考慮導彈視場約束及落點姿態的協同制導律設計

摘 要：針對空空導彈協同攻擊過程中視場受限的問題，提出一種帶有視場角和彈著點姿態約束的協同制導律。在二維平面內建立導彈與機動目標的交戰幾何模型后，進行制導律的設計。首先，基于時變滑模面，設計視線法向的制導律，選取積分障礙李雅普諾夫函數，保證導彈在攻擊過程始終穩定地跟蹤目標，且導彈能以期望的落角攻擊目標，選取積分障礙李雅普諾夫函數證明制導律收斂； 其次，在對攻擊剩余時間進行估計的基礎上，設計具有時間約束的制導律，保證導彈在預設時間命中目標。最后，在三種假設情景中進行仿真，驗證了制導律的可行性。

關鍵詞：協同制導; 視場約束; 時變滑模面; 李雅普諾夫函數; 時間約束; 制導律;" 空空導彈

中圖分類號：TJ765

文獻標識碼： A

文章編號：1673-5048（2023）05-0017-08

DOI： 10.12132/ISSN.1673-5048.2022.0235

0 引" 言

空空導彈于20世紀40年代問世，經過70多年的發展，迄今已經成為空中戰斗的主要武器，空戰的需求和科學技術的不斷進步推動著空空導彈的更新換代［1］。

隨著現代技術的發展，導彈防御體系日臻完善，單枚導彈的探測范圍和殺傷半徑有限，而多枚導彈協同攻擊，可以彌補單彈作戰的不足，倍增武器效能，實現打擊、突防能力的整體提升。因此，組織多枚導彈對目標進行多方位的飽和集群攻擊，是一種更符合現代戰爭的重要作戰方式。

在多彈協同攻擊的過程中，要求各導彈能以相同的飛行時間對目標實現瞬時飽和攻擊，使整體作戰效能最大化。對于實現協同的時間約束問題，國內外學者進行了相關研究，主要有兩類，一類是預先指定攻擊時間的開環控制。文獻［2］在小前置角前提下設計了基于比例導引的剩余時間估計公式； 文獻［3］基于滑模控制設計了滿足時間約束的制導律； 文獻［4］提出了一種大前置角下的剩余時間估計算法。另一類是實時修訂攻擊時間的閉環控制。文獻［5］基于剩余時間估計，利用非線性擾動觀測器設計了滑模制導律； 文獻［6］分別基于有限時間一致性理論和快速非奇異終端滑模設計視線方向和視線法向的制導律； 文獻［7］結合自適應與積分滑模設計視線方向的協同制導律。

此外，要求各導彈以指定角度同時攻擊目標，可以實現對目標的多方位打擊，提升打擊效果。攻擊時間控制和落角控制都使導彈在飛行過程中產生適度機動來調整飛行時間和方向，彈道通常比較彎曲，可能導致目標位置超出導引頭視場范圍（特別是視場相對較窄的捷聯式導引頭），丟失跟蹤目標，因此在制導過程中需要對導彈視場角加以約束。本文對綜合考慮時間約束、落角約束和視場角約束的多約束制導律進行研究，目前的多數協同類文獻，或考慮落角和時間約束，或考慮視場角和時間約束，而同時具備此三種約束的文獻相對較少。文獻［8-10］設計了需要切換的階段性制導律，其中文獻［8］設計了兩階段制導律，第一階段的偏置比例導引實現視場角和時間約束，第二階段基于滑模控制的制導律實現落角和時間約束； 文獻［9］通過對比例導引的偏置項進行設計，將角度控制分為三個階段，分段約束視場角、落角和時間； 文獻［10］設計了兩階段導引律，第一階段基于障礙李雅普諾夫滑模設計滿足視場角和落角約束的制導律，第二階段設計滿足視場角和時間約束的制導律。但不同制導律間的切換易造成切換點附近過大的指令跳變，影響控制效果和導引精度。文獻［11-14］設計了無需切換的連續制導律： 文獻［11］構造了可以約束落角和視場角的比例導引偏置項，并推導了剩余時間的估計； 文獻［12］用滑模控制方法對落角和視場角約束指令進行設計，由基于剩余時間估計設計了時間約束項； 文獻［13］基于李雅普諾夫法、剩余時間估計和可控開關的修正指令，設計了滿足落角、時間和視場角約束的三維制導律； 文獻［14］基于最優控制設計了落角偏置項，又設計了時變增益對時間和視場角進行控制。文獻［11-14］適用于靜止目標，在對視場角約束的設計過程中將其轉化為控制受限問題，當視場角達到設定閾值后，視場角約束項變為0以鎖定視場角的值;" 文獻［12］通過分段函數限制控制； 文獻［13］中的視場角約束部分實際上包含指令切換項。

在上述研究的基礎上，針對協同導彈飛行過程中需要始終穩定跟蹤目標，及需要以指定姿態接近目標的問題，本文提出了一種能夠始終滿足視場角約束和落角約束的新型時間協同制導律。首先對平面中機動目標的攔截場景進行建模，將視場角約束問題轉化為對視線法向相對速度的約束問題，避免將其轉化為控制受限問題，然后基于時變滑模面設計考慮視場角和落角約束的控制部分，其不存在指令切換的問題，再引入積分障礙李雅普諾夫函數，證明所設計制導律的收斂性，確保約束始終得到滿足，接著在剩余時間估計的基礎上，設計滿足時間約束的開環控制部分。

1 問題描述和預備知識

1.1 問題描述

考慮二維平面的典型攔截場景，以水平面內攻擊目標為例，假設制導的某一時刻，導彈與目標的相對運動關系如圖1所示。這里假設導彈和目標皆為質點。

圖中，D，B分別表示導彈和目標，兩者連線DB為視線，R為導彈與目標間的距離。假設導彈、目標分別以VD，VB的速度運動，法向加速度分別為aD和aB。選取參考坐標系的x軸為基準線，q為視線角； θD，θB為導彈和目標的航跡角； φD，φB為導彈和目標的前置角。

、

2 制導律設計

設帶有視場角、落角和時間約束的制導律形式為

a＝aD+at（11）

對制導律的設計大致分為兩部分： 先設計具有FOV（field-of-view，視場）約束的aD，再設計ITCG（impact time control guidance，時間約束制導律）at。

2.1 FOV約束制導律設計

使用滑模控制方法設計FOV約束制導律aD，包括滑模面的選取及控制律的設計兩個主要步驟。

導引方程中Rq·表示彈目相對速度垂直于視線方向的分量，記為Vd，對時間求導，再代入幾何關系和式（1）可得

V·d=-R·q·-aDcosφD+d（t）（12）

其中，d（t）是目標機動的相關干擾項，d（t）=aBcosφB。這里假設此項為有界值： ｜d（t）｜≤Δ1，Δ1為一正值常數，且在t≥0的時間內都滿足此假設。

導引頭視場角為彈體軸與彈目線之間的夾角，通常有最大視場角φmax∈（0， π/2）。在末制導過程中，假設導彈的攻角很小，導引頭FOV約束可以用導彈前置角φD近似代替，描述為｜φD（t）｜≤φmax。假設在制導初始時刻，導引頭滿足FOV約束，即｜φD（0）｜≤φmax； 同時，為了使導彈順利攔截目標，進一步假設（｜sin（φD（0））-vsin（φB（0））｜＜sinφmax-v（v1）），且cosφmax≥v+ε1，ε1為一小正值常數。

設交戰的終端時刻為td，終端時刻導彈須達到的落角為γd，落角與終端視線角存在對應關系，見文獻［18］，因此文中將落角約束轉化為對視線角qd的約束。對制導指令aD的設計目標為

R（td）min（13）

q（td）qd（14）

｜φ（t）｜≤φmax， t∈［0， td］（15）

取狀態變量為視線角跟蹤誤差和垂直視線方向的彈目相對速度，根據狀態變量關系和式（12）可得系統方程，即

x·1=x2/R

x·2=-R·x2/R-aDcosφD+d（t）

（16）

對于上述系統，若所設計的aD能使td時刻之前有（x1， x2）（0， 0），則約束條件（13）～（14）可以得到滿足。另外，應用式（2），則約束（15）的充分條件可表示為

｜x2｜＜kc， t∈［0， td］（17）

其中，kc=VDsinφmax-VB＞0， 在處理FOV約束時考慮了目標機動的因素。

此時，aD的設計目標進一步表述為： 設計合理的aD，使系統（16）在式（17）的狀態約束條件下，在有限時間td內收斂至原點。

對于系統（17）構造時變滑模面：

s=w（t）x1+x2（18）

式中： w（t）＝kc/（｜x1｜+ε），ε為正值常數，w（t）是一個大于0的連續時變函數。

事實上，在符合不等式（17）的FOV約束下可以采用形如s=kc/（｜x1（0）｜+ε）x1+x2的固定斜率滑模面，這種形式雖然運算簡單，但當x1（0）較大時，因斜率固定，x1的收斂速度較慢。而式（18）提出的時變滑模面可以實現x1的快速收斂，且在整個過程中不違反FOV約束，并在接近終端時刻x10時，參數ε能夠確保w（t）為有限值。同時，ε可作為調節視場約束裕度的參數，數值越大，表示視場約束的強度越大，導引頭探測目標的最大幅度值越小。

將滑模面對時間求導，并將式（13）～（15）代入式（18）可得

s·＝M1-aDcosφD+d（t）（19）

式中： M1=-kc｜x1｜（｜x1｜+ε）2+kc｜x1｜｜x1｜+ε-R·x2R。

受定理1和引理1啟發，本文選取iBLF為

V（s）=∫s0k2cσk2c-（σ+α1）2dσ（20）

式中： k1＞0，k2=Δ1+k′2， Δ1為｜d（t）｜上界，且k2＞0，k1， k2具體值可調。

上述制導指令下的系統滿足以下優勢：

（1） 導彈接近目標時，系統狀態收斂至原點，即ttd時，（x1， x2）（0， 0）。

（2） 系統在整個過程中不違反FOV約束，即｜x2｜＜kc， t∈［0， td］。

證明如下：

（1） 將制導指令aD代入式（24）可得

V·（s）=-k1ks2-k-2 k｜s｜（26）

其中，k-2=k′2/k＞0。不等式（6）代入式（26）可得

V·≤-k1V-k-2V1/2（27）

根據引理2和不等式（27），V在有限時間內收斂至0，即系統將在有限時間內到達滑模面s=0， 到達時間由引理2給出。又由優勢（2）可知，系統到達滑模面，即有ttd，（x1， x2）（0， 0）。

（2） 系統運動過程分為趨近滑模面和在滑模面上運動兩種狀態。

在滑模面上有s=0，由時變滑模面式（18）可得

｜x2｜=｜-w（t）x1｜=w（t）·｜x1｜=kc｜x1｜+ε·｜x1｜＜kc

另外，有R·≤-VD（v-ε1）+VB=-VDε1＜0， R（0）正定，R·負定，因此必然存在有限時間td，使R（td）0。由系統方程可知，滑模面上有

x·1=x2/R=-w（t）x1/R，因此，當R（td）0時，有x1（td）=x1（0）exp（-∞）=0，即q（td）=qd。

在趨近滑模面的過程中，由式（20）定義的函數V為正定函數，而不等式（27）表明V（t）≤V（0），即V對所有的t≥0都有界。由BLF的定義可知，｜x2｜≠kc（否則V無界），又因｜k2（0）｜＜kc，所以｜x2｜＜kc。

2.2 ITCG設計

本節基于對剩余時間的合理估計進行時間約束制導律at的設計。

指定攻擊時間tc與當前飛行時間t之差為標稱剩余時間t-go，即

t-go=tc-t（28）

實際攻擊時間td與當前飛行時間t之差稱為真實剩余時間tgo，即

tgo=td-t（29）

真實剩余時間的值tgo是不能通過彈載設備直接測量的，只能通過合適的算法得到其估計值，設真實剩余時間的估計值為t^go。標稱剩余時間t-go與真實剩余時間tgo的差稱為就位時間誤差ΔT：

ΔT=t-go-t^go（30）

在對附加項進行設計時，需要真實剩余時間的估計值t^go，本文采用文獻［19］的形式：

t^go=R（1+C1φ2+C2φα+C3α2）/V（31）

式中： C1=1/（4N-2）; C2=K/（（N+K）（2N-1））;

C3=K2/（（N+K）（2N-1）（1+2K））; α（t）=（N-1）qd+θ（t）-Nq（t）;

K為比例導引系數，一般取K≥3； N為角度控制系數，一般取N≥1。

真實剩余時間tgo表示為

tgo=t^go+ζ（32）

式中： ζ為補償項，與參數R， V， φD， α相關，以補償假設可能導致的估計誤差。

將真實剩余時間的估計值t^go對時間求導，并結合導引方程可得

dt^godt=T1－Δt1at（33）

式中： T1為不顯性含有at的函數； Δt1=R（（2C1－C2）φD+（C2－2C3）α）/V2。

同樣地，ζ對時間的導數也具有上述形式，即

dζdt=T2－Δt2at（34）

式中： T2為不顯性含有at的函數； Δt2為時變未知量。

將tgo對時間求導，并代入式（32）～（34）可得

t·go=T1+T2－（Δt1+Δt2）at（35）

考慮到T1， T2未顯性含有at，則當at=0時，沒有相關的控制項提供能量使得攻擊時間得到調整，因此T1+T2的值應當為一常數。考慮到t^go是tgo的估計值，又考慮到式（30），設式（36）成立：

t·goat=0 =T1+T2=-1（36）

則結合式（28）， （30）， （35）～（36），就位時間誤差ΔT對時間的導數為

ΔT·=Δtat（37）

式中： Δt=Δt1+Δt2。

結合式（37）進行分析，設計如下的控制項形式：

at=－（λktΔTμsgn（ΔT）cosφD）/Δt1（38）

式中： kt為大于0的常數； μ為一可調參數，μ∈（0，1）； 函數λ（Δt1）是為了避免當Δt1=0時的at奇異，設計切換函數如下：

λ=0Δt1lt;σ1

（Δt1－σ1）/（σ2－σ1）σ1≤Δt1≤σ2

1Δt1gt;σ2 （39）

式中： σ1， σ2為小值常數。

綜合上述設計過程和式（25），（38）～（39），得出可以同時滿足視場約束、落角約束和時間約束的制導律：

a=aD+at=［M1+α·1－ρα·1k+k1s+k2sgn（s）］/

cosφD－［λktΔTμsgn（ΔT）cosφD］/Δt1（40）

ρ如式（8）所示，λ如式（39）所示，調節視場約束裕度的參數εgt;0，其余為設計參數： k1，k2，kt為大于0的常數，且k2=Δ1+k′2，μ∈（0， 1），σ1，σ2為小值常數。

3 仿真分析

對本文設計的制導律進行數值仿真，在3個場景中進行： 場景一驗證制導律設計的可行性； 場景二將本文方法與文獻［11］中的方法進行對比分析； 場景三驗證本文設計的制導律對目標機動有一定的容忍度。

3.1 場 景 一

平面內采用2枚導彈從兩個不同位置分別對兩個目標進行攻擊，制導設計參數和初始條件如表1～2所示，2枚導彈的終端落角約束均取為40°，考慮到實戰中協同的導彈種類不同，亦或是來自不同平臺，導彈視場角范圍不同的問題，取導彈1的視場范圍為［-45°， 45°］，導彈2的視場范圍為［-35°， 35°］，預先設定攻擊時間為34 s，同時設定脫靶量小于5 m為仿真終止條件。仿真結果如圖2～5所示，具體數值如表3所示。

此場景是對多枚導彈攻擊不同目標的典型交戰情況進行的簡化仿真，各導彈實際的落角、視場角和彈道時間均滿足設計時的約束要求。

3.2 場 景 二

本場景將本文設計的制導律與文獻［11］中設計的制導律進行對比，文獻［11］對時間約束的實現也是基于剩

余時間估計，但實現落角和FOV約束的設計方法與本文是不同的，且針對的是靜止目標。取目標位置為（-11 000 m，1 500 m），導彈位置為（-1 000 m，500 m），初始航跡角為0°，速度為300 m/s，導引頭的視場范圍為［-45°， 45°］，指定落角為-20°，預先設定攻擊時間為45 s。制導設計參數取值如表4所示，同時設定脫靶量小于5 m為仿真終止條件。仿真結果如圖6～9所示，具體數值如表5所示。

仿真結果表明，本文方法與文獻［11］方法均能使導彈產生適度機動，在攻擊時間內實現始終遵循FOV約束的指定落角打擊目標。文獻［11］通過余弦函數直接構造約束視場角的偏置項，而本文通過時變滑模面和積分障礙李雅普諾夫函數的方法實現視場角約束，兩種設計方法的不同主要在圖7中體現。在此場景下，文獻［11］對視場角的約束轉化為受限的控制問題，即當導彈達到預先設定的視場閾值時，其約束視場角的偏置項減小至0，以此來鎖定視場角的值，導彈視場角達到負閾值，變化相較來說是劇烈的； 本文設計的滑模面不僅能保證系統的約束在滑模面上得到滿足，而且能保證趨近過程中的滿足，因而視場角變化維持在-66.7％～+22.2%之間，波動更小一些。實際中導彈的控制系統及控制過程都存在時延，平緩的控制能夠提高導彈穩定跟蹤的快速性，相比之下也更節約能量，同時，還有30%左右的視場角裕度，對于目標的跟蹤更加有利。

3.3 場 景 三

平面內2枚導彈從不同位置對目標進行攻擊，假設目標發現后進行10g的機動逃離，導彈1視場約束為［-30°， 30°］，指定落角為30°，導彈2視場約束為［-45°， 45°］，指定落角為-10°。制導設計參數和初始條件如表6～7所示，預設攻擊時間為15 s，同時設定脫靶量小于5 m為仿真終止條件。仿真結果如圖10～12所示，具體數值如表8所示。

仿真結果顯示，制導過程中兩導彈始終滿足各自的FOV約束和落角約束。在2.1節的設計過程中考慮了機動的對象，并對其做了簡化處理，場景三的仿真結果表明，當目標進行≤10g的機動時，制導律仍然是適用的。

三種場景下的仿真，表明設計的制導律避免了傳統中指令轉換和控制受限問題，以及其同樣適用于對機動目標的攔截。

4 結" 論

本文對協同導彈飛行過程中需要始終穩定跟蹤目標并以指定姿態接近目標的問題進行研究，通過對二維平面中攔截機動目標場景的建模與分析，將視場角約束轉化為垂直于彈目視線方向的相對速度約束，結合時變滑模面和積分障礙李雅普諾夫函數，在剩余時間估計基礎上，設計了一種能夠始終滿足視場角約束和落角約束的開環協同制導律，在實現協同目標的前提下考慮了目標機動和攻擊過程中的多約束限制。設計的制導律可以使多枚導彈同時從多方位實現對目標的飽和攻擊，提升作戰整體效能。

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Design of Cooperative Guidance Law Considering Missile Field-of-

View Constraint and Impact Point Attitude Constraint

Wang Shuhan1*，Cui Hao1， 2，Xu Yanke1， 2，Guo Zhengyu1， 2

（1. China Airborne Missile Academy，Luoyang 471009，China；

2. National Key Laboratory of Air-based Information Perception and Fusion，Luoyang 471009，China）

Abstract：

Aiming at the problem of limited field-of-view of air-to-air missile during cooperative attack， a cooperative guidance law with field-of-view angle and impact point attitude constraints is proposed. After the engagement geometric model between the missile and the maneuvering target is established in the vertical plane， the guidance law is designed. Firstly， based on the time-varying sliding mode surface， the guidance law of the normal direction of the line of sight is designed， and the integral obstacle Lyapunov function is selected to ensure that the missile can stably track the target during the attacking process， and the missile can attack the target at the expected impact point angle. The integral obstacle Lyapunov function is selected to prove the convergence of the guidance law. Secondly， on the basis of estimating the remaining time of the attack， a guidance law with time constraints is designed to ensure that the missile hits the target at the preset time. Finally， the feasibility of the guidance law is verified by simulation in three scenarios.

Key words： cooperative guidance； field-of-view constraint； time varying sliding surface；" Lyapunov function； time constraint;" guidance law;" air-to-air missile