“描”出數形結合思想

黃力

【摘 要】“擺三角形的規律”是北師大版數學五年級上冊“數學好玩”單元中“圖形中的規律”一課的一個探索活動，旨在通過擺小棒的探索活動，讓學生經歷探索規律的全過程。五年級學生正處于從具體思維向抽象思維過渡的階段，如何順利把握知識的要點，提升思維層次顯得尤為關鍵。本文通過教學實踐闡釋如何在教學中引導學生“描”出數形結合思想。

【關鍵詞】數形結合 模型思想 探索規律

筆者通過對99個學生進行前測，發現大部分學生學習本課的知識儲備較為豐富，基本可以不借助小棒畫出圖形并能夠遞推出算式。但小部分學生不能結合圖形解釋自己所得算式，同時對于已知小棒數量“逆推”求三角形數量這類問題，更是難以下手。因此，在設計本課時，筆者按照“提出問題—研究特例—探尋規律—解決問題”的思路進行設計，重點發掘學生在探索活動中的生成資源，利用“描”的方法，引導學生將圖與算式中的數字一一對應，闡明自己的想法。同時，筆者通過引導學生總結擺出三角形的個數和小棒根數之間的關系表達式，幫助學生解決“逆推”問題這一難點。那么，如何“描”出數形結合思想，實現以上目標，讓學生在課堂中實現深度學習呢？基于以上思考，筆者對“擺三角形的規律”一課進行了教學嘗試與實踐。

一、搶答游戲，激發學習欲望

【教學片段】

師：我們來做一道搶答題，誰知道答案可以馬上舉手！

搶答題1： ……照這樣擺100個三角形，要幾根小棒？

（大部分學生舉手）

師：一起說！

生：300根小棒。

師：真聰明。（點名一個學生）你怎么算的？

生1：3×100=300。

師：（板書算式）誰來說說算式里的這三個數字表示什么？

生2：3代表擺一個三角形需要3根小棒，100代表擺100個這樣的三角形，300就是像這樣擺100個三角形需要300根小棒。

師：同意嗎？

生：同意！

（板書：100 下面寫“個數”，300下面寫“根數”）

搶答題2：…… 照這樣，擺100個連續的三角形要幾根小棒？

（小部分同學激動地舉手，教師點名幾個學生表述想法）

生1：299根。

生2：201根，1+2×100=201根。

……

師：這幾位同學說得對不對呢？這節課我們一起來探究擺三角形的規律。（先不對學生的回答展開處理，通過設疑的方式引出課題）

【教學思考】

作為“數學好玩”單元中的一課，教師要重視“好玩”二字。因此，在課堂導入環節，筆者通過搶答的方式，激發學生的學習興趣，活躍課堂氣氛。在搶答題1的討論環節，筆者通過詢問算式中數字的意思，讓學生初步感知 “擺三角形的規律”旨在研究三角形個數與所需小棒根數之間的關系。而搶答題2的出現，不僅激發了學生探索規律的欲望，而且通過依次呈現這兩種擺三角形的方式，為“擺了n個三角形，就重疊了（n-1）根”這種觀察角度做好了鋪墊。

二、動手操作，滲透數學思想

【教學片段】

師：為什么舉手的速度比剛才慢？

生：問題難了，需要想想。

師：有一位著名的數學家說過，遇到難題時，我們要學會“退”。（板書：退）你知道這是什么意思嗎？

生1：把三角形的個數改小一點，比如5個，看看有沒有什么規律。

師：這想法真棒！還有嗎？

生2：用小棒擺一下，數一數。

師：噢，你覺得可以動手擺一擺！

師（小結）：大家的想法很具體，對于研究這個問題也很有幫助，我們可以動手擺一擺、畫一畫、數一數，把三角形的個數改小，看能不能發現其中的規律。

師：課前，老師給每位同學準備了學習單，看看我們要做些什么。

（研究擺10個三角形）

畫：畫出擺成的圖形。

數：數出所需小棒根數。

列：列出相應的算式。

寫：結合圖形和算式寫出你的發現。

師：還有一點，如果你需要借助小棒擺一擺，可以從抽屜里拿出小棒；如果你不用擺就能畫出圖形，就可以不用，聽明白了嗎？

生：明白了！

【教學思考】

老子說：“天下難事，必作于易。”當學生解決難度較大的問題時，教師要引導、培養其“退”的數學思想，也就是華羅庚指出的：善于退，足夠地退，退到最原始而不失重要性的地方，退到我們容易看清問題的地方。擺100個三角形，有難度，但是可以從擺 1 個、2 個、3 個三角形想起，這是學生思維的起點，也是規律的源頭，這個過程須“縱橫有序”，讓學生真正經歷獲取知識的過程并掌握方法。而在課前的測試調查中，大部分學生可以不借助小棒畫出圖形、列出算式。因此，在操作活動中，筆者給學生提供小棒，但不要求學生一定擺出來，而是根據自己的情況選擇用或者不用。

三、分享交流，“描”出數形結合思想

【教學片段】

（在同桌互相交流自己的探索發現后，師生圍繞三種不同的觀察角度進行分析交流）

方法1：（1+2×10）

師：請你從上到下（縱），一行一行（橫）地說，最后總結一下你發現的規律。（學生根據自己的學習單，詳細展示了他所畫的圖形、列出的算式以及發現的規律）

師：你說得非常清晰，我們掌聲鼓勵她！

師：老師這里有一支紅筆、一支綠筆，請大家思考一下怎樣將剛才這位同學的想法，“描”在這個圖形上？（見圖1）

生：紅色代表算式里的“1”，這里有一個“2”、兩個“2”，有幾個三角形就有幾個“2”，所以10個就是“1+2×10=21（根）”。

師：紅色代表“1”，這個“1”我可以描在其他位置嗎？

生：可以，因為這根是多出來的，只要涂紅一根就可以。

方法1：（1+2×10） 數量關系式

師：你能將算式和圖形結合在一起理解，很了不起！

師：同學們互相討論一下，能不能概括出“個數”和“根數”之間的關系？

（組織學生討論）

生：我的想法是這樣的，1是第一個三角形少的那一根，2是指后面擺的每個三角形要2根小棒。所以，1+個數×2=總根數。

師：大家明白他的意思嗎？你真了不起，我們一起來看看是不是像他說的那樣！（引導學生用代入法驗證數量關系式）

方法2：（3×10-9）

師：我們再來看看這位同學的探究過程。誰和他的一樣？

師：我們請他來給我們講解一下！

生：單獨來看，擺1個三角形需要3根，2個需要6根，重疊了一根。

師：重疊？什么意思？你能畫圖給我們講解一下嗎？

師：你們明白“重疊”是什么意思了嗎？那為什么要減9？

生：因為擺10個三角形重疊了9根，所以減9。

師：真的是這樣嗎？你可以描一下嗎？

生：像這樣擺一個三角形需要3根，擺第2個三角形也需要3根，那么這一根被描了兩次，所以要減1。（見圖2）

師：哦，我明白了。2個三角形重疊了1根，3個三角形重疊了2根…… 所以10個三角形就重疊了9根。

師：你觀察規律的角度真特別！

方法2：（3×10-9） 數量關系式

師：大家想想能不能概括出“個數”和“根數”之間的關系。

生：個數×3-（個數-1）=總根數。

方法3：（3+2×9）

師：老師和你們的想法不一樣，我的算式是“3+2×9”，誰知道老師是怎么想的？

生：第一個三角形需要3根小棒，后面每增加一個三角形，只需2根小棒。（見圖3）

師：大家明白他的意思嗎？你真了不起，我們一起來結合表格看看是不是像他說的那樣！

師：當三角形個數是1時，有幾根小棒？（3根）當三角形個數是2時，有幾根小棒？（5根）當三角形個數是3時，有幾根小棒？（7根）

師：是不是像他說的那樣，第一個三角形需要3根小棒，后面每增加一個三角形，只需要2根小棒。好，我們掌聲謝謝這位同學。

方法3：（3+2×9） 數量關系式

師：想想能不能概括出“個數”和“根數”之間的關系。

生：3+2×（個數-1）=總根數。

【教學思考】

數形結合既是常用的數學思想方法，也是數學教學中幫助學生理解的主要手段。本課采用“描”圖形的方式，現場動態演示，將幾何直觀與算式相結合，形象、生動地將學生的想法呈現出來，做到思維可視化。同時，筆者通過對三種不同方法的深入追問，引導學生把握每種角度的理解難點，如方法1——（1+2×10），關鍵是讓學生理解“1”表示什么；而方法2——（3×10-9） ，重點則是讓學生通過實物演示，理解重疊的含義以及重疊與“減1”的關系；方法3——（3+2×9），雖然是筆者提出來的，但解釋權交給學生，而且要重點追問“9”是什么意思，將“9”和“個數-1”建立聯系。

四、逆向應用，突出數量關系

【教學片段】

師：想不到擺三角形還能擺出這么多學問！接下來，請大家獨立思考，解決這個問題（見圖4），或許你對這三個數量關系式會有更深的理解。

想一想

像這樣連續擺三角形 ……37根小棒可以擺出多少個三角形？（列出算式）

（動手吧）

（1）展示算式：（37-1）÷2=18（個）

關鍵提問：為什么要減1？請結合圖說一說。

（2）展示算式：（37-3）÷2+1=18（個）

關鍵提問：為什么要減3？最后為什么要加1？

（鼓勵其他學生對分享者提問）

【教學思考】

“擺三角形的規律”這一探索活動，主要是引導學生學習解決問題的方法（由特殊到一般的方法）和一種解決問題的策略（即“退”的策略）。從表面上看，本教學片段是要學生驗證自己發現的規律的正確性，應用所發現的規律去解決問題，從而深化對規律的認識；實際上，這是一種逆向思維的訓練。因此，教師要利用好之前的探究成果，結合圖形以及數量關系式，通過學生質疑、提問的方式，幫助學生深入理解此類問題。

本節課的目的就是讓學生經歷“具體形象表示（擺、畫小棒）—用數學語言描述（‘描圖形、說算式）—用數學模型表示（數量關系式）—用模型加以應用（逆推問題）”這一過程，激發學生的探索欲望，給學生自主探究、動手實踐的空間，利用學習單、“描”圖形等方式，引導學生主動對自己的學習過程、學習材料以及探索發現等進行歸納、提升。