探賾索隱 鉤深致遠

鐘黎 朱源

在《普通高中課程方案（2017年版2020年修訂）》中提到普通高中的培養目標是“具有科學文化素養和終身學習能力，具有自主發展能力和溝通合作能力”[1]，如何讓高中生兼具“理性思維”和“人文品質”，這就驅使教師要擁有超越學科的跨界視野。其次，在近年發行的《中國高考評價體系說明》中也提出要從“基礎性、綜合性、應用性、創新性的角度對素質教育的目標進行評價”[2]，而綜合性的、跨學科的教學內容也能為評價落地提供抓手，實現對學生核心素養的綜合考查。此外，數學史與數學教育（HPM）是近十年數學教育界研究的熱點，這一理念對學生數學觀和數學價值觀的完善大有裨益。但由于大多數數學教師缺乏數學史的儲備，導致這一理念未被大面積運用，恰好歷史教師能彌補這一不足。綜上所述，在課改、新高考等頂層設計的指引之下，結合近年來日益成熟的學術研究成果，數學與歷史學科的融合是適時，教師探索新的教學方式更是適需的。

一、教學內容分析：融什么

“學科融合需要有一個相對穩定的支點，這樣才能圍繞特定支點匯聚各種學科知識。”[3]如何尋找融合支點，我們翻閱了兩個學科的課程標準發現，《普通高中歷史課程標準（2017年版2020年）》提到：“認同社會主義核心價值觀和中華優秀傳統文化。”[4]《普通高中數學課程標準（2017年版）》提到：“感悟我國古代數學的輝煌成就。”[5]在課標的引領下，我們立足并深挖教材，發現《九章算術》作為“中國古代算經之首”，在歷史和數學新教材中均有提及，這說明《九章算術》作為“融合點”是可行的。在確定融合點之后，我們緊接著要確定融合的內容，我們從“方田章”中選擇了一個數學問題，即“今有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七，問為田幾何？”作為本次授課的核心材料，圍繞這一數學問題，從兩種學科視角去分析，呈現出融合課高度整合并相融的特點。從數學學科視角來看，本題考查的是弓形面積的計算，《九章算術》中給出的“術解”是一個經驗公式，得到的是弓形面積的估計值。后來劉徽在作注時優化了“術解”，這種優化方法與與阿基米德的“窮竭法”相似，是“化曲為直、無限逼近”的極限思想的雛形。從歷史學科視角來看，本題其實是先秦時期土地制度變化、“廢井田、開阡陌”的表現，農業生產中大量不規則形狀土地的出現，加之富國強兵的需要，新算術孕育而生。正如恩格斯所說：“數學是從人的需要中產生的，是從丈量土地和測量容積，從計算時間制造器皿中產生的”[6]，滲透唯物史觀的基本原理。

根據以上教學內容分析，我們確定了此次融合課的教學目標：“比較弓形面積術解、術解的優化及與阿基米德方法三者，了解數學‘以直代曲、 無限逼近’的極限思想”，“了解中國古代數學‘實用性’與‘算術化’的特點，分析中國古代數學在近代逐漸衰落的原因”。據此，我們確定了本節課的主題為“探賾索隱，鉤深致遠”，這句話出自《周易》，后世史家認為《九章算術》以《周易》為典范，受到了它的廣泛影響。前半句是指探究事物的本質與深奧的道理，我們期待這節融合課能帶領學生走進中國古代數學，挖掘數學本質、探究數學規律。后半句是希望同學們在探究完這些問題后，認識到中國古代數學對古代和現代所具有的“深遠”影響。

二、教學過程闡述：怎么融

為令學生既領略數學的數理思辨、也能感嘆歷史的人文光輝，我們將本節課重新整合成三個部分。同時，本課也采用“任務驅動”的模式，下設七個任務，讓學生在完成任務的過程中，達成本課教學目標，落實學科核心素養。

（一）以治天下，以利民用

任務一：分析“方田章”中出現大量“非方形田”的原因。

《九章算術》系統地總結了先秦至秦漢時期人們在社會實踐中積累的數學知識，歸納成246個例題，分成九個大類：方田、粟米、衰分、商功等。“方田”章主要解決土地的丈量與賦稅計算問題，但為何名為“方形”田的章節，卻出現了大量“非方形”田的計算。教師引導學生結合《九章算術》的成書背景，從春秋戰國時期土地制度變革的角度去分析原因。春秋戰國時期鐵農具與牛耕的使用，促使土地的大量開墾成為可能，而開墾出的土地未必呈“方形”。再加之各國為了“富國強兵”，需要統計土地數量以收取地租等等。這些活動都需要測量多種形狀的土地面積，統計并測算土地成為國君的治國之術和國家的重大要務，因此推動了新算法的誕生。

最后，教師引用恩格斯的觀點，引導學生從“唯物史觀”的角度去理解生產力的進步帶來的社會意識的發展，認識人民群眾在社會發展中的重要作用。這一環節，教師引導學生通過多種不同的方式與視角，去描述和解釋這一時期土地形狀的演變，培養學生的歷史解釋和唯物史觀素養。

之后，歷史教師將講臺交給數學教師。數學教師選取“非方形田”中的“弧田”，帶領學生一起探討中國古代的先民們是如何計算它的面積的。

（二）探數之賾，窮數之道

任務二：思考計算“弧田（弓形田）”面積的方法。

教師將《九章算術》的第36個例題翻譯成現代語言和數學語言。讓學生結合高一所學，思考計算方法，得出“今解”（用扇形面積減去三角形面積）。緊接著提問學生，那么古人們是怎么計算的呢？進入到任務三的探究中。

任務三：探究中國古人采用經驗公式計算弓形田面積的原因。

教師將展示古人的的計算方法——“術解”，并用數學語言轉述。這是一個經驗公式，得到的只是弓形面積的估計值。教師提問學生，古人為何沒有提煉出計算弓形面積的精確方法？由于古代學者缺乏對角的認識與度量，沒有發展出三角函數，因此“今解”未被當時的數學家發現。讓學生從這一事例中體悟數學之道——“數學來源于生活，高于生活”。而“術解”作為一種經驗公式，在實際應用過程中會出現較大誤差，那如何優化呢？進入到任務四當中。

任務四：嘗試改良術解的估算方法。

學生通過小組合作，探討優化的方法。教師總結完小組討論的結果后，通過Geogebra展示劉徽的優化方法。劉徽在為《九章算術》作注時通過弓形內接等腰三角形填充的方法優化了“術解”，這種方法與“割圓術”一致。這一環節讓學生在古今對比中，感悟古人的智慧和數學之道——“數學的動態發展觀”。

不過，面對同樣的“弓形”，西方的大數學家阿基米德也曾經提出過他的解決方法，進入到任務五當中。

任務五：分析劉徽法和阿基米德法的關聯。

教師通過Geogebra展示阿基米德用的窮竭法，并引導學生進行橫向對比，領會中國劉徽與西方阿基米德在解決這一問題的思想上的共通之處——“化曲為直、無限逼近”思想，后來這種思想發展成了近代的“微積分”。這一環節讓學生在中西對比中，感受數學的動態發展過程，并獲得極限思想的直觀經驗。

劉徽法和阿基米德法中都蘊含著早期微積分的思想。如果我們將東西方數學發展史理解為兩條線，此刻它們相遇在微積分萌芽階段，而在此后，兩條線是交織前行還是漸行漸遠？我們進入第三部分的學習，數學教師將講臺再次還給歷史教師。

（三）旨趣既異，途徑亦殊

歷史教師展示“公元前6世紀—1950年數學的重大成就分析”一表，引導學生歸納中國古代數學的發展脈絡。學生根據表格能分析出，邁入世界近代以后，中國古代數學就逐步衰落了下去。

而衰落的原因何在？在回答這一問題前，得給學生提供一定的“腳手架”。需要先讓學生知道中國古代數學是什么樣的？它具有怎樣的特點？以此過渡到任務六。

任務六：分析中國古代數學的特點。

教師依托“《唐闕史》中楊損用‘書算’選拔官員的故事”來創設情境，讓學生神入歷史，分析中國古代數學的特點。材料中“為吏之最，孰是先于書算耶”一句道出中國古代數學是統治者“治天下、利民用”的工具，分析得出中國古代數學具有“實用性”和“算術化”的特點。緊接著，我們以此為基礎，一同探究任務七。

任務七：探究中國古代數學發展至近代衰落的原因。

教師在課前將學生分成四個小組，閱讀學案材料，引導學生從“內部”與“外部”兩大角度探究衰落的原因。

材料1：

Q： 著名院士吳文俊認為中國與西方古代的數學存在“旨趣既異、途徑亦殊”的現象，結合材料，談談你對這一觀點的理解？

Q：結合材料，分析中國古代數學在近代衰落的原因？

這里著重呈現材料一，材料一呈現了以《九章算術》為代表的古代中國數學與以《幾何原本》為代表的西方數學在“旨趣”與“途徑”上的區別。中國數學從解決實際問題出發，形成算法，即計算的過程、方法和步驟，構造出以機械化為特色的算法體系。西方數學從公理出發，通過推理論證的方式，形成一套以公理化為特點的演繹體系。材料二則說明中國古代封建專制制度和政治思想對知識分子和古代數學發展所形成的束縛。材料三則說明儒學漠視實用之學和古代用數字推斷人事吉兇、測定國運興衰的神秘思想阻礙了古代數學的發展。材料四則說明古代數學繁瑣復雜的符號體系在數學的抽象化表達中存在局限。最后從“內部”與“外部”兩大角度總結中國古代數學發展至近代衰落的原因。

通過前面的學習，我們知道中國古代數學發展至近代后，逐步衰落了。那是否意味著中國古代數學就此“絕跡”了呢？

我們著重解方程，解決各式各樣的問題，著重計算，要把計算的過程、方法、步驟說出來。這個方法步驟，用現在的話來講，就相當于所謂算法……中國的古代數學是一種算法的數學，也就是一種計算機的數學。

——吳文俊《東方數學的使命》

教師介紹我國著名院士吳文俊的“數學機械化”思想，讓學生了解到中國古代數學重“算術”的特點與當今計算機時代下重“算法”的趨勢有異曲同工之處。以算法為核心的機械化思想，將為信息時代數學科學的創新發揮重大作用。這一環節促使學生意識到中國古代數學在現代社會的延伸與發展，感悟古代數學的價值，提升學生的科學精神。

三、教學反思說明：融得如何

本課例是深圳實驗學校光明部歷史學科以深圳市普通高中新課程新教材實施學科示范基地建設為牽引，探究學科融合的階段性成果。該成果填補了部分文理學科融合的缺漏，但也存在授課時長分配、學案材料選擇、課堂目標強化等課程后續優化問題，也對融合課是否要堅守學科立場、授課過程中教師角色分配等學科融合理論問題進行了探討與反思。

不可否認，伴隨著知識經濟時代的到來和信息技術的迅速發展，社會對綜合型、創新型人才的需求只會越來越大。相互貫通、交叉融合的學科融合課是時代發展的必然、也是新時期教師教學努力的方向。誠如季羨林先生所說：“像過去那樣，死守學科陣地，雞犬之聲相聞，老死不相往來，己經完全不合時宜了”[7]，讓我們一同打破學科壁壘，看到更多歷史學科和學生發展的新可能。

【注釋】

[1][4]教育部：《普通高中課程方案（2017年版2020年修訂）》，北京：人民教育出版社，2020年，第3、13頁。

[2]教育部考試中心：《中國高考評價體系說明》，北京：人民教育出版社，2019年，第25—27頁。

[3]韋學飛：《學科融合的價值、目標與途徑》，《教育理論與實踐》2021年第17期，第9頁。

[5]教育部：《普通高中歷史課程標準（2017年版）》，北京：人民教育出版社，2017年，第31頁。

[6]恩格斯：《反杜林論》，北京：人民出版社，1970年，第35—36頁。

[7]季羨林：《光陰的饋贈》，北京：中國紡織出版社，2020年，第222頁。