對一道極值點偏移的函數與導數問題的探究

朱建霞

[摘 ?要] 函數與導數問題在高考中常作為壓軸題出現，問題解析對學生的能力有著較高的要求，思路構建要注意結合圖象，分步轉化. 文章以一道極值點偏移問題為例，開展思路突破，反思解題過程，總結歸納方法，提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 極值點;偏移;函數;不等式;總結

2021年全國新高考I卷函數與導數壓軸題，考查的是極值點偏移的相關知識，問題的解析方法和思路構建過程有著一定的參考價值，下面深入探究.

問題呈現，突破評析

1. 問題呈現

考題：（2021年全國新高考I卷第22題）已知函數f（x）=x（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調性;

（2）設a，b為兩個不相等的正數，且blna-alnb=a-b，證明：2<+<e.

2. 思路突破

本題為函數與導數問題，第（1）問探究的是函數的單調性，可借助對應的導函數的正負來確定. 第（2）問是不等式證明問題，在函數背景下可以構造新函數，將不等式問題轉化為函數最值問題，利用函數的性質來突破. 下面具體探究.

（1）由函數f（x）的解析式可知，其定義域為（0，+∞），對應的導函數為f′（x）=1-lnx-1=-lnx. 分析可知，當x∈（0，1）時，f′（x）>0;當x∈（1，+∞）時，f′（x）<0. 可得f（x）在定義域內的單調性為：在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減.

（2）a和b為兩個不相等的正數，因為blna-alnb=a-b，變形可得b（lna+1）=a（lnb+1），即=，結合f（x）的解析式分析可得f

=f

.

結合第（1）問可知，f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，且f（1）=1>0，故f（x）在（1，+∞）內有唯一的零點e，故可繪制如圖1所示的函數圖象. 設=x，=x，0<x<1，x>1. 當x∈（e，+∞）時，f（x）=x（1-lnx）<0，所以可推知1<x<e.

對于連續不等式2<+<e，可將其拆分為兩部分求證：第一部分，2<+，即x+x>2;第二部分，+<e，即x+x<e. 采用的是分段證明的方法，具體如下.

第一步，證明x+x>2.

若x≥2，則x+x>2必然成立.

若x<2，則須證明x>2-x，而0<2-x<1，即證明f（x）>f（2-x），進一步轉化為證明f（x）>f（2-x），其中1<x<2. 可設g（x）=f（x）-f（2-x）（1<x<2），導函數g′（x）=f′（x）+f′（2-x）=-ln[x（2-x）]. 因為1<x<2，故0<x（2-x）<1，所以-lnx（2-x）>0，即g′（x）>0，所以g（x）在區間（1，2）上單調遞增，所以g（x）>g（1）=0，所以f（x）>f（2-x），所以f（x）>f（2-x）成立，即x+x>2成立.

綜上可知，x+x>2成立.

第二步，證明x+x<e.

可設x=tx，則t>1，由x（1-lnx）=x（1-lnx），整理可得1-lnx=t（1-lnt-lnx），所以lnx=.

要證明x+x<e，須證明ln（t+1）+lnx<1，進一步整理可知，只要證明（t-1）ln（t+1）-tlnt<0即可. 可令s（t）=（t-1）ln（t+1）-tlnt（t>1），其導函數為s′（t）=ln

1+

-.

先證明不等式ln（x+1）≤x. 設u（x）=ln（x+1）-x，其導函數為u′（x）=-1=. 分析可知，當-1<x<0時，u′（x）>0;當x>0時，u′（x）<0. 所以u（x）在區間（-1，0）上單調遞增，在區間（0，+∞）上單調遞減. 所以x=0時函數u（x）取得最大值，且u（x）=u（0）=0，故ln（x+1）≤x成立.

參考上述不等式，可得當t>1時，ln

1+

≤<，所以s′（t）<0，即s（t）在區間（1，+∞）上單調遞減，故s（t）<s（1）=0，即（t-1）ln（t+1）-tlnt<0，所以x+x<e成立.

綜上所述，2<+<e成立.

3. 問題評析

上述第（2）問為核心之問，證明連續不等式成立，但由于問題以函數為背景，故思路構建須充分聯系原函數，調用函數性質. 上述證明過程較復雜，但思路構建的邏輯嚴密，具有一定的連貫性. 總體來看，解析過程可分為以下四個階段：

第一階段，處理含參等式條件，構建與原函數f（x）的關系;

第二階段，原函數的極值點發生了偏移，繪制草圖以輔助后續分析;

第三階段，設定變量范圍，轉化不等式問題;

第四階段，分段連續不等式，構造新函數，利用函數性質加以證明.

上述第（2）問證明x+x<e時涉及了新函數構造、含參不等式證明、函數性質研究等多個過程，相對煩瑣，實際上可直接利用函數性質來證明，具體如下.

分析可知，f（x）在點（e，0）上的切線為φ（x）=e-x. 可令F（x）=f（x）-φ（x）=2x-xlnx-e，其中x∈（0，e），對應導函數為F′（x）=1-lnx>0，所以函數F（x）在定義域上單調遞增，故F（x）<F（e）=0，所以x∈（0，e）時，f（x）<φ（x）. 可令t=f（x）=f（x），則t=f（x）<φ（x）=e-x?t+x<e. 又知t=f（x）=x（1-lnx） （x∈（0，1）），所以t=x（1-lnx）>x，即x+x<t+x<e，得證.

思考總結，關聯探究

上述考題為函數與導數問題，其中原函數出現了極值點偏移，（1，f（1））是原函數的極值點，但函數f（x）在極值點兩側的變化快慢不同，在左側單調遞增較快，在右側單調遞減較慢，即函數的極值點向左側發生了偏移. 下面總結與函數極值點偏移相關的知識方法，并舉例探究.

1. 函數極值點偏移的判斷方法

關于函數極值點偏移的情況，可通過方程f（x）=0的兩個根x和x來判定，當=x（x為函數極值點，下同）時，函數的極值點沒有發生偏移;≠x時，函數的極值點發生了偏移. 同時函數極值點偏移與曲線開口方向沒有關系. 以函數曲線開口向下為例，當x<時，極值點向左偏移，如圖2所示;當x>時，極值點向右偏移，如圖3所示. 顯然考題原函數f（x）屬于極值點向左偏移的情形.

2. 函數極值點偏移的解題策略

上述在證明考題第（2）問的極值點偏移背景下的不等式問題時，結合函數的單調性，將不等式問題轉化為與原函數值域相關的不等式問題，對于其中的復合情形，采用了構造函數的方法. 總之，構造函數、分析函數性質是此類問題的核心解法，下面具體概括以類問題的解答策略.

（1）構造函數，若x為函數的極值點，則可以構造對稱函數F（x）=f（x+x）-f（x-x），根據F（x）的正負可判斷極值點偏移的情況.

（2）轉化問題，對于與極值點偏移相關的不等式證明問題，可將不等式問題轉化為與原函數相關的函數值域問題，也可以引入新變量，轉化為與新變量相關的簡單的不等式問題.

（3）消參減元，可根據方程根x和x之間的關系來轉化所求問題，減少變量個數，構造函數，利用函數性質解題，該方法適用于不等式、極值、最值等問題.

3.函數極值點偏移問題關聯探究

問題：已知函數f（x）=ex-2x-1.

（1）求f（x）的單調區間;

（2）若存在x<ln2<x，使得f（x）=f（x），證明：x+x<2ln2.

解析 （1）求函數f（x）的導函數，可得f′（x）=ex-2，定義域為（-∞，+∞），令f′（x）=0，可得x=ln2.

分析可知，當x∈（-∞，ln2）時，f′（x）<0，故f（x）在區間（-∞，ln2）上單調遞減;當x∈（ln2，+∞）時，f′（x）>0，故f（x）在區間（ln2，+∞）上單調遞增.

綜上可知，函數f（x）的單調遞減區間為（-∞，ln2），單調遞增區間為（ln2，+∞）.

（2）很容易看出函數f（x）發生了極值點偏移，當x>ln2時，2ln2-x<ln2，f（2ln2-x）=+2x-4ln2-1. 令h（x）=f（x）-f（2ln2-x）=ex--4x+4ln2（x>ln2），其導函數為h′（x）=ex+-4>0，所以函數h（x）在區間（ln2，+∞）上單調遞增. 又h（ln2）=0，所以當x>ln2時，h（x）>h（2）=0，即f（x）>f（2ln2-x）. 因為x>ln2，所以f（x）>f（2ln2-x）. 而f（x）=f（x），所以f（x）>f（2ln2-x）. 由x>ln2可知2ln2-x<ln2，x<ln2，由第（1）問可知原函數f（x）在（-∞，ln2）上單調遞減，所以x<2ln2-x，即x+x<2ln2，得證.

評析 上述函數f（x）顯然發生了極值點偏移，第（2）問證明不等式時先確定了x關于x=ln2的對稱點，然后基于不等式的性質構造了新函數，最后利用函數性質推導出了不等關系. 其中判斷極值點偏移情況是此類問題的解答前提，構造新函數轉化問題是解答關鍵，而研究函數性質是破題核心.

解后反思，教學建議

上述對一道極值點偏移的函數與導數問題進行了思路突破，并總結了方法，開展了關聯探究. 其中函數、導數、單調性、不等式等相關知識是考查核心，問題解答需要深刻理解基礎知識，綜合運用求解方法. 通過深入反思，下面提出幾點建議.

1. 立足基礎，探究知識

高考中的導數與函數壓軸題常以函數、導數與不等式的關聯綜合作為主線，全面考查學生的核心能力，而問題解答需要立足數學基礎知識，故探究函數、導數、不等式的基礎知識十分關鍵. 基礎知識的探究需要理解知識內涵，總結定理公式，包括不同函數的定義、單調性、值域，以及單調性的判斷方法、值域的求解方法等. 解題探究中，筆者建議引導學生關注考點，回歸教材基礎，思考需要的定義公式. 對于其中的復合型問題，可先拆解問題，再探究知識考點.

2. 關聯轉化，構建思路

與極值點偏移相關的函數與導數問題的解析難度較大，問題探究需要把握函數的性質特征，靈活運用解題策略來轉化分析. 從上述解題過程來看，需要分三步進行：第一步，判斷函數極值點偏移的情況，可繪制草圖;第二步，建立問題與函數的關系，初步處理條件，轉化問題;第三步，構造新函數，利用函數性質解析問題. 上述“三步法”是此類問題思路構建的常規方法，教學中教師要引導學生明晰構建過程的目的指向，掌握問題的轉化方法以及函數的構造技巧.

3. 總結歸納，提升素養

綜合型問題的知識考點、解題方法較為多樣，針對不同類型的問題，其解法技巧、構建思路也不同，對其加以總結和反思歸納是十分必要的. 以上述極值點偏移的函數與導數問題為例，需要理解極值點偏移的含義、判斷方法、常見類型，以及問題破解的策略. 同時探索解題策略中隱含的數學思想，引導學生掌握其中的思想內涵，如數形結合思想、方程思想、轉化思想、構造思想等. 學生應基于數學思想反思思路構建，從而深刻理解解題策略，提升數學素養.

寫在最后

真題的知識考點指明了高考考向，其解題方法具有極高的學習價值，深入研究可提高解題能力，拓展思維. 因此在教學中，要立足考題開展解題探究，總結方法策略. 上述探究與極值點偏移相關的函數與導數問題的難度較高，教學時要注重學生的思維引導，培養學生分析問題、解決問題的能力，同時注重方法拓展，提升學生的學科思維品質.