采用顯式預測控制的四旋翼姿態控制器設計

高 藝 劉景亞 劉貴林

1. 中冶賽迪技術研究中心有限公司,重慶 401120 2. 智能冶金裝備重慶市重點實驗室,重慶 401120

0 引言

四旋翼機在過去十年中迅速發展,被用于多種類型的任務,包括搜索和救援任務、核反應堆監測、農業服務、測繪和攝影、海上作業和戰斗損害評估等,是無人飛行器領域中十分重要的科研分支。四旋翼無人機動力系統是安裝在不同位置的多個電機,無需動力傳動系統,可垂直起降,因其魯棒性和緊湊布局而逐漸受到各個領域科研學者的密切研究[1]。四旋翼飛行器飛行控制系統的核心和難點是可靠的飛行控制算法的設計與實現,設計能夠在惡劣環境中操作并應對復雜任務的無人系統。通常需要設計飛行控制系統來改善無人機的穩定性、動態跟蹤特性和抗干擾能力,以獲得更好的飛行性能,其中姿態的控制是整個飛行控制的基礎。

四旋翼飛行器具有較高的機動性,能夠在三維空間運動,但由于其具有典型的欠驅動、時變、操作滯后和非線性等特性[2],學者們提出了很多種不同的控制方法和控制理念以解決四旋翼飛行器穩定性、軌跡跟蹤、姿態控制和建模問題,方法包括PID[3]、LQR[4]、魯棒線性控制[5]、自適應控制[6]和滑模控制[7]。但上述控制方法都是基于事后偏差,系統先根據檢測到的偏差信號產生控制信號然后去控制四旋翼飛行器,導致系統的響應相對于輸入總是滯后一拍。此外,低成本的機載傳感系統具有噪聲和漂移特性,以及由于硬約束的存在使控制設計問題進一步復雜化。

為了開發能夠在實際任務環境中的飛行控制系統,所采用的控制策略應該滿足:1)考慮到系統的約束; 2)產生有效的控制動作。

四旋翼飛行器控制問題的另一個適用的解決方案是模型預測控制(Model Predictive Control,簡稱MPC),主要優勢之一是能夠簡單有效地處理具有控制約束和多個輸入和輸出的復雜系統,只需要根據預測模型進行優化計算后得到控制量[8]。模型預測控制在過去幾十年有顯著的發展,成功應用于工業領域。MPC可以有效地處理執行約束,將輸入約束作為控制綜合的一部分,能夠比較容易地在有約束條件下得到比較好的控制性能[9],克服各種不確定因素的影響,具有良好的控制效果和魯棒性。

由于四旋翼飛行器是一個非線性、受約束、多變量的系統,MPC被廣泛地用于飛行控制策略,將四旋翼系統模型線性化后作為MPC策略的預測模型。然而,線性化的四旋翼模型不能再代表整個四旋翼飛行器的動力學特性,這會導致性能損失或限制控制器的動作。在需要考慮非線性動力學來提高性能的情況下,可采用非線性模型預測控制(NMPC)。

NMPC是直接處理非線性系統的最優控制方法。在每個采樣時刻求解有限域最優控制問題,然后實現第一個最優控制輸入。由于NMPC可以直接處理非線性動力學和約束,因此得到了廣泛的應用和關注。NMPC的主要缺點是實時解決底層有限域最優控制問題的計算負擔,在指定的采樣間隔內,尤其對于具有快速動態、大維度和復雜約束的問題,其得到的在線優化問題常常是非凸的,計算量隨著決策變量的數目成指數增長。2002年Bemporad等做了開創性工作[10],將多參數規劃理論引入到線性時不變對象的約束二次優化控制問題的求解中,得到了優化控制問題最優控制律與優化問題所含的參數之間的顯式函數關系。

本文首先根據空氣動力學方程,采用歐拉角表示俯仰角(Pitch),滾轉角(Roll)和偏航角(Yaw),將四旋翼飛行器視為剛體對其建模,然后考慮姿態控制的目標俯仰角和滾轉角建立滾動優化的優化目標函數和線性約束條件,利用多參數二次規劃求解方法分區求解來代替重復的滾動優化,離線計算每個狀態分區上的狀態反饋最優顯式控制律,在線計算時只需要檢測出當前狀態值所在區域,然后利用所在域的表達式計算出相應的控制量,從而使在線優化問題簡化成一個簡單的讀取映射和函數計算問題,大量縮短系統在線計算時間,最后根據當前時刻系統狀態參數所在的分區,按照顯式解直接得到對應的當前參數的最優控制量實現控制,最后進行數值仿真計算,驗證算法的有效性。

本文的結構組織如下:引言介紹四旋翼飛行器飛行控制系統的控制算法,分析了傳統PID控制算法在應用中存在的問題,然后引入了顯式預測控制算法來設計四旋翼飛行器姿態控制器。第1節介紹了四旋翼飛行器運動學模型及動力學模型,解耦得到四旋翼姿態模型。第2節提出了顯式預測控制控制器設計,包括系統模型的線性化和目標函數的建立。第3節,仿真驗證提出方法的有效性。

1 四旋翼系統模型

四旋翼飛行器的運動由螺旋槳產生的升力控制,而平移和旋轉運動通過反旋轉槳葉的差異來實現。具體情況是,前后運動由前后轉子的速度產生的升力差實現,左右運動由兩個橫向轉子產生的升力差實現,而偏航運動由前右和后左兩對轉子之間的反力矩差產生。最后,垂直向上的運動由轉子總推力產生。

建立四旋翼飛行器模型的目的在于分析四旋翼飛行器在受到外力、外力矩的情況下,其位置和姿態的變化情況。

其中,動力學模型的輸入為螺旋槳提供的拉力和力矩,輸出為四旋翼的速度和角速度;運動學模型的輸入為動力學模型的輸出,即四旋翼的速度和角速度,輸出為四旋翼的位置和姿態。

其關系如圖1所示:

圖1 運動學及動力學模型關系圖

四旋翼飛行器系統是一個欠驅動、強耦合控制系統,因而對其建模要考慮的因素很復雜。為了在符合基本運動特征的基礎上,盡可能減少不確定性擾動的影響,方便建立四旋翼飛行器的精確模型,且考慮到對模型的分析及后續對控制器的設計,四旋翼飛行器在設計上已經保證了其結構方面的基本對稱性,在飛行速度和外界風速都比較低的情況下,假設飛行器可看作剛體。根據牛頓第二定律,在地面坐標系下,通過對飛行器合外力與合外力矩的分析,可得出飛行器六自由度運動方程。

根據牛頓第二定律可以得出:

(1)

(2)

其中,四旋翼飛行器所受的總合外力F是矢量,m表示四旋翼飛行器的質量,V是速度矢量,M表示四旋翼飛行器所受的總力矩,H為四旋翼飛行器的角動量。

飛行器飛行過程中,主要受到機身重力、飛行器4個電機提供的推力、空氣阻力及外部擾動的作用。

機身重力:

Fg=[0 0mg]T

(3)

其中,4個電機提供升力在機體坐標系下可表示為:

(4)

故根據坐標系轉換矩陣可得飛行器4個電機提供的推力FT:

(5)

其中,RT為旋轉矩陣,ψ為俯仰角Pitch,θ為滾轉角Roll,φ為偏航角Yaw。

四旋翼所受空氣阻力:

(6)

外部擾動:

(7)

所以,地面坐標系下飛行器所受合力為:

F=Fg+FT+Fw+Fn

(8)

又已經假設飛行過程中質量不變,故可求得飛行器三軸運動方程:

(9)

為計算飛行器繞三軸的角運動情況,我們需要對其所受力矩進行分析,已知歐拉角p,q和r與機體角速度之間的旋轉矩陣,即:

(10)

可解得:

(11)

飛行器所受力矩主要包括電機帶動旋翼提供的氣動力矩和旋翼陀螺效應產生的力矩。設4個電機轉速為[Ω1Ω2Ω3Ω4],旋翼轉動慣量為J,根據陀螺效應公式,可以推出4個旋翼產生的陀螺效應力矩如下:

(12)

飛行器所受氣動力矩可表示為:

(13)

其中,L為機臂長度,d為旋翼的反扭力系數。

結合式(5)和(6)可以得到機體各軸轉動慣量:

(14)

設四軸飛行器轉動慣量矩陣為:

(15)

其中,Ix,Iy,Iz分別為繞機體坐標系的三軸轉動慣量。由剛體轉動慣量計算公式可得:

(16)

由此可推出機體坐標系下飛行器繞各軸的角加速度為:

(17)

結合式(11)和(17),得到四旋翼飛行器的姿態運動方程:

(18)

考慮到四旋翼飛行器的性質,將飛行器的歐拉角變化范圍限制如式(19)所示:

(19)

綜上所述,可以得到四旋翼飛行器簡化后的數學模型,即四旋翼飛行器的運動學方程,也是之后控制器的設計依據。

2 控制器設計

2.1 EMPC簡介

EMPC是一種用于處理多輸入多輸出(MIMO)系統的多目標問題的優化控制方法。圖2是EMPC姿態控制器結構圖。首先,確定輸入、輸出變量和控制變量。然后,在每個采樣時間建立狀態空間系統模型。如果模型是非線性的,則需要線性化作為預測模型。其次,線性化狀態空間模型用于通過預測控制范圍內的未來輸出來解決表示為目標函數的二次優化問題,將多參數二次規劃引入到帶約束二次優化控制問題的求解中,然后對系統的狀態區域進行凸劃分,離線計算得出對應每個狀態分區上的狀態反饋最佳顯式控制規律,建立顯式模型預測控制系統。最后,序列中的第一個控制規則被發送到系統。滾動優化將在每個采樣時間重復和更新,在線計算只需查找當前狀態所在分區就可獲得相應控制律。由于顯式模型預測控制系統不需要反復在線優化,所以提高了在線計算速度,使系統獲得更好的實時性。

圖2 四旋翼飛行器姿態控制器控制框圖

2.2 預測模型線性化

為了便于控制器的設計,下面對所得模型進行分析。分析方程(11)和(17),可以看出,假設r為常數,方程(17)是常系數線性方程,但是存在嚴重的耦合。方程(11)是超越方程,給四旋翼控制器設計造成較大的挑戰。因此在控制器設計中不僅要考慮旋轉動力學的解耦,還需要考慮旋轉動力學的非線性問題。從式(11)可以看出,姿態角的變化是引起四旋翼飛行器旋轉動力學非線性的原因。

但是當四旋翼飛行器做懸停或者低速運動時,由于俯仰角、滾轉角較小時,cosθ≈1,cosψ≈1,sinθ≈θ,sinψ≈ψ,忽略二階小量,不考慮航向通道,則方程(11)和(17)可以簡化為:

(20)

(21)

其中,a11=J(Ω1-Ω2+Ω3-Ω4)/Ix,a12=1/Ix,b21=J(Ω1-Ω2+Ω3-Ω4)/Iy,b22=1/Iy。以上參數均可以由四旋翼飛行器的參數測量和公式計算直接得到。

將式(20)和(21)組合,可以得到如下的狀態空間形式:

(22)

(23)

2.3 滾動優化

對于姿態控制器,考慮如下最優控制問題:

(24)

約束條件:

(25)

其中,u(t)=[MxMy]T表示輸入量,Δu(t)=u(t)-u(t-1)表示輸入增量,NP是預測時域,S表示誤差加權矩陣,T表示控制加權矩陣。

模型預測控制的優化問題是一個二次最優控制問題,由于這個優化問題和當前狀態量,輸入量,控制加權,誤差加權都有關系,所以這是一個多參數二次規劃問題(multi-parametric quadratic program)。如果把系統的狀態量看成是優化問題的參數向量,設計得到當前狀態量在可能區域變化時輸入量和狀態量的顯式函數關系,就可以避免優化時反復在線計算。因此,對于此優化問題可以通過Bemporad等在文獻[10]中提出的多參數規劃得到它在每個區域的顯式解。

EMPC的核心是確定每個時刻的狀態在狀態分區中的位置,步驟如下:

步驟1 確定當前狀態在狀態分區中的位置。

步驟2 通過狀態分區尋找到對應的顯式控制律表達式并計算出當前時刻的控制量。

步驟3 等待下一次采樣時刻,并返回步驟1。

3 仿真校驗

前面采用EMPC設計了四旋翼無人機的姿態控制器,為了驗證所提出控制器的性能,本文通過Matlab/Simulink進行仿真研究,第一組實驗驗證所設計的姿態控制器的控制性能,第二組實驗使用反演PID控制器進行比較。

在姿態控制試驗中,EMPC控制器的控制參數可以由四翼飛行器參數求得。四旋翼飛行器參數如表1。

表1 四旋翼飛行器參數表

將四旋翼飛行器參數代入式(21)中得a11=-0.69,a12=86.08,b21=0.69,b22=86.08。約束-10m/s2≤u(t)≤10m/s2,-103≤y1(t)≤103,-103≤y2(t)≤103,-103≤y3(t)≤103,-103≤y4(t)≤103,-103≤r(t)≤103。對于姿態控制器來說,由于控制目標是俯仰角和橫滾角,對俯仰角速度和橫滾角速度不做控制,所以誤差權矩陣S=diag(10,10,0,0),控制權矩陣T=diag(0.5,0.5),預測時域Np=10,控制時域Nc=2。根據多參數二次規劃算法,可得此優化問題的分區,一個有544個分區,進行簡化合并以后最終有526個分區。x5和r1,r2的二維分區情況如下:

圖3 二維分區情況

在matlab的Simulink中進行仿真,并和反演PID控制器進行對比。反演PID控制參數如下:

A1=diag(4,4),A2=diag(4,4),

A3=diag(8,8),A4=diag(4,5),

A5=diag(6,4),A6=diag(2,4),

A7=diag(1,1,1,1)

用EMPC控制器和反演PID控制器對四旋翼飛行器姿態角的階躍響應控制如圖4～7所示。

圖4 EMPC控制器俯仰角響應曲線

圖5 EMPC控制器滾轉角響應曲線

圖6 PID控制器俯仰角響應曲線

圖7 PID控制器滾轉角響應曲線

圖4和5為EMPC控制器仿真效果,圖6和7為PID控制的仿真效果。可以看出,EMPC控制具有較小的超調量和較短的調整時間。相比EMPC控制,PID控制具有較大的超調量和較長的調整時間。EMPC控制器的效果優于PID控制器,是因為PID控制中控制信號的產生是根據當前產生的控制偏差,由于時延的存在,信號的遲滯使得控制信號不能及時跟蹤真實的系統偏差,導致較大的控制量,引起了輸出信號較大的波動。相比之下,EMPC 控制充分考慮了系統存在的時間延時,能夠直接根據系統模型產生控制輸入,檢測的輸出信號僅用來補償系統預測偏差。因此,EMPC控制具有較小的波動量和較好的控制效果。

4 結論

提出了一種顯式模型預測控制方法,用于設計帶約束的多輸入多輸出四旋翼飛行器控制系統,解決了傳統模型預測控制需要在線優化,計算量大的問題。此算法也適合在嵌入式系統上實現,有一定的實際應用前景。首先建立四旋翼飛行系統的狀態空間模型,并將其解耦,有效減少計算量,提高控制精度。然后,采用多參數二次規劃法,離線計算了四旋翼飛行系統的顯式最優控制律,在線查找當前狀態對應的控制量。最后和傳統PID控制算法進行仿真對比。結果表明,提出的方法控制性能更好。四旋翼飛行器的姿態角響應時間非常小,在四旋翼飛行系統姿態控制中的具有可行性和有效性。