數形結合助推理，分類討論得高分

文／吳思佳

在一些問題的設計中，由于圖形的形狀（點、邊）不確定，得到的結論可能不相同，這時，我們就要進行分類討論。比如等腰三角形中底與腰的不確定，全等三角形、相似三角形的對應點不確定等。

（1）求反比例函數與一次函數的表達式；

（2）若點P為x軸上一點，△ABP是等腰三角形，求點P的坐標。

（2）由（1）知，AB=5。根據題意可分三種情況討論：

圖1

①當AB=PB時，如圖1，以點B為圓心、AB長為半徑的圓與x軸的交點為點P1、P2。

∵△ABP是等腰三角形，∴PB=5。

∴P1（0，0）或P2（10，0）。

②當AB=AP時，如圖2，以點A為圓心、AB長為半徑的圓與x軸的交點為點P3。過點A作AD垂直x軸，由（1）知，BD=4，易知點P3與點B關于AD對稱，∴DP3=BD=4。

∴OP3=5+4+4=13。∴P3（13，0）。

圖2

【評析】由于條件“△ABP為等腰三角形”指代不明，導致點P的位置不確定，故要分AB=PB、AB=AP、PB=AP三種情況進行探究。由等腰三角形的性質與圓的對稱性解出P1、P2和P3各得1 分，再利用勾股定理建立方程解出P4得2分。

例2 在平面直角坐標系中，已知拋物線L：y=ax2+（c-a）x+c經過點A（-3，0）和點B（0，-6），L關于原點O對稱的拋物線為L′。

（1）求拋物線L的表達式；

（2）點P在拋物線L′上，且位于第一象限，過點P作PD⊥y軸，垂足為D。若△POD與△AOB相似，求符合條件的點P的坐標。

【解析】（1）由題意，得

∴拋物線L：y=-x2-5x-6。

（2）∵點A（-3，0）、B（0，-6）在L′上的對應點分別為A′（3，0）、B′（0，6），∴設拋物線L′的表達式為y=x2+bx+6。將A′（3，0）代入y=x2+bx+6，得b=-5，∴拋物線L′的表達式為y=x2-5x+6。

∵A（-3，0），B（0，-6），∴AO=3，OB=6。

設P（m，m2-5m+6）（m＞0）。

∵PD⊥y軸，∴D（0，m2-5m+6）。

∴PD=m，OD=m2-5m+6。

∵Rt△POD與Rt△AOB相似，

∴有Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB兩種情況。

圖4

圖5

【評析】第（1）小題，利用待定系數法解出拋物線L的表達式得2 分。第（2）小題，由中心對稱特征求出L′的表達式得2 分，在△POD中，點O是定點，點P為拋物線上的主動點，點D為從動點，由圖像確定相等的一組角，得出分Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB兩種情況討論得2 分，再利用相似三角形的性質分別求解點P，每個點各得1分。