“正方體截面的探究”單元教學之課時要素設計

胡勇進

[摘 ?要] “課時要素設計”是單元教學整體設計的第二階段，采用“問題鏈+任務單”教學方法，創(chuàng)設情境與問題，設計教學環(huán)節(jié)，促進學生真實學習.

[關鍵詞] 正方體截面的形狀;課時要素設計

前文《“正方體截面的探究”單元教學之單元要素整體設計》已說明本單元教學劃分為2個課時內(nèi)容，第1課時為“正方體截面的形狀”，第2課時為“正方體截面的作法”，它們是自主合作探究發(fā)現(xiàn)問題和作圖論證解決問題的關聯(lián)融合關系. 本文以“正方體截面的探究”單元教學之第1課時“正方體截面的形狀”為例，介紹單元整體教學之“課時要素設計”的主要內(nèi)容.

教學目標

經(jīng)歷觀察與發(fā)現(xiàn)、探究與證明的過程，歸納正方體截面的形狀，增強正方體模型意識;在情境與問題中體驗分類討論、數(shù)形結(jié)合思想;發(fā)展直觀想象、數(shù)學抽象等核心素養(yǎng).

教學策略

教學重點：分類找出所有可能的截面.

教學難點：證明截面的某形狀存在或不存在.

教學資源：自制教具、數(shù)字化平臺、平板電腦.

教學方法：基于單元導引的“問題鏈+任務單”教學方法.

學習評價

見表1.

教學流程

流程圖參見前文《高中數(shù)學“問題鏈+任務單”單元式教學策略探索》.

教學過程設計

1. 課前學習單

準備多個可以切割的正方體模型（比如蘿卜塊、花泥等），有顏色的水和正方體玻璃缸.

2. 情境導入

播放《舌尖上的中國》廚師切食材的切面形狀，導入本節(jié)課的截面概念，播放各小組學生在課前學習單中的探究視頻.

【問題1】什么是截面？多邊形截面的邊是如何形成的？

設計意圖 通過動手操作切蘿卜塊或花泥，或者往正方體玻璃缸注入有顏色的水，觀察不同擺放位置、不同水量時的液體表面的形狀，借助信息技術設備直觀快捷地展示各種可能的截面，體驗生活中幾何體的截面形狀，對截面形狀提出猜想，啟發(fā)學生的思路，激發(fā)學生的學習興趣，抽象出截面概念.

3. 探究交流，成果展示

【問題2】請各小組做實驗，向玻璃缸注入有顏色的水，觀察截面形狀.

【任務1】討論正方體的截面形狀的邊數(shù).

設計意圖 讓學生經(jīng)歷完整的數(shù)學探究過程，包括觀察、想象、猜想、驗證、推理等思維發(fā)生發(fā)展過程，歸納正方體的截面形狀有三角形、四邊形、五邊形、六邊形.

【問題3】如果截面是三角形，可以截出幾類不同的三角形？為什么？

【追問1】觀察水面與正方體的頂點、棱、面之間的位置關系，并畫出三角形截面示意圖.

【追問2】請分享畫出三角形截面的過程.

設計意圖 引導學生有序、有邏輯地從宏觀到微觀進行分類探究，層層遞進，在探究過程中理解空間幾何體的基本要素為形狀、大小和位置關系.引導學生從正方體的頂點、棱、面與三角形截面的圖形特征去研究三角形截面的形狀，并能描述大致示意圖.

【問題4】如果截面是等邊三角形、等腰三角形，棱與截面交點的位置特征有哪些？

【追問3】我們還可以從哪個角度去探究？三角形截面有什么共同特征？

設計意圖 通過對三角形截面的邊角關系進行分類探究，初步了解棱與截面交點的位置特征是一個重要抓手.

【問題5】實驗表明，三角形截面只能是銳角三角形，不能是直角三角形和鈍角三角形，為什么？說明理由.

【任務2】學習小組利用平板設備投屏分享展示.

設計意圖 通過操作觀察和猜想，分類找出所有可能的截面，并證明哪些形狀的截面一定存在或一定不存在，讓學生體會由特殊到一般、分類討論數(shù)學思想.利用余弦定理可以證明截面的形狀為銳角三角形，并歸納銳角三角形為截面的共性結(jié)構(gòu)特征. 如圖1所示.

【問題6】是否存在截面面積最大的三角形？如果存在，這樣的三角形是什么形狀？

【追問4】假定正方體棱長為2，截面面積最大的三角形面積是多少？

設計意圖 如圖2和圖3，通過對三角形截面面積和截面圖形的大小進行探究，加強學生對正方體截面形狀、大小、位置關系特征的理解，初步了解如何通過運算求解定量描述位置關系.

【問題7】如果截面是四邊形，可以截出幾類不同的四邊形？為什么？

【追問5】你能作出相應形狀的示意圖嗎？

【任務3】學習小組轉(zhuǎn)動玻璃缸，并畫出示意圖，借助幾何畫板分享展示成果. 如圖4所示.

【追問6】還能截出哪些多邊形？為什么？

設計意圖 通過三角形截面類比四邊形截面的探究，培養(yǎng)學生的合作探究能力、直觀想象數(shù)學素養(yǎng)、轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學思想.

【問題8】如果截面是五邊形，這些五邊形的幾何特征有哪些？

【追問7】是否存在正五邊形截面？為什么？

【任務4】學習小組轉(zhuǎn)動玻璃缸，記錄實驗結(jié)果并拍照上傳平板設備，如圖5所示. 畫出示意圖，如圖6所示. 思考：是否存在正五邊形截面，為什么？

設計意圖 讓學生利用正方體玻璃缸進行轉(zhuǎn)動活動和利用示意圖進行討論探究，訓練學生發(fā)現(xiàn)問題、作圖表達、推理論證等能力.

【問題9】截面的形狀可以是六邊形嗎？

【追問8】是否存在正六邊形截面？為什么？

【任務5】轉(zhuǎn)動玻璃缸，記錄實驗結(jié)果并拍照上傳平板設備，如圖7所示. 畫出示意圖，如圖8所示. 思考：是否存在正六邊形截面，為什么？

【追問9】學習小組轉(zhuǎn)動玻璃缸，觀察截面形狀，存在超過六邊形的截面嗎？為什么？

設計意圖 類似尋找四邊形、五邊形截面的實驗操作，類比發(fā)現(xiàn)截面形狀可以是六邊形.學習小組轉(zhuǎn)動玻璃缸，引導學生觀察實驗過程，提出可能存在正六邊形的猜想，通過畫示意圖進行驗證、推理分析并給予證明.進一步觀察，引導學生聚焦棱與截面交點的位置，由于任何截面至少與三個面相交，至多與六個面相交，所以不可能存在超過六邊形的截面. 學生完整經(jīng)歷數(shù)學探究活動過程，在實驗探究、推理論證中提升分析問題、解決問題的能力.

【問題10】學習小組轉(zhuǎn)動玻璃缸，并畫出示意圖，記錄實驗結(jié)果并拍照上傳平板設備，思考：是否存在直角梯形，為什么？

設計意圖 設計以上問題鏈，學生經(jīng)歷觀察、探究、交流、試驗、歸納、猜想、證明等過程，讓學生在實驗中，觀察歸納截面的圖形特征，分享展示證明方法，體驗轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學思想.

4. 構(gòu)建數(shù)學

【問題11】觀察正方體的棱與截面的交點，分析交點的位置與截面形狀的聯(lián)系.指出正方體截面有三角形、正方形、矩形、梯形、五邊形、六邊形等六種情況. 如圖9所示.

【任務6】回顧一下，我們是以怎樣的流程和步驟來探究正方體的三角形截面的？

設計意圖 學生經(jīng)歷“事實—發(fā)現(xiàn)—猜想—論證”過程，分類找出所有可能的截面，積累從直觀到抽象的探究活動體驗，增強正方體模型意識. 理解聚焦棱與截面交點的位置是確定正方體的截面形狀的關鍵，培養(yǎng)學生主動探究的科學精神和嚴肅認真的學習態(tài)度.

5. 學以致用

【問題12】正方體的所有截面中哪個截面面積最大？

設計意圖 設計探究性和開放性問題，激發(fā)學生的探究興趣，有利于培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分類討論、作圖表達、推理論證等能力.在具體情境中，引導學生體驗知識探究過程，領悟數(shù)學學習方法，感受獲得成功的愉悅.

6. 課堂總結(jié)

【問題13】請梳理與本節(jié)課相關聯(lián)的必備知識.

【追問10】請梳理數(shù)學探究的一般過程，說一說本節(jié)課涉及的數(shù)學思想方法.

【追問11】談一談本節(jié)課涉及的數(shù)學核心素養(yǎng).

7. 課后作業(yè)單

若正方體ABCD-ABCD的棱長為1，P是棱BC的中點，Q為棱CC上的動點，當點Q與點C重合時，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的圖形為_____，其面積為_____.