靈活應用教材 優化數學教學

胥婷

[摘 ?要] 把握教材編寫意圖，圍繞教材組織教學活動，已然成為廣大教育工作者的共識. 但教材所呈現的內容是平面的、固化的，這與多維的、靈動的教學活動形成了鮮明的對比. 文章從幾個教學實例出發，認為靈活應用教材，優化數學教學可從以下幾點出發：拓展背景，體驗知識形成過程;制造沖突，激發學生的創造力;改編教材，凸顯知識核心價值.

[關鍵詞] 教材;應用;知識;認知;優化

新課標提出，高中數學課程教學應以多種形式的活動，引發學生對數學知識的體驗與發現，開發學生的創新意識. 教材作為教學活動實施的標準與載體，是引發學生自主學習、合作探究的“資源庫”. 鑒于此，教師應充分挖掘教材潛在的教學價值，將靜態教材激活成動態資源，引發學生有效探究，體驗數學知識發現與再創造過程.

拓展背景，體驗知識形成過程

觀察發現，教材引出概念、定義、法則時，一般不會呈現其形成過程與產生背景，即使有，也比較簡單，不會將其形成的全過程暴露出來，甚至有些關于概念的邏輯結構與思想方法也未能盡詳. 當然，這并非編者的疏忽，而是每個概念、定理、法則的發現與證明都經歷了一個漫長的歷史過程，不便于教材呈現.

因此，作為教師，應在研究學生與教材的基礎上，選擇合適的方法，將復雜的問題簡單化處理，化抽象為直觀，讓知識變得更具親和力;應根據學情與教學內容，對教材加以拓展，讓學生在課堂中感知知識的形成與發展過程，為建構完整的認知體系奠定基礎[1].

案例1 “零點存在定理”的教學

探究1：函數f（x）=x2+2x-1存在零點嗎？若存在，是多少？

師：在數學發展歷程中，大家都非常希望能用簡單的方法求解高次方程，就像求解低次方程一樣. 經過長期不懈的努力，在1824年，挪威一位數學家N.H.Abel證明出5次以上的方程沒有根式解. 今天，我們是否有其他辦法來判定一個函數有沒有零點呢？

生1：從等價關系來看，借助函數圖象的性質，即可知道函數是否存在零點.

探究2：如圖1所示，這是某區域0～12時的氣溫變化圖，若氣溫呈連續變化趨勢，你們能否用兩種曲線將本圖補充成完整的函數圖象？在此時間段內，有沒有某一刻的溫度是0 ℃？理由是什么？

教師設計以上兩個探究活動，目的是啟發學生思維，讓學生大膽猜想與嘗試. 隨著多種方法的呈現，課堂探究熱情達到了高潮，呈現出了意料之外的精彩：學生探究出了“零點是否存在”這個問題的結論——“區間內不但存在單一零點的函數圖象，也存在多個零點的函數圖象”. 筆者將典型的結論一一投影到電子白板上，供學生參考，如圖2、圖3所示.

探究3：若函數y=f（x）在區間[a，b]上存在f（a）f（b）<0，問該函數在（a，b）內是否一定存在零點？

探究活動中，學生提出：函數f（x）=于[-1，1]上，存在f（-1）·f（1）<0，但是f（x）=在（-1，1）內并不存在零點.

探究4：函數y=f（x）滿足怎樣的條件時，在區間（a，b）內存在零點？

隨著以上探究活動的逐個完成，學生的思維也隨著問題的深入深化，零點存在定理自然而然地暴露了出來. 此過程中，教師并沒有直接將定理展現給學生，而是讓學生通過一個個探究活動自主獲得. 環環相扣的探究活動與循序漸進的引導，使得學生經歷了一個由“形”到“數”的思維轉化過程. 因此，充分挖掘教材中的概念、定理、法則等的形成過程，能讓學生在自主探索與合作探究中體悟到數學思想方法，促進學生思維能力的發展，以及知識體系的建構.

制造沖突，激發學生的創造力

教學設計時，如何二次開發教材，從一個新的角度呈現教材的表達，是值得教師思考的問題. 將教材原封不動地呈現給學生，帶給學生的只是被動接受，而換一種呈現手法，將問題的本質通過認知沖突的制造來呈現，讓學生在真實的問題面前感知問題的本質，為創造力的形成奠定基礎[2].

制造認知沖突的方法并不復雜，如將問題的程序稍加改動，讓學生直面問題，激發學生產生“該怎么辦”的想法. 疑問一旦產生，自然就會進入探索與探究的階段.

案例2 “方程的根與函數的零點”的教學

師：大家思考一下，你們能解出方程x2-2x-3=0①的解嗎？

生2：可以，此方程的兩個根分別為-1和3.

師：很好，你們能解出方程x2-2x-2=0②的解嗎？

生3：可以，借助求根公式，可獲得方程有兩個根，分別為1+和1-.

師：不錯！那你們覺得方程lnx+2x-6=0③有解嗎？（學生搖頭）

師：方程③中的未知數有對數的真數，與我們之前接觸過的多項式有著較大差異，方程③與方程①和方程②存在著質的區別，目前我們還沒有學過什么公式用來求解方程③，對此，你們有什么看法呢？

生4：回過頭來觀察前面兩個可以求解的方程，它們存在的共同點是x為變量. 例如方程①，若將其左邊理解為函數y=x2-2x-3，則此方程的根就是y值等于0時，自變量x的值.

師：很好！把函數的零點與方程的根聯系到一起進行思考，是一個新的思路，值得贊揚. 因此，借助函數的性質來探索方程的根是一件便捷的事情. 一般情況下，我們常用什么手段來研究函數性質的呢？

生5：常用的是觀察函數圖象，從直觀中獲得相關性質.

師：那我們是否可以借助函數圖象來揭示方程根的情況呢？

生6：如圖4所示，觀察函數y=x2-2x-3的圖象可以發現，其與x軸相交處的值就是函數值為0時自變量x的值（方程①的根），分別為3和-1.

師：不錯，下面請大家作出方程②所對應函數的圖象，并借助圖象來揭露方程的根.

（學生自主畫出圖5）

師：觀察圖5，可以看出函數y=x2-2x-2的圖象與x軸的交點橫坐標的具體數值嗎？

生7：從圖象大約能看出根的近似值，但精確值無法確定. 當確定了方程的近似根后，則可明確方程的根所在區間，通過區間長度無限縮短的方法，即可無限逼近根的精確值.

師：這是一個不錯的方法，被稱為“二分法”，我們放在下一節課重點研究，大家課后可適當地加以了解.

綜上發現，只要方程擁有實數根，即可從其對應函數的圖象上獲得根的大概區間，且圖象與x軸的交點具有重要意義，因此給它下了一個定義：針對函數y=f（x），將滿足f（x）=0的實數x稱為該函數的零點.

師：方程③的圖象應該是什么樣的呢？

生8：好像無法直接作出y=lnx+2x-6的圖象.

師：我們可以把方程轉化為lnx= -2x+6，分別作出y=lnx，y=-2x+6的圖象，如圖6所示. 這樣在y=lnx，y=-2x+6的圖象中，交點的橫坐標即我們所求方程的根.

于學生而言，方程③的呈現，成功地激起了他們的認知沖突. 顯然，該方程與前面兩個方程完全不一樣，而且從原有的認知中也找不到相應的公式來求解. 為了突破這個難題，學生自然會在無所適從的時候加強思考力度，試圖從各個途徑去尋找突破口，此過程也是實現創造的過程，學生的智慧會隨著思維深入而發展. 因此，將教材作為教學載體，通過對其呈現方式的改變，給學生制造認知沖突，不僅能獲得良好的教學效果，還能有效激發學生的創造力.

改編教材，凸顯知識核心價值

知識的形成與發展一般經歷“提出問題—猜想結論—論證猜想—知識應用”四個環節. 為了從根本上凸顯知識的核心價值，在教學設計時，教師要有針對性地從這幾個環節進行思考，爭取將知識結構所蘊含的教育價值暴露在學生思維的生長點處，讓學生結合自身實際情況，靈活應對學習過程.

在教材編排時，需要考慮大部分學生的思維習慣與認知過程，結合學生的實際水平，找到更適合學生的支點，讓學生在教學中，不僅能獲得良好的知識與技能，還能對核心知識產生深刻認識[3].

案例3 “兩角和的余弦公式”的教學設計

師：如圖7所示，已知河堤背水坡的長度AB為6 m，為了預防洪澇災害的發生，相關部門決定對背水坡的坡角進行加固，由75°加固到45°. 若該工程由你來設計，預算需要多少土方量.

生9：可以過點A作BC的垂線AE，E為垂足. 因為△DEA為等腰直角三角形，所以AE=DE=6sin75°，BE=6cos75°，BD=6sin75°-6cos75°，所以S=×（6sin75°-6cos75°）6sin75°，因此需要分別求出sin75°，cos75°的值.

師：我們都知道，sin75°可由cos75°推導而來，因此我們的目標只要求出cos75°的值即可，該怎么求呢？

生10：可以將75°拆分成“30°+45°”，列式為cos75°=cos（30°+45°）.

師：這個想法確實有一定道理，將未知的數拆分成已知的數量關系來表達，是數學探索的主要方式之一. 現在的問題是cos（30°+45°）的計算方式，若將這個有特殊值的式子一般化，可怎么表達？

生11：可表達為cos（α+β），但不會解開.

師：當我們面臨一個無計可施的式子時，最常用的一種解決辦法就是代入特殊值進行運算，通過多次特殊值的試驗結論來獲得猜想，再驗證這個猜想，從而獲得明確的結論. 那么本題該從何處入手呢？

生12：我們可以嘗試賦予α特殊值，如分別取α的值為，π，π，2π，從三角函數的誘導公式出發，可得以下幾個式子：cos

+β

=-sinβ，cos（π+β）=-cosβ，cos

+β

=sinβ，cos（2π+β）=cosβ.

師：通過以上幾個特殊值的“投石問路”，并借助三角函數誘導公式得到了相應的結論，那么在建構cos（α+β）這個表達式時能看出什么？

生13：能看出cos（α+β）這個表達式的結構里，必定有sinβ和cosβ兩個元素.

師：不錯，除了能看出該表達式中必定有sinβ和cosβ兩個元素外，還能看出其他元素嗎？

生14：我覺得還有sinα和cosα兩個元素.

師：理由呢？

生14：因為在cos（α+β）中，α，β呈對等性，當β的值分別取，π，π，2π時，就能獲得生12所表述的類似結論，只是其中的α換成了β.

師：非常好！通過分析，我們可以發現表達式cos（α+β）的結構中，必定存在sinα，sinβ，cosα，cosβ等元素. 它們到底能構成什么樣的運算結構呢？現在我們一起來研究，大家先說說自己的看法.

生15：借助賦值法，將這四個元素加、乘都行不通，而且它們之間相除也行不通，由此我猜想：它的運算結構應該是部分元素相乘再相加.

師：這個說法讓我有點糊涂，有沒有哪位同學能表達得更加具體一些？

生16：我們一起來觀察cos

+β

= -sinβ這個式子，若討論的結論準確的話，那么cos

+β

的結構中必定也含有以下四個元素，分別為sinβ，sin=1，cosβ，cos=0，其中cos

+β

=-sinβ則代表著……

師：很棒！你驗證了自己的結論是正確的，也就是說完全相乘或相加所獲得的結論要么為0，要么其中一項為1，但均非-sinβ這個結論. 現在我們遇到的問題在于，根據cos

+β

= -sinβ需要研究的是sinβ，cosβ，0，1四個元素，怎么組合才可形成-sinβ呢？

生17：從常理出發，cos

+β

這個表達式應出現cosβ才對，沒有出現的理由可能是cosβ和cos（=0）相乘;同理，出現-cosβ源于sinβ和sin（=1）相乘，且取了“-”號. 若沒猜錯的話，表達式應為cos

+β

=coscosβ-sinsinβ.

生18：同理，對cos（π+β）=-cosβ進行研究，獲得表達式cos（π+β）=cosπcosβ-sinπsinβ.

師：從中你們看到了什么？

生19：將cos

+β

=coscosβ-sinsinβ，cos（π+β）=cosπcosβ-sinπsinβ一般化，可得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ.

師：能將此表達式右邊兩項中的“-”號換成“+”號嗎？

生20：若這么轉化的話，則該式為cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，此式與向量數量積有聯系.

師：非常好！你們能從這個角度來證明該式是成立的嗎？

生21：因為角的正弦和余弦均可表示圓周式的周期運動，所以這些都是從單位圓抽象而來的結論. 如圖8所示，從中不難發現P（cosα，sinα），P（cosβ，sinβ），·=

·cos（α-β）=cos（α-β），·=cosαcosβ+sinαsinβ，通過這兩個表達式，可確定cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ是成立的. 若將該式中的“β”換為“-β”，即可得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ.

縱觀此教學過程，教師并沒有遵循教科書的流程，而是鼓勵學生自主探究，并推導出相關結論. 從中不難發現，教師在教材的應用上非常靈活，都以啟發與激活學生思維為著手點，進行合理布局與設計，讓學生自主獲得核心知識，最大限度地發揮了數學教育價值.

教材作為教學的基本依據，蘊含著豐富的教學資源，作為一線教師，應學會挖掘它的隱性價值，靈活應用教材資源，通過各種教學手段，啟發學生智慧，優化數學教學，讓課堂在教材的激活應用中煥發出新的生機與活力.

參考文獻：

[1] 章建躍，陶維林. 概念教學必須體現概念的形成過程——“平面向量的概念”的教學與反思[J]. 數學通報，2010，49（01）：25-29+33.

[2] 喻平. 數學教學心理學[M]. 北京：北京師范大學出版社，2010.

[3] 林婷. 有效使用高中數學教材的幾點思考[J].數學通報，2013，52（06）：23-26.