系統思考、多向整合，促進深度學習

胡海光

［摘 要］如何讓學生真正學會用方程來解決問題，是簡易方程單元教學的一大挑戰。文章基于統整視角，在分析方程教學存在的問題后，從提前孕伏代數思想、把準單元教學主線、統整經驗層面提出“實際問題與方程”的有效教學路徑，以促進學生對方程的深度學習。

［關鍵詞］統整視角；方程教學；深度學習

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）08-0051-04

一、問題的引出——代數思維VS方程思想

對于題目“五（1）班女生有30人，比男生人數的3倍少6人，男生有多少人？請列方程解答”，學生做錯的極少，令人驚訝的是，有幾個學生列出的方程是（30+6）÷x=3。筆者十分好奇，對其中一個學生進行了訪談。

筆者：能說說你列這個方程時的想法嗎？

學生：女生有30人，比男生人數的3倍少6人，說明男生人數的3倍就恰好比女生的人數多6，所以30與6的和除以男生人數等于3。

筆者：你是根據“女生人數比男生人數的3倍少6人”來思考的。那根據這句話，你還能找到哪個等量關系？

學生（遲疑）：男生人數×3-6=女生人數。

筆者：根據這個等量關系能列方程嗎？

學生：x×3-6=30。

可見，學生列不出教師所期望的方程，并非是列不出等量關系，而是習慣了算術思維，習慣了從問題出發來列算式，到最后一步再根據要求將其調整為方程的形式。這無疑與教學目標背道而馳。為什么學生學了這么多課時的方程知識后，方程思想還如此薄弱？教學究竟存在怎樣的問題？又該如何改進？

二、原因分析——方程教學系統性思考的缺失

1.重視算術思維的訓練，忽視方程思想的滲透

用方程解題與用算術方法解題，在思維方式上是不同的。算術的解題方式是通過一系列連續的運算，逐步展開面向結果的活動；方程的解題方式是發現各種量之間的關系，并把一個關系變成另一個等價關系的活動。從一年級到四年級，教師都是不斷地強化算術思維，不斷地訓練學生搜尋信息解決問題的能力，使學生看到信息就將其與問題掛鉤，看到等號就想求等號左邊式子的運算結果。雖然教材早就編排了滲透方程思想的習題，如 “7+□=8、5+8=□+7”，但很多教師往往不夠重視，對學生的方程思想的培養流于形式，久而久之，學生對方程思想感到極為陌生。因此，通過一個單元的教學以期改變并使得學生形成方程思想就是一個很大的挑戰。

2.簡易方程單元教學缺乏整體思考，零敲碎打，流于形式，疏于本質

在教學簡易方程單元時，如果缺乏整體思考，就課論課，就會導致學生對概念本質的理解不深刻、單元核心內容不能深化。如“方程的意義”這一課，很多教師認為就是讓學生知道“方程是含有未知數的等式”，因此在教學時都是給出一堆等式、不等式、有未知數或沒有未知數的式子，讓學生在分類辨別中認識方程。從形式到形式，教師教的也是形式化的方程，至于形式背后的深層含義——“方程應該是等號兩邊講兩個故事，兩個故事的量相等，即含有未知的表示量相等的等式，其要點在于等量關系”（史寧中教授語），則往往不被教師察覺。這種忽視，使“方程的意義”的教學無法讓學生充分體驗量的相等關系與方程之間的本質聯系，不能為后續“實際問題與方程”的教學做好充分的鋪墊。

缺乏整體思考、整體設計的方程教學，只能就事論事，導致教學目標定位不準、教學合力不足。

三、教學對策——基于統整視角系統設計方程教學

1.縱向聯系，理順滲透目標

一種思想的形成并不是通過一個單元幾課時的教學就能做到的，方程思想的形成亦是如此。人教版教材五年級上冊的簡易方程單元僅僅是方程知識、代數思想的集合，但人教版教材在編排時，早就有意識地在不同年級、不同知識領域滲透方程的相關知識與思想（見表1）。

從內容上看，教材中滲透的方程知識與思想呈螺旋式上升、由易到難之勢。在一年級，教材更多的是用方框代表未知數，二年級下冊則開始用圖形□、○等代表未知數，到四年級下冊就開始用字母代表任意數了。與方程相關的等式的含義、等量關系等也隨著年級的升高逐步滲透。

從量上看，教材編排的方程知識與思想有著由多到少再到多的特點。在一年級上冊中，根據低年級學生以順向思維為主的特征，用方框代表未知數的次數相當多，共有10處，既為滲透方程思想，亦為學生逆向思維的培養奠定了思維基礎。但到二、三年級，學生的逆向思維初步發展后，這種明顯滲透代數思想的習題或內容顯著減少，只有1、2處，到了四年級，數量又明顯增加，尤其是在四年級下冊，多達7、8處，但內容與一、二年級的差異較大，更多的是用字母代表未知數，抽象層次、符號化程度更高了。

順應教材的編排特點，教師在教學時應統整教學目標，利用恰當的內容，尋找合適的時機，選擇合理的方式，采取逐步滲透的方法，及時訓練學生的代數思維與方程思想，為學生的長遠發展奠定良好的基礎。對于一年級上冊第56頁的第11題（見表1），可以讓學生說一說“算式中的7是什么意思？8呢？這個方框里應填什么呢？”學生在教師的引導下能夠得出“方框里的數表示拿走的個數，7個加上拿走的個數一共是8個”，初步感悟方程思想。對于二年級下冊第26頁第2題（見表1），則可以引導學生觀察“□+□+□+□=8、12=○+○+○”后說一說這兩個算式各自在講一個怎樣的故事，讓學生認識到“這里的□、○各代表一個未知數，在同一個算式中□代表同一個數，4個相同的數加起來的和與8相等，同理，3個由○代表的相同的數的和與12相等”，最后通過問題“什么樣的故事也可以用這樣的算式表示？”進一步加深學生對方程思想的認識。對于四年級下冊的加法交換律的教學，則讓學生舉例后思考：能否用一個式子表達你們想要表達的規律？在學生得出“a+b=b+a”時，追問：“這里的a、b表示什么？可以表示哪些數？這樣表示有什么好處？”讓學生感悟用字母可以表示數或用字母式可以表示規律，并感受用字母來表示的簡潔性。這樣有意識的、有層次的滲透，能讓學生種下方程思想的種子，為后續學習方程的知識做足準備。

至于教材中很少安排或沒有明顯安排蘊含代數思想習題的二、三年級，有經驗的教師會根據相關內容有意識地滲透方程思想。如對于三年級上冊長方形與正方形單元的練習“請在格子圖中畫出周長是16厘米的長方形”，教師可通過追問周長16厘米是什么意思，引導學生得出式子“（? ? +? ? ）×2=16”，再讓學生填一填、畫一畫。如在解決“小明有5元和2元面值的人民幣各6張。如果要買一個30元的書包，有幾種恰好付30元的方式？”時，除了用列表法，還可以引導學生用這樣的方式來解決：（ ）×5+（ ）×2=30。學生在有序地解決問題的同時，學會思考解決問題的方法，在無形之中感受到方程思想的價值。

從整體目標出發，充分地利用教材，合理、有意識、按步驟滲透方程知識和思想，學生在學會算術思維的同時，自然受到代數思想的熏陶，這為后續學習方程的知識奠定堅實的基礎。

2.橫向梳理，明晰單元核心主線

一個單元知識點的編排，不僅僅是前后知識點的串聯，更是數學思想的統一與貫穿。人教版教材五年級上冊的簡易方程單元一共分了兩大板塊：用字母表示數和解簡易方程。解簡易方程里又分了方程的意義、等式的性質、解方程、實際問題與方程這四小板塊。從編排上可以看出，用字母表示數是解簡易方程的準備部分，實際問題與方程實質是對方程的意義、等式的性質、解方程這幾塊內容的應用。基于這樣的理解，簡易方程單元本質是圍繞“用方程解決實際問題”來編排知識點的，其核心是培養學生的代數思維與方程思想，使學生學會用建模（構建一個含有未知量的等式）來解決問題。

具體到各板塊，“用字母表示數”是讓學生更清晰地認識到含有字母的式子既可以表示一個數，又可以表示數量間的關系，強化學生用字母表示未知量的意識。如在進行基礎練習后，可讓學生通過完成習題“爸爸比小林大25歲。小林（）歲，爸爸（）歲”進一步明確小林的年齡不確定，可以用字母表示，比如a，因為爸爸比小林大25歲，所以可用“a+25”來表示爸爸的年齡。這樣的教學不是死板地訓練學生用字母表示數，而是在具體的問題情境中培養學生的代數思想。

“方程的意義”的教學應關注方程的本質，更強調方程的意義與現實中量的相等關系的對接，而非對單純抽象的等式的歸納。廣東省特級教師劉燕老師在教學“方程的意義”時，是這樣處理的：

先出示，通過兩個一年級小朋友小芳與小明引出兩種算法“8-2=6、6+2=8”后，讓學生進行解讀。通過質疑小明的方法“6+2=8”——怎樣讓別人知道哪個數是答案？從而自然地得到“（）+2=8”，進而得出方程“x+2=8”。

再出示問題“盤子里原來有一些蘋果，吃掉了7個，還剩3個，盤子里原來有多少個蘋果？”分別用小芳和小明的方法來解決。由此得出“3+7=10、x-7=3”。

依次出示問題“爸爸今年36歲，小紅年齡的3倍剛好和爸爸的年齡一樣，小紅今年多少歲？”“一個數加上31，再減去56等于320，這個數是多少？”“某風景區兒童票價格的2倍多5元，剛好是成人票的價格（145元）再加10元。兒童票的價格是多少元？”利用“小芳會怎么做？”“小明會怎么做？”這兩個問題，引導學生分別得出方程“x×3=36、x+31-56=320、x×2+5=145+10”，與算式“36÷3=12、320+56-31=345、（145+10-5）÷2=75”。最后引導學生觀察這些算式的異同，歸納方程的定義。

基于學生原有的經驗，劉燕老師從一年級的看圖解決問題開始，圍繞實際問題的數量關系，把方程與等量關系巧妙地對接起來，凸顯了方程的本質，滲透了方程思想，為后續教學“實際問題與方程”提供了知識與思想方法的準備。

讓同一個單元的每一節課，都能圍繞單元核心知識而展開，使每一節課都能成為單元核心知識網絡中的一個重要部分，就能形成教學合力，從而促進學生深度學習。

3.統整經驗，探尋有效教學路徑

在小學數學的學習中，新知的學習都是建立在已有的知識基礎與相關的學習經驗上的。因此，統整學生相關的學習經驗，幫助學生尋找對應的學習路徑，能促進學生深度學習，從而提高教學的有效性。“實際問題與方程”這塊內容是簡易方程單元的最后一塊內容，其本質是對前面“用字母表示數”“方程的意義”“等式的性質”“解簡易方程”幾個板塊內容的應用。因此，根據學生的實際情況，整合其已有知識與經驗，并在此基礎上引導其學習，是有效達成“實際問題與方程”教學目標的關鍵。

如對于“實際問題與方程”例1和例2，可以這樣處理：

（1） 喚醒經驗，溝通聯系

出示圖1，要求學生看圖列式或列方程。

預設：100-34=66（千克）， x+2.7=6.9。

設問1：x+2.7=6.9表示什么意思？

設問2：為什么第①題用算式，第②題卻用方程？

追問：第①題也能像第②題那樣列出方程嗎？（把這個未知數看作字母x，可以列出方程）

小結：當數量之間有相等關系且含有未知數時，就可以列方程。

（2）豐富表象，積累經驗

下列信息中，數量之間存在相等關系嗎？能用方程表示嗎？

①爸爸今年45歲，比小紅大30歲。

②小王有72張郵票，是小紅的3倍。

③小林買了1本練習本和3支價格為1.5元的水筆，共用去13.5元。

預設：45-x=30、x+30=45、45-30=x。

設問：這三個關系式都能表示小紅和爸爸的年齡關系，哪個關系式最直白？

要求：請你用最直接、清晰的方程來表示第②、③題數量之間的相等關系。

引導比較：這里的列方程與我們以前看圖列式計算有什么不同？

質疑：學會根據這些信息列出方程有什么用？

（3）運用經驗，解決問題

出示：女生有60人，女生人數比男生的2倍多10人。男生有多少人？先獨立完成，再交流；列方程或用算術方法都可以。

比較算術與方程的思維過程，讓學生感受方程的價值和規范用方程解決問題的基本格式。

（4）鞏固練習，提升經驗（略）

首先，通過兩個線段圖，讓學生回憶起已有的看圖列式計算的經驗；其次，借助這種經驗，讓學生嘗試列出結構相同、未知數需用字母表示的方程，為后續的設未知數解題奠定基礎；再次，出示含有等量關系的信息，讓學生用方程表示，實質是預先排除問題對學生列方程的干擾，進一步調用學生已有的經驗，強化學生根據實際信息列方程的能力，為解決實際問題搭建好腳手架；最后，通過解決實際問題，讓學生在比較用算術方法解題與列方程解題的過程中，感受方程的價值，學會列方程解決問題的方法。這樣的教學，基于學生的已有經驗，讓學生在經驗的整合、改造中自然地獲得知識和發展能力，進而構建良好的知識體系。

列方程解決問題對學生來說并不是全新的課題。在“用字母表示數”中，學生已經多次練習“根據數量關系列代數式”；在“方程的意義”中，學生則多次接觸過“看圖列方程”或“根據信息列方程”。顯然，學生已有充足的根據等量關系列方程的經驗。因此，在“實際問題與方程”的教學中，教師充分關注并整合學生已有的經驗，讓新知與舊知無縫銜接，就是促進學生的學習更有深度、更有效益的有效途徑。

史寧中教授在《基本概念與運算法則》一書中談到方程教學時強調，方程應該“先是進行生活中的提煉，然后到數學表達，再到形式化的過程，最后到解決方程問題”。這句話不僅指出了方程教學的實施路徑，也從側面反映了方程思想的培養不是通過一兩節課就能實現的，它的實現依賴于系統的思考與安排、合理的統整與設計。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 康克.凸顯關鍵問題 促成意義建構：“列一步計算方程解決簡單實際問題”教學設計與說明[J]. 小學數學教育. 2020 （Z2）：82-84.

[2] 吳雷霞.換種思路教“方程”：“實際問題與方程（1）”教學實踐與反思[J].教學月刊小學版（數學），2015（Z2）：54-56.

[3] 張敏.“簡易方程”單元教學思考[J]. 中小學數學（小學版），2019（Z2）：91-94.

（責編 金 鈴）