最終S-Nekrasov矩陣逆矩陣無窮范數(shù)的上界

蔣建新

（文山學(xué)院 人工智能學(xué)院, 云南 文山 663099）

數(shù)值分析中矩陣A的逆矩陣A-1的被用于計算條件數(shù)，對的計算或估計，是近些年矩陣?yán)碚撗芯康臒狳c之一。

對于H矩陣子類中大部分熱點矩陣逆矩陣的無窮范數(shù)，已有許多學(xué)者得到了一些較好的結(jié)果[1-5]。但是對于最終S-Nekrasov矩陣的研究，還沒有文獻(xiàn)研究。

本文利用S-Nekrasov矩陣逆矩陣無窮范數(shù)最新的估計式，結(jié)合最終S-Nekrasov矩陣的定義式的結(jié)構(gòu)特點，研究該類矩陣無窮范數(shù)的上界估計問題。

1 預(yù)備知識

定義1[6]設(shè)矩陣A=(aij)∈Cn×n，對?i∈N，有|，i= (2, 3, …,n)，則稱A是Nekrasov 矩陣。

定義2[6]設(shè)A=(aij)∈Cn×n，若

S ? N，S ≠ ?，ri(A) =

引理1[7]設(shè)A=(aij)∈Cn×n是S-Nekrasov 矩陣，則時，有≤max

其中，

引理2[7]設(shè)A=(aij)∈Cn×n是S-Nekrasov矩陣，則當(dāng)有

其中，

引理3[8]設(shè)A=(aij)∈Cn×n是S-Nekrasov矩陣，則當(dāng)有有

其中，

引理4[8]設(shè)A=(aij)∈Cn×n是S-Nekrasov矩陣，則時，有

其中，

2 主要結(jié)果

本部分，首先給出最終S-Nekrasov矩陣的定義，并證明該類矩陣是非奇異矩陣。其次，利用引理1、引理2、引理3 以及引理4 中的S-Nekrasov矩陣的逆矩陣無窮范數(shù)的估計式，給出S-Nekrasov?矩陣逆矩陣無窮范數(shù)的估計式。

定義3 設(shè)A=sI-F，i∈C，若存在某個k∈N +使得skI-Fk∈S-Nekrasov矩陣,則稱A為最終S-Nekrasov矩陣，記為A∈S-Nekrasov?。

定理1若A=sI-F∈S-Nekrasov?，則A為非奇異矩陣。

證明：因為A=sI-F∈S-Nekrasov?和定義1 知，存在某個k∈N +使得skI-Fk∈S-Nekrasov矩陣，又因為S-Nekrasov矩陣是非奇異矩陣，即sk不是Fk的特征值,因此s不是F的特征值. 故A沒有0 特征值，即A非奇異。

定理2 如果存在正整數(shù)k使得A=sI-F∈S-Nekrasov?，若

則

證明：因為A=sI-F∈S-Nekrasov?，所以存在正整數(shù)k使得skI-Fk∈S-Nekrasov，則skI-Fk非奇異。

因為skI-Fk= (sI-F)(sk-1I+sk-2F+ … +sFk-2+Fk-1)，則

(sI-F)-1= (skI-Fk)-1(sk-1I+sk-2F+ … +sFk-2+Fk-1 )

定理證畢。

接下來，在定理2 的基礎(chǔ)上，應(yīng)用引理2 證明定理3。

定理3 如果存在正整數(shù)k使得A=sI-F∈S-Nekrasov?，若

則

證明：由定理2 得

則

證畢。

同理可證定理4 和定理5 成立。

定理4 如果存在正整數(shù)k使得A=sI-F∈S-Nekrasov?，若

則

定理5 如果存在正整數(shù)k使得A=sI-F∈S-Nekrasov?，若

則

本文通過構(gòu)造的方法，得到了S-Nekrasov?矩陣逆矩陣線性互補的誤差界，這個研究彌補了S-Nekrasov?矩陣該方面的空白，也是對H 矩陣子類研究的進(jìn)一步拓展。