三角代數上Lie 積為平方零元的非線性三階可導映射

劉紅玉，張耀文,2，霍東華

（1. 牡丹江師范學院 數學科學學院，黑龍江 牡丹江 157011；2. 哈爾濱工程大學數學科學學院，黑龍江 哈爾濱 150001）

三角代數上各種映射的刻畫一直是代數學中一個廣泛研究的問題，其中包括交換映射和可導映射等.2001 年CHEUNG W S[1]研究了三角代數上的交換映射，2003 年他又研究了三角代數上的Lie 導子.[2]2005 年BENKOVIC D[3]討論了三角代數上的Jordan 導子和反導子，一些學者在這些文章基礎之上又得到了許多優秀的結果[4-12]. 這些映射的刻畫不僅在數學領域，在物理學、工程技術等許多領域也起著至關重要的作用.

2006 年ZHANG J H 和 FENG S[13]等人在雙可加或雙線性假設下刻畫了套代數上的廣義雙導子.2009 年ZHAO Y X, WANG D Y[14]等人刻畫了上三角矩陣代數上的雙導子.BENKOVIC D[15]在一定條件限制下對三角代數上的雙導子進行了刻畫.2021 年費秀海[16]等證明了三角代數上 Lie 積為平方零元的非線性雙可導映射是雙導子. 依據這些，本文推廣了雙可導映射和雙導子到三階可導映射和三導子，并證明了三角代數上 Lie 積為平方零元的非線性三階可導映射是三導子.

1 主要結果及證明

設A是交換幺環R上的一個代數，A的中心記為Z(A)，設是一個可加映射，記為A上所有平方零元的集合. 若是一個導子，指對任意的有；若是一個內導子指存在，使得對任意的,其中. 設是一個雙可加映射，且在每個變量上都滿足導子的定義，則稱是一個雙導子. 進一步，若沒有雙可加假設且對任意的，當時，分別滿足：

設A和B是兩個含有單位元的交換環R上的代數，M是含有單位元的忠實(A,B)- 雙邊模，則R- 代數

在矩陣通常的加法與乘法運算下構成一個代數，稱之為三角代數.

設U的中心為Z(U)，設πA：U→A和πB：U→B為兩個自然投影，定義如下：

設A和B中的單位元分別為IA和IB，M是含有單位元的忠實(A,B)- 雙邊模，I是三角代數U中的單位元. 令

則由于e1Ue1，e1Ue2和e2Ue2是U的子代數且分別同構于A，M和B，從而三角代數在同構意義下可以寫成：

進而對任意的x∈U，可以將x分解成x=a+m+b，其中a∈A，m∈M，b∈B.

首先對雙導子和Lie 積為平方零元的非線性雙可導映射進行推廣，得到定義：

定義1設A是交換幺環R上的一個代數，Φ:A×A×A→A是A上的一個三可加映射且Φ 在每一個變量上都是導子，則稱Φ 是一個三導子.

定義2設A是交換幺環R上的一個代數，Φ 是一個三元非線性映射且滿足對任意的x,y,z,w∈A,只要[x,w],[y,w],[z,w]∈Ω, 就有

成立，則稱是一個Lie 積為平方零元的非線性三階可導映射.

引理1設U是一個三角代數，Φ:U×U×U→U是U上的Lie 積為平方零元的非線性的三階可導映射，則

證明(i) 對, 由于，從而在(3) 中令故可得, 從而，同理，.

則

從而有

故

故

故

(4)-(6) 式有

同理

通過運算得到

又由于

因此,

所以有

引理2設U是一個三角代數，Φ：U×U×U→U是一個Lie 積為平方零元的非線性三階可導映射，則對任意的u,v∈U有

證明( 類似引理1, 略)

引理3設U是一個三角代數，Φ：U×U×U→U是U上的Lie 積為平方零元的非線性三階可導映射，則

證明( 類似引理1, 略)

這樣可以得出下面定理:

定理設U是一個三角代數，Φ：U×U×U→U是U上的Lie 積為平方零元的非線性三階可導映射，則Φ 是U上的一個三導子.

證明對，設，由引理3 有

類似地，可以證明

從而Φ 是U上的一個三階可加映射，所以Φ 是三角代數U上的一個三導子.

2 結論

本文主要對文獻[16] 三角代數上 Lie 積為平方零元的非線性雙可導映射進行推廣，給出了三導子和Lie 積為平方零元的非線性三階可導映射的定義，研究了Lie 積為平方零元的非線性三階可導映射的三個性質，證明了三角代數上Lie 積為平方零元的非線性三階可導映射也是一個三導子.