高中數(shù)學(xué)立體幾何的解題技巧和方法

摘 要：立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在高考中占有相當(dāng)?shù)谋壤莆樟Ⅲw幾何典型題型的解題策略，顯得較為迫切.文章重點(diǎn)對立體幾何的解題思路和技巧進(jìn)行了分析和探討，希望可以給廣大學(xué)生提供參考.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；立體幾何；教學(xué)方法

中圖分類號： G 632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號：1008-0333（2023）12-0047-03

收稿日期：2023-01-25

作者簡介：徐福安（1982.10-），男，江蘇省連云港人，本科，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

長期以來，高中數(shù)學(xué)立體幾何始終是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時的一個難點(diǎn)，而立體幾何學(xué)習(xí)對于學(xué)生立體感的要求比較高，因此在學(xué)習(xí)時既要熟練掌握相關(guān)理論知識，又要注重培養(yǎng)自己的立體感，只有這樣，才能在有關(guān)立體幾何學(xué)習(xí)中達(dá)到很好的學(xué)習(xí)效果.初中階段對立體幾何學(xué)得較淺，熟記某些計算公式直接套用就行，但在高中階段，教師在講解立體幾何相關(guān)內(nèi)容時，不僅需要使學(xué)生掌握基礎(chǔ)性、理論性知識，還需要培養(yǎng)學(xué)生的空間感和思維能力，同時，教師還需要讓學(xué)生掌握利用理論及公式解題的方法，歸納解題策略.下面就立體幾何的解題技巧進(jìn)行具體分析與討論.

1 樹立空間觀念增強(qiáng)空間想象力

對高中學(xué)生而言，從對平面圖形的認(rèn)識到對空間幾何體的認(rèn)識是一個巨大的跨越.為確保順利實現(xiàn)跨越，一方面可以指導(dǎo)學(xué)生動手制作幾何模型，根據(jù)具體的數(shù)學(xué)題目來進(jìn)行直觀感受；另一方面指導(dǎo)學(xué)生以教材上的空間幾何體為例進(jìn)行研究，建立模型意識，通過觀察、聯(lián)想、揣摩，判斷點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系，從而建立立體空間感.學(xué)生在對立體幾何有關(guān)知識進(jìn)行學(xué)習(xí)時，必須要了解實際的情況，教師要根據(jù)學(xué)情制定合適的教學(xué)方式.通過這種方式建立合理的空間觀念，強(qiáng)化學(xué)生們的空間感知幾何思維，從而使學(xué)生們在幾何問題的學(xué)習(xí)和解決過程當(dāng)中，能夠更加輕松.

具體來講，要想有效地培養(yǎng)學(xué)生的空間思維，在課堂中，教師可以為學(xué)生建構(gòu)一些能夠引發(fā)學(xué)生想象的簡單模型.如可先做一個簡單的正方體或長方體，再觀察所做的正方體或長方體，并找出正方體或長方體內(nèi)所涉及的線線間、線面間、面面間的聯(lián)系，再結(jié)合具體立體幾何題目加以拓展延伸以促進(jìn)解題能力的提高.另外，為了在理解空間幾何中各線、各面間關(guān)系的前提下找到合適的解題方式，還應(yīng)注重在學(xué)習(xí)時強(qiáng)化學(xué)生的立體幾何思維，以及繪圖技巧.首先，教師可以在學(xué)生掌握具體的繪制方法基礎(chǔ)上，再進(jìn)行進(jìn)一步的拓展.通過不斷的練習(xí)，保證在遇到立體幾何試題的時候，可以快速地畫出相關(guān)的圖形，讓自己的想象與聯(lián)想得到進(jìn)一步的開闊，從而給立體幾何試題的求解營造出對應(yīng)的方法，有效地促進(jìn)了自己立體幾何解題能力的提高，并對數(shù)學(xué)知識的進(jìn)一步學(xué)習(xí)提供了相關(guān)幫助.

在高中階段，大部分的學(xué)生都面臨著人生的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，因此，教師需要以一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难酃夂蛧?yán)肅的心態(tài)看待每一科.對于數(shù)學(xué)學(xué)科，無論從高考上看，還是從日常生活上看，對學(xué)生未來的發(fā)展都十分重要，所以更應(yīng)該認(rèn)真仔細(xì)地學(xué)習(xí).立體幾何的學(xué)習(xí)中最為重視的是空間思維能力的培養(yǎng)，即通常所說的三維空間，特別是圖形是有立體感的，因此要仔細(xì)觀察每一個面、每一個點(diǎn)和每一條線在學(xué)習(xí)中的聯(lián)系.

在運(yùn)用輔助線時還應(yīng)找準(zhǔn)切入點(diǎn)，讓它有助于我們更好地理解與把握立體圖形，并發(fā)展空間思維能力與想象力.

2 加強(qiáng)綜合分析與邏輯論證能力

學(xué)習(xí)立體幾何相關(guān)數(shù)學(xué)知識時，教師要指導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系自己的生活實際，建構(gòu)相應(yīng)的模型，通過類比平面幾何等方法，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想與命題.教師要注意，在提出并分析命題之后不要急著去肯定或否定它，而要多用對應(yīng)的特殊情況去考查它，并在理清命題本質(zhì)的前提下探究對應(yīng)的證明途徑.在這一過程當(dāng)中，為了能由低級向高級、由部分向整體進(jìn)行問題的轉(zhuǎn)化，要充分發(fā)揮出學(xué)生的綜合分析能力，強(qiáng)化學(xué)生的邏輯論證能力，讓學(xué)生后續(xù)的解題過程更加順利，優(yōu)化解題過程和效果，同時強(qiáng)化學(xué)生綜合分析與邏輯證明能力.還要注重多角度分析立體幾何中的數(shù)學(xué)問題.比如把平行問題、角度問題、垂直問題與距離問題結(jié)合起來，促進(jìn)學(xué)生整體解題能力的提高，使學(xué)生們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力得到進(jìn)一步增強(qiáng).立體幾何和我們的生活有著密切聯(lián)系.例如，在生活中使用的圓形水杯、桌子和立柜.在課堂中，教師可以用真實的實物展開講解，以此為模型引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察和思考，通過對照的過程，將平面幾何進(jìn)行聯(lián)系，并讓學(xué)生提出自己的想法.另外，既需要對立體幾何特點(diǎn)有總體認(rèn)識，又需要由各點(diǎn)、線、面的關(guān)聯(lián)來掌握解題的正確思路，豐富技巧性知識.但需要注意的是，在學(xué)生進(jìn)行證明時，需要使其進(jìn)行多方面的聯(lián)想和思考，讓學(xué)生嘗試運(yùn)用不同的方法進(jìn)行練習(xí)，對角度、平行及垂直等問題產(chǎn)生新的認(rèn)知，這樣才能讓解題有更多的思路.

3 設(shè)而不求，簡化運(yùn)算

“設(shè)而不求”的方法是讓學(xué)生根據(jù)已知條件，通過未知數(shù)的設(shè)立，來聯(lián)系已知與未知信息，并由此歸納出具體的解題方法，但所設(shè)未知量在解題時要避而不答.因此，解立體幾何題時，若某些較復(fù)雜的幾何問題似乎缺乏某些條件時，則可采用“設(shè)而不求”法，設(shè)適當(dāng)?shù)膮?shù)來強(qiáng)化待解問題與已知條件的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，而將“非求部分”忽略掉，通過去掉參數(shù)，高效地完成解題.

例1 已知S-ABCD是正四棱錐，從平行于底面截取平面A1B1C1D1，形成一多面體，其上底面的面積為Q1，下底面的面積為Q2，側(cè)面面積為P，其對角面面積為多少.

解析：易知，所截多面體對角面呈等腰梯形且上底面和下底面的長度能由上、下底面面積解出，高度就是多面體高度.若直接執(zhí)行有關(guān)操作，則解題的過程便會十分復(fù)雜；若是引導(dǎo)學(xué)生采用設(shè)而不求法，則可更加巧妙地解決問題.在這一過程中，學(xué)生需要假定對角面的面積為S，將多面體上底邊長設(shè)為a，下底邊長設(shè)為b，高設(shè)h，斜高即h′，就是“設(shè)而不求”這種方法.這種方式不僅可以減少學(xué)生的計算量，使運(yùn)算步驟更加簡短，同時也能夠在一定程度上降低題目的難度，提高學(xué)生解題的速度.因此，在引導(dǎo)學(xué)生解題時，老師可以詳細(xì)地介紹并引導(dǎo)運(yùn)用該方法.

4 發(fā)散學(xué)生數(shù)學(xué)思維，豐富學(xué)生解題技巧

在學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，不僅僅要掌握立體幾何知識，同時還要重視發(fā)散學(xué)生的學(xué)習(xí)思維，引導(dǎo)學(xué)生嘗試使用解題技巧來進(jìn)行分析和思考，不斷完善知識體系，使學(xué)生更加高效地解決立體幾何問題.具體來講，在高中階段，教師可以將函數(shù)、空間幾何等思想直接應(yīng)用，再綜合各種各樣的學(xué)習(xí)技巧來進(jìn)行問題的解答.

在學(xué)習(xí)立體幾何相關(guān)內(nèi)容時，教師需要引導(dǎo)學(xué)生形成正確的思維方式，避免學(xué)生將思路局限在立體幾何知識上，還要嘗試著運(yùn)用已學(xué)的綜合性知識拓寬解題思路，掌握解題技巧.具體來說，在進(jìn)行問題的求解時，教師可以在其中引入函數(shù)思想，讓學(xué)生將其與空間幾何思想相聯(lián)系，理解運(yùn)動距離、化曲為直等思路，并將這些內(nèi)容運(yùn)用于解題過程中，之后再根據(jù)實際的題目，應(yīng)用合適的技巧，得出最簡便的求解方法.

例2 正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，已知在棱AA1上有一點(diǎn)E，線段A1E的長度為1，已知存在著一點(diǎn)F，在截面A1BD上運(yùn)動，求解線段AF和FE的最小值.

在閱讀題目后，教師需要讓學(xué)生意識到這一題型需要在正方體內(nèi)做輔助平面，學(xué)生設(shè)置輔助平面為D1B1C，根據(jù)題意和圖中信息，能夠得出平面A1BD與平面CB1D1是平行的位置關(guān)系，于是便可以連接AC1與平面CB1D1，并將其交點(diǎn)設(shè)置為G，之后連接平面BA1D與EG，設(shè)置交點(diǎn)為F，這時，根據(jù)GE與A1C1的平行關(guān)系，便能夠求出最小值為GE，即GE=2A1C1/3=2.

這說明，學(xué)生在進(jìn)行學(xué)習(xí)時主動發(fā)散思維并結(jié)合各種解題技巧，可以較好地完成立體幾何問題的解答，學(xué)生的學(xué)習(xí)效率可以顯著提高.

5 熟練掌握立體幾何的知識高中與立體幾何有關(guān)的知識點(diǎn)理解并不困難，但若將很多數(shù)學(xué)知識與幾何問題混合起來，就會使問題復(fù)雜化.為了研究立體幾何解題方法與技巧，要求學(xué)生首先必須掌握立體幾何基本知識，如各類定義、定理等；其次是尋找各個知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，逐漸建立起立體幾何知識體系網(wǎng)，再將數(shù)學(xué)知識融入立體幾何知識網(wǎng)中，淺顯地掌握一些立體幾何的解題技巧；最后，學(xué)生們還必須在實踐中不斷地積累解題經(jīng)驗，在領(lǐng)悟的基礎(chǔ)上巧妙地運(yùn)用這些知識，如做立體幾何有關(guān)證明題，可以用筆記記錄常用的結(jié)論.

6 加強(qiáng)空間思維的訓(xùn)練

空間思維為立體幾何的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).當(dāng)學(xué)生碰到立體幾何題目的時候，利用自己的空間思維能夠最快地領(lǐng)悟題意，因此教師需要有意識的對其進(jìn)行空間思維的訓(xùn)練.學(xué)生們頭腦里形成了空間思維后，解圖形問題時就能比較容易地把輔助線加入幾何圖形中，問題才變得更加簡單.但是單純地學(xué)習(xí)理論知識是無法建立起三維空間的，因此教師在指導(dǎo)時應(yīng)該具有目的性，可以依據(jù)立體幾何知識的特點(diǎn)，來指導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察和思考生活中的立體圖形，循序漸進(jìn)地發(fā)展并提升他們的空間思維.

7 發(fā)展邏輯思維能力

邏輯推理能力在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中是需要重點(diǎn)考慮的，一個好的邏輯推理能力可以提升學(xué)生學(xué)習(xí)效率.而這一學(xué)習(xí)效率不僅對幾何代數(shù)計算有一定的促進(jìn)作用，而且對學(xué)生立體幾何的學(xué)習(xí)過程也有著較高的價值.所以教師一定要對學(xué)生邏輯推理能力加以重視.增強(qiáng)學(xué)生邏輯能力可從兩方面入手：一方面，需要借助于邏輯推理全過程來培養(yǎng)能力.除立體幾何外，任何一種數(shù)學(xué)題型都離不開論證過程，但傳統(tǒng)教學(xué)過程中許多學(xué)生對教師所給解題模式及證明過程不加以分析，而直接套用，從而不能準(zhǔn)確把握這類題的確切意義，一旦問題出現(xiàn)變化，學(xué)生便覺得束手無策.所以，教師有必要對學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)，使其自主完成邏輯推理過程，以強(qiáng)化其邏輯推理能力.另一方面，老師還應(yīng)該借助于講題這一過程對學(xué)生進(jìn)行邏輯思維訓(xùn)練.由于數(shù)學(xué)本身是一門邏輯嚴(yán)密、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目颇浚岳蠋煈?yīng)該在教學(xué)過程中突出這一特征，帶領(lǐng)學(xué)生跟隨老師的視角與思維進(jìn)行邏輯上的推理.在此過程中，老師應(yīng)該對教學(xué)節(jié)奏進(jìn)行合理的把控，在課堂教學(xué)這一層面上對學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)，進(jìn)而對其推理能力進(jìn)行訓(xùn)練.

總之，立體幾何問題復(fù)雜多變，在求解過程中要用到很多相關(guān)的知識，如函數(shù)、向量知識等.在此基礎(chǔ)上，還必須能夠?qū)D形當(dāng)中的關(guān)系進(jìn)行分析.若是立體幾何中的題目過難，學(xué)生們的心態(tài)太過消極，則很容易讓學(xué)生們放棄對這段知識的學(xué)習(xí)，但如果能夠讓學(xué)生們熟練掌握技巧與方法，便能逐漸提高其解決問題的能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］盧亦思.高中數(shù)學(xué)中立體幾何問題的兩種解析方法 .農(nóng)家參謀，2017（14）：130.

［責(zé)任編輯：李 璟］