談如何遵循知識脈絡實施有效教學

楊永福

[摘 ?要] 在數學教學中，因部分教師對教材的認識不夠充分，加之教學重于功利，致使在部分知識點的教學中顯得過于急躁，影響了學生核心素養的全面提升. 文章以學生認知為出發點，通過遞進式的教學設計引導學生知識的形成和發展，在探究中激發學生思維，培養學生的核心素養.

[關鍵詞] 認知;探究;核心素養

問題提出

“二元一次不等式（組）表示的平面區域”在教學中有著重要價值，若能將該部分內容學懂吃透更易于學生理解和掌握二元一次不等式（組）及簡單的線性規劃問題，不過在實際教學中，這部分內容并沒有引起一線教師的足夠重視，因此使得學生處理簡單線性規劃的最值問題時常常受阻. 在功利教育的影響下，為了追求速度，部分教師將“二元一次不等式（組）表示的平面區域”壓縮成一節課進行教學，缺乏深度的講解，使得學生應用這部分內容解決實際問題時顯得力不從心. 本節課的內容溝通了一元二次不等式、二元一次不等式及簡單的線性規劃等相關內容，若教學中不能很好地發揮其地位和作用，知識間的相互溝通就會產生障礙，進而影響知識的遷移. 筆者認為，教師應該重視本節課的教學，從學生的認知基礎和認知特點出發，結合問題情境和遞進式問題引導學生將本節課的內容學懂吃透，發揮好本節課承上啟下的作用.

教學實錄

1. 借助情境，激發熱情

教學情境是調節課堂氣氛、激發學習熱情的催化劑，教學中教師可以結合教學內容創設或與生活緊密聯系的，或具有一定趣味性的、懸念性的問題情境來激發學生的求知欲，促使教學效率的提升.

師：2017年4月26日是一個值得紀念的日子，你知道這天發生了什么嗎？

生1：我國首艘國產航母遼寧艦正式入水.

師：很好，這是一件值得國人驕傲的大事，是國家綜合國力上升的象征！從航母的設計到施工需要經過無數次精細計算，數學的作用可謂功不可沒. 現在請大家思考一下這個問題：在航母建造過程中需要許多巨大的高質量鋼柱，根據綜合評定選擇了甲、乙兩家具備生產能力的鋼廠進行生產，為了保證工期，兩個鋼廠每天至少需要提供40根鋼柱. 已知甲、乙鋼廠每個車間的日產量分別為5根和8根，若兩廠共能抽調最多6個車間生產該鋼柱，請問兩鋼廠各需提供幾個車間？

生2：設甲鋼廠提供x個車間，乙鋼廠提供y個車間，則根據條件可得x+y≤6，

5x+8y≥40（x，y∈N*）.

師：很好. 不等式組容易列出來，求解卻沒有那么容易，為了能夠解決這個問題，我們可以先從數對（x，y）的范圍開始研究.

設計意圖 借助問題點明本節課研究的方向，使主題的引入自然順暢. 同時結合熱點情境創設問題更易于激發學生的探究熱情，讓學生在“用數學”的過程中體驗“學以致用”的真諦.

2. 借助聯想，合理類比

在教學過程中，教師要善于調動學生參與的積極性，鼓勵學生運用已有認知去思考新問題，引導學生通過聯想、類比、探究等數學活動發現問題的本質，找到解題的突破口.

師：結合已有認知，你認為在解決二元一次不等式的平面區域問題時，我們應該先從哪里入手呢？

生3：先要知道這個平面區域表示什么.

師：很好，聯想一下二元一次等式的圖象，你知道它表示的是什么嗎？

生4：是一條直線.

師：很好，請大家在草稿紙上畫一畫，觀察一下直線會把它所在的區域分成幾部分.

生5：可以分為上、下兩部分.

生6：還有直線本身. （生6補充道）

師：說得很好，確實分成了三部分.

師：斜截式和一般式是直線方程的常用形式，今天我們先以斜截式y=kx+b為例，開啟我們的探究之旅. 如果直線l：y=8-2x，那么直線l與方程y+2x-8=0有何聯系？

生7：直線上任意一點的坐標都是方程的解，而方程的解亦是直線上點的坐標.

師：說得很好. 根據前面的分析，我們知道除了直線外，還有直線下方和上方的平面區域，那么對于直線l：y=8-2x上方的平面區域該如何表示呢？

生8：我認為上方的平面區域可以用不等式y>8-2x來表示.

師：能說一說你的理由嗎？

生8：在直線l：y=8-2x上方的平面區域內任取一點P（x，y），過點P作平行于y軸的直線交直線l于點Q（x，y），則y>y，而y=8-2x，所以y>8-2x，所以直線l：y=8-2x上方的平面區域內任意一點的坐標（x，y）都適合不等式y>8-2x. 反之，亦可驗證對于不等式y>8-2x的解，其所對應的任意一對有序實數x，y構成的點P（x，y），都在直線l：y=8-2x的上方.

師：說得非常棒，與之前所學的知識相類比，從兩個方面進行了詳細的分析和闡述，很到位. 那么如何表示直線l：y=8-2x下方的平面區域呢？

結合前面的探究過程，學生輕松地得出用不等式y<8-2x表示直線l下方的平面區域. 接下來教師讓基礎較為薄弱的學生給出理由，學生的表達能力在自主探究過程中得到了明顯的提升.

設計意圖 在教學中通過恰當的引導，讓學生先聯想直線與方程的對應關系，為后面新知的探究埋下伏筆，通過新舊知識的聯系讓學生明晰問題的本質. 從以上探究過程可以看出，在探究“不等”的問題時常常以“相等”進行界定，利用“相等”來解決“不等”的問題是常用的手段. 在此環節的探究過程中，類比思想方法的應用激發了學生的參與積極性，學生結合已有認知（二元一次方程的幾何意義）很自然地推導出了二元一次不等式的幾何意義，前者表示一條直線，而后者為平面區域. 這樣學生通過探究和交流實現了等式到不等式的拓展，不僅鞏固了已有認知，也有利于學生將來對方程的曲線與曲線的方程等相關知識點的理解. 在整個過程中，學生通過聯系、類比、總結和概括，探究能力得到了提升.

3. 借助圖形，激發靈感

面對復雜的、抽象的數學問題時，巧妙地應用圖形的直觀性往往可以激發學生的靈感，很多問題都可以迎刃而解. 為了讓學生結合自己的直觀感受總結出數學規律，在接下來的教學環節中，教師組織學生動手畫圖，結合圖形進一步理解不等式表示的平面區域.

師：如果讓你畫出不等式y<2x+3表示的平面區域，你會畫嗎？（問題給出后，很多學生躍躍欲試地想上臺展示）

生9：如圖1所示，先要畫出直線l：y=2x+3，由于不等式y<2x+3中不含“=”，因此直線l：y=2x+3可以用虛線來表示，直線l下面的斜線為不等式y<2x+3表示的平面區域.

師：請進一步說說你的想法.

生9：根據前面的探究結果我們知道了平面區域內的點與不等式的對應關系，因此可以用選點的方法進行驗證. 本題不妨取點（0，0），代入不等式得0<3，符合題意，觀察圖象可知點（0，0）正好在直線l：y=2x+3的下方，于是驗證了前面的結論.

師：借助“點”進行驗證既利于理解又易于操作，是一個不錯的方法，這也是我們理解和解決此類問題的常見方法，常將其稱為“選點法”. 對于取點，在驗證過程中大多會選取原點，當然原點不能在驗證的直線上，借助特殊點可以實現“以點帶面”的效果. 生9所畫的圖形非常清晰、準確，尤其認識到了“<”與“≤”的區別. 現在讓你畫y≥2x+3表示的平面區域，你會了嗎？

生10：先畫直線l：y=2x+3，由于不等式y≥2x+3中有“=”，因此直線l應為實線，如圖2所示. 接下來我們利用“選點法”進行驗證，因為原點O不在直線l：y=2x+3上，故可以直接取原點O（0，0）進行驗證. 根據驗證可知原點O的坐標不適合不等式y≥2x+3，因此原點O的另外一側，即直線l：y=2x+3上方的平面區域為不等式y≥2x+3表示的平面區域（含邊界直線）.

設計意圖 通過圖形能讓學生獲得直觀感受，用“選點法”可將不等式與平面區域的關系進行簡化，“以點定側”利于學生理解和記憶. 對于取點，若直線不過原點可以直接選取原點進行驗證，引導學生理解化特殊為一般的重要應用價值，有助于學生解題能力的提升.

4. 借助探究，發現規律

許多數學知識往往會呈現一定的規律，然規律一般不是顯性呈現的，需要經歷發現、探究、抽象、總結歸納等數學實踐活動. 在數學教學中，教師需要對知識進行一定的拓展和延伸，幫助學生發現數學規律，激發學習興趣，讓數學學習變得更加積極和主動.

師：在以上問題的探究中，我們發現了不等式與平面區域的關系，但是我們之前探究的直線是確定的直線，那么對于不確定的直線y=kx+b，其上方的平面區域應該用什么不等式表示？下方呢？

生11：結合前面內容，可知直線y=kx+b上方的平面區域應該用不等式y>kx+b來表示，下方的平面區域用不等式y<kx+b來表示.

生12：難道這個不需要考慮k的值嗎？

在生12的質疑中學生開始了新一輪的探究，最終發現不等式表示的平面區域與其對應直線的斜率k的正負無關系. 通過質疑與探究進一步強化了學生認知，同時為了便于學生記憶，在教師的帶領下學生總結歸納出了“上大下小”的分布規律，至此完成了對斜截式直線方程的探究.

設計意圖 引導學生繼續探究，逐漸向一般性問題轉化，從而得到了斜截式直線與對應不等式的關系. 教學中通過合作探究，學生的學習熱情被點燃，完成了斜截式直線方程的探究后，學生自然會想知道對于一般式直線方程又存在什么規律，學生的思維能力在探究中螺旋上升.

5. 借助轉化，完善認知

師：剛剛已經完成了斜截式直線y=kx+b的探究，那么對于一般式直線Ax+By+C=0（A2+B2≠0）兩側平面區域的不等式又存在怎樣的規律呢？（教師鼓勵各小組進行互助合作）

生13：我們探究后發現，若B≠0，則可以將一般式直線方程轉化為斜截式直線方程，先根據B值進行分類討論.

當B>0時，不等式Ax+By+C>0可以轉化為y>-x-，而不等式y>-x-表示直線y=-x-上方的平面區域，故當B>0時，不等式Ax+By+C>0表示直線Ax+By+C=0上方的平面區域;同理可得，當B>0時，不等式Ax+By+C<0表示直線Ax+By+C=0下方的平面區域.

當B<0時，不等式Ax+By+C>0可以轉化為y<-x-，而不等式y<-x-表示直線y=-x-下方的平面區域，故當B<0時，不等式Ax+By+C>0表示直線Ax+By+C=0下方的平面區域;同理可得，當B<0時，不等式Ax+By+C<0表示直線Ax+By+C=0上方的平面區域.

當B=0時，因為A2+B2≠0，所以A≠0.

①若A>0，不等式Ax+C>0表示直線Ax+C=0右方的平面區域;不等式Ax+C<0表示直線Ax+C=0左方的平面區域.

②若A<0，不等式Ax+C>0表示直線Ax+C=0左方的平面區域;不等式Ax+C<0表示直線Ax+C=0右方的平面區域.

師：很好，將不熟悉的問題轉化成我們熟悉的內容，問題順利地解決了. 在這里我們需要關注B的正負了，若B>0，則與我們前面討論的斜截式擁有同樣的分布規律，即“上大下小”;若B<0，則正好相反. 在學習中，我們要善于發現這些規律，這樣以后解題時可以有效地簡化過程，有利于解題效率的提升.

設計意圖 引導學生進行合作探究，通過問題的挖掘發現問題的本質和一般規律，完善學生認知體系. 同時在探究中引導學生化生為熟，化特殊為一般，有助于學生思維變通，以及分析能力和抽象概括能力提升.

6. 借助應用，鞏固強化

學生已經掌握了一般規律，也總結歸納出了口訣，為了更好地進行檢驗，在完成相應的拓展延伸后，教師還需要借助一些適當的練習進行檢測，以達到鞏固和內化的目的.

在完成以上內容后，可以給出如下習題進行鞏固訓練：

（1）不等式x+8y-10>0表示直線x+8y-10=0的______平面區域.

（2）不等式x-8y-10<0表示直線x-8y-10=0的______平面區域.

學生根據總結出的口訣，輕松得到了答案，為了引導學生應用“選點法”，還可以給出這樣一個問題：若點（-3，t）在直線x-3y+6=0的上方，求t的取值范圍.

設計意圖 通過設計不同的問題，引導學生應用不同的方法來解決，達到鞏固知識，加深理解的目的，讓學生在應用的過程中實現知識的內化.

教學反思

在教學中，教師應該更加全面地理解教材，對教學內容形成整體認識，進而通過有效溝通和滲透將新舊知識進行串聯，幫助學生完善認知體系. 要知道，很多數學知識都是前后關聯的，若教學中片面認為不是重點、考點就將其忽略，勢必會出現思維障礙，影響學生的長遠發展，因此教師應深刻領會教學內容的地位和作用，以便通過合理的開發和利用，幫助學生完善和優化認知體系.

同時，教師應意識到，課堂是一種雙向活動的場地，教學中既要進行必要的“講”，又應該學會“聽”，通過適時適當的引導來調動學生的積極性，提升教學的有效性. 另外，在新知體系的建構過程中，教師要以學生已有的經驗和知識為出發點，立足學生的學情才能讓學生真正地參與其中，通過合作交流激發學生思維，點燃學生智慧的火花.

總之，在高中數學教學中，應適時引導學生進行自主探究，多讓學生經歷一些知識形成和發展的過程，在過程中不斷總結經驗、積累方法，促進學習能力不斷提升.