要類型，以供參考.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解題；數(shù)學(xué)思想；數(shù)形結(jié)合

中圖分類號(hào)： G 632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)：1008-0333（2023）12-0020-03

收稿日期：2023-01-25

作者簡(jiǎn)介：黃婷（1983.11-），女，安徽省濉溪人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

數(shù)學(xué)這門科目具有較高的理論性、邏輯性，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生缺乏一定的解題思路，這種現(xiàn)象導(dǎo)致學(xué)生始終無法提高自身的數(shù)學(xué)水平.基于此，教師應(yīng)明確現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)情況，并在教學(xué)過程中，為學(xué)生講解各類數(shù)學(xué)思想以及其解題辦法，進(jìn)而讓學(xué)生在后續(xù)的練習(xí)中加以鞏固，不斷提升自身的綜合解題能力.

1 現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)情況

1.1 學(xué)生沒有形成良好的數(shù)學(xué)思想

高中數(shù)學(xué)課程數(shù)量眾多，部分教師為了給學(xué)生留出充足的復(fù)習(xí)時(shí)間，會(huì)加快教學(xué)進(jìn)度，這種情況導(dǎo)致教師沒有充足的時(shí)間在課堂上向?qū)W生講授如何構(gòu)造數(shù)學(xué)思維，也沒有將各類數(shù)學(xué)思想、解題思維納入到實(shí)際的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，從而導(dǎo)致高中數(shù)學(xué)教學(xué)效率低下.此外，有些教師在制定教學(xué)計(jì)劃時(shí)，忽視了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，沒有根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況來進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，無法達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生綜合解題能力的教學(xué)效果.

1.2 教學(xué)結(jié)構(gòu)不夠全面

目前，一些高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)上沒有考慮到學(xué)生的實(shí)際情況，致使教學(xué)工作只能滿足一部分學(xué)生的需要，有些學(xué)生在課堂上不能充分發(fā)揮自己的實(shí)際運(yùn)用能力，不能實(shí)現(xiàn)教學(xué)設(shè)計(jì)的整體要求.此外，部分高中數(shù)學(xué)教師在課程設(shè)置上沒有進(jìn)行周期性的調(diào)整，使學(xué)生在課堂上不能充分調(diào)動(dòng)自己的學(xué)習(xí)熱情，從而直接影響到高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)效果.

2 高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法分析

2.1 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)常見的解題思路，它可以通過圖形的形式直觀地理解各個(gè)“數(shù)”的關(guān)系，把復(fù)雜知識(shí)轉(zhuǎn)化為可直觀了解的簡(jiǎn)單知識(shí)，這種解題思路明確，便于學(xué)生快速理解問題的含義.

比如，在教學(xué)“函數(shù)”這部分內(nèi)容時(shí)，教師首先向同學(xué)們解釋函數(shù)和問題的關(guān)系，并向他們展示解題的過程，保證他們?cè)诶斫饬藬?shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上，將其運(yùn)用到解題的各個(gè)環(huán)節(jié)，促進(jìn)數(shù)學(xué)解題的進(jìn)一步發(fā)展.

2.2 分類討論思想

高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是在解決問題時(shí)，要對(duì)每一道題進(jìn)行認(rèn)真思考，要注意對(duì)每一道題的內(nèi)容進(jìn)行觀察，并要注意轉(zhuǎn)換思路.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)讓學(xué)生們認(rèn)識(shí)到題目之間的差異性，并引導(dǎo)他們“化繁為簡(jiǎn)”，從而在題目中提取有效的“內(nèi)容”.比如：在課堂上，為使學(xué)生理解問題的差異，教師可為學(xué)生們講解以往的高考題目，然后讓他們自己去分析這些問題的差異，理解這些問題的解題方式，這樣才能有效地提高課堂教學(xué)的效果，使他們能夠正確地進(jìn)行討論，并逐步形成良好的分類討論思想.

2.3 化歸轉(zhuǎn)化思想

“化歸轉(zhuǎn)化”思維可以使學(xué)生從陌生的問題類型迅速轉(zhuǎn)換到熟悉的問題，從而使問題的解決過程更為快速、有效.教師可以把這種解題方式與“多元方程”結(jié)合到“一元二次方程式”中，從而提高學(xué)生對(duì)問題的解析能力.但是，在該過程中，教師需要給學(xué)生講解大量的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，使他們?cè)趯W(xué)習(xí)的同時(shí)，不斷地提升自己的數(shù)學(xué)解題能力.此外，在引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變觀念的同時(shí)，還要加強(qiáng)與學(xué)生的溝通，掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，并制定相應(yīng)的教學(xué)方案.

2.4 函數(shù)與方程思想

在高中數(shù)學(xué)解題中，要使解題的總體效果得到進(jìn)一步提升，教師需要引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的整體性出發(fā)，使學(xué)生了解方程組、方程等解題方式，從而讓學(xué)生明確認(rèn)識(shí)到函數(shù)和方程的概念，在此教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生在解題時(shí)選擇合適的解題思路，以發(fā)揮自身的數(shù)學(xué)思維能力.此外，為使學(xué)生更好地理解函數(shù)方程解法，教師必須向?qū)W生說明這種解法的特點(diǎn)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行指導(dǎo)，以提高教學(xué)設(shè)計(jì)的效果.

3 數(shù)學(xué)思想方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用措施

3.1 數(shù)形結(jié)合法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合法是指我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過程中，既要認(rèn)識(shí)到所包含的代數(shù)含義，又要對(duì)其進(jìn)行有效的幾何意義分析，使之能更好地融合.借助圖形，學(xué)生可以直觀地理解和分析數(shù)、式關(guān)系，了解它們的特征和意義，從而有效地解決問題.數(shù)學(xué)中有很多抽象的概念和法則，有了圖形的幫助，它們就會(huì)變得直觀、形象，從而減少學(xué)生對(duì)問題理解、分析和解決問題的難度.因?yàn)椤靶巍卑似矫婧涂臻g兩個(gè)方面，所以在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解決問題時(shí)要注意邏輯的嚴(yán)密性，確保數(shù)形轉(zhuǎn)換的精確性.例1 設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，且x2+y2=3，其中y≥ 0，若 m=y+1x+3、b=2x+y，求m與b對(duì)應(yīng)的取值范圍.

分析 根據(jù)對(duì)本題的解析：從題目和問題的關(guān)系進(jìn)行分析，可以將m當(dāng)做過點(diǎn)A（-3，-1）、M（x，y）的直線的斜率，而b則可以當(dāng)做是直線的截距，此時(shí)就可以根據(jù)題干作圖，以此合理發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想解題優(yōu)勢(shì)，將抽象的知識(shí)點(diǎn)具體化、形象化，最終得出計(jì)算結(jié)果.

在基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)充分發(fā)掘和展現(xiàn)教材中蘊(yùn)含的大量豐富的數(shù)學(xué)思想方法.函數(shù)和方程問題、解析幾何問題等，都是數(shù)形結(jié)合思想的典型例子.只有把這些思想和方法清楚地展現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生們才能真正體會(huì)到數(shù)學(xué)的真正含義.數(shù)與形的結(jié)合，能夠?qū)⒅R(shí)整體化、系統(tǒng)化，能夠從“數(shù)”“形”的角度來思考問題，強(qiáng)化知識(shí)與知識(shí)的關(guān)聯(lián)和轉(zhuǎn)換，從而形成一種高效的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，以優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).“數(shù)”和“形”的結(jié)合，加深了學(xué)生的認(rèn)識(shí)層次，使學(xué)生在深入掌握高中數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)解決類似的應(yīng)用題.

3.2 分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

分類討論思想對(duì)于學(xué)生的個(gè)人能力有一定的要求，為此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要充分發(fā)揮學(xué)生的實(shí)踐解題能力，以充分發(fā)揮這種數(shù)學(xué)思想解題的能力，使其在日常生活中可以應(yīng)用分類討論思想解決問題，從而使他們能夠克服分類討論中的盲目性和隨意性，做到有的放矢，提高學(xué)生綜合運(yùn)用這種數(shù)學(xué)思想解題的能力.在進(jìn)行分類法時(shí)，應(yīng)盡量按問題的條件性質(zhì)，盡量減少分門別類，應(yīng)注意層次.

例2 當(dāng)實(shí)數(shù)k在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，關(guān)于x的不等式2kx2+kx-38lt;0恒成立？

解析 當(dāng)k=0時(shí)，不等式-38＜0恒成立=題意；當(dāng)k≠0時(shí)，由題設(shè)得k＜0，解得-3＜k＜0.

小結(jié)：因?yàn)轭}目給出的不等式的類別未確定，所以需要根據(jù)一元一次不等式和一元二次不等式的概念，對(duì)k進(jìn)行分類討論.在此進(jìn)行分類討論的目的是先確定不等式的類型，再解不等式.

3.3 化歸轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

“化歸”和“轉(zhuǎn)化”是指利用某種函數(shù)性質(zhì)、圖像、公式或已知條件來將問題轉(zhuǎn)化為解決問題的方法.等值轉(zhuǎn)化是從抽象到具體，從復(fù)雜到簡(jiǎn)單，從未知到知道，再到快速、合理地找到和選擇問題的解決辦法和方法.雅潔卡婭是著名數(shù)學(xué)家，曾經(jīng)在一次演講中，對(duì)一位參加數(shù)學(xué)奧林匹克的選手說：“解題就是將要解決的問題變成已解決的問題.”數(shù)學(xué)解題的過程，是由不可知到已知，由復(fù)雜到簡(jiǎn)化的過程.等價(jià)轉(zhuǎn)化思維方式的特征在于其靈活多變.在運(yùn)用等值轉(zhuǎn)換思維方法求解數(shù)學(xué)問題時(shí)，并沒有一個(gè)統(tǒng)一的模型.

如，可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化.從宏觀上講，可以將通用語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的分析與求解.這種變換可以在符號(hào)體系中實(shí)現(xiàn)，也就是所謂的恒等化、消去法、換元法、數(shù)形結(jié)法、值求域問題等等，都是等值轉(zhuǎn)換的思想.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，可經(jīng)常在函數(shù)、方程和不等式之間做出劃歸轉(zhuǎn)化.可以說，等價(jià)轉(zhuǎn)化是把代數(shù)公式中的恒等形變提升為保證命題的真實(shí)性不變，因?yàn)樗哂卸鄻有院挽`活性，所以要正確設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)換方式，以避免死板的硬套形式.

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練應(yīng)用題例題：在∠ABC中，其內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知b sin （A+π3）=a sin B，則∠A等于（π3）

在解這道題時(shí)，教師應(yīng)讓學(xué)生利用由正弦定理.

由上題可得，在進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)，教師應(yīng)讓學(xué)生遵循熟悉簡(jiǎn)單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則，也就是將學(xué)生所碰到的問題，轉(zhuǎn)化為學(xué)生所熟悉的問題；又或者，將復(fù)雜的問題，化作一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的問題，從超然式到代數(shù)式，從無理式到有理式，從分式到整體式，等等；或者將比較抽象、難以解決的問題，轉(zhuǎn)換成比較直觀的問題，這樣才能更好地掌握問題的解決方法，例如：采用數(shù)形結(jié)合法，或從非標(biāo)準(zhǔn)類型轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)類型.根據(jù)上述原理進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，轉(zhuǎn)換過程既省時(shí)又省力，又能不斷地滲透等效轉(zhuǎn)換思想，從而提高了學(xué)生實(shí)際的解題能力.

3.4 函數(shù)方程思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

首先，函數(shù)思想，就是利用函數(shù)功能的概念和特性對(duì)問題進(jìn)行分析、轉(zhuǎn)化、求解；其次，方程思想，它是從問題的數(shù)量關(guān)系出發(fā)，利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把問題中的條件轉(zhuǎn)換成方程、不等式、方程和不等式的組合，再由方程（群）或不等式（群）解決問題.有時(shí)，還能將函數(shù)和方程互相轉(zhuǎn)化，使問題得到解決.笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程問題.函數(shù)概念和方程式概念有著緊密的關(guān)系，即在函數(shù)值為零時(shí)，求得自變量的值；求綜合方程式的根數(shù)或根的個(gè)數(shù)就是求出該函數(shù)與該圖像的交叉點(diǎn)或交叉點(diǎn)數(shù)目，即為它們之間的連通性，使其在數(shù)學(xué)解題時(shí)能互相轉(zhuǎn)換，從而豐富了數(shù)學(xué)解題思路.

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想在提高學(xué)生的綜合素質(zhì)和實(shí)踐解題能力等方面具有舉足輕重的地位.數(shù)形結(jié)合法、換元法、等價(jià)轉(zhuǎn)換法等數(shù)學(xué)思想方法，使抽象問題變得直觀、具體，同時(shí)也有助于發(fā)現(xiàn)問題所蘊(yùn)涵的“問題”，從而使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思維和方法的理解更加深刻，進(jìn)而達(dá)到快速讀懂題意、分析問題、解決問題的良好效果.

參考文獻(xiàn)：

劉旭東.化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題過程中的應(yīng)用分析.新課程，2021（4）：144.

鄧偉.高中數(shù)學(xué)解題中整合數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)踐思考.新課程，2021（23）：163.

［責(zé)任編輯：李 璟］