優化復習策略 提高解題能力

浦麗敏

[摘 ?要] 在高三數學復習中，大多數教師會根據學生的實際學情采用不同的教學模式和教學手段來激發學生的潛能，提升學生的解題能力. 但無論教師采用何種教學手段，應用何種教學模式，都應將“雙基”的鞏固和“三維目標”的實現放在首位，教學中應通過巧妙引導和深度挖掘讓學生掌握問題的本質，以此提升解題質量，實現“減負增效”“穩步提升”的效果.

[關鍵詞] 數學復習;減負增效;穩步提升

大多數教師和學生認為高三數學復習就是“練習—考試—評講—再練習……”這樣一個周而復始、循環往復的過程，“刷題”就是高三數學復習的主旋律，但學生即使刷了很多題，其收獲仍然甚微. 原因是什么呢？多數情況下，教師會從學生身上找原因，但是客觀來說，教師自身也存在一些策略運用不當的情形，這歸結于教師對學生在復習過程中所表現出來的學習心理理解不透. 當教師認為復習就是“練習—考試—評講—再練習……”的時候，實際上就陷入了認知上的一個誤區，盡管復習以練習和考試為主要活動，但是學生在復習過程中的心理，本質上應當指向知識的理解、認知體系的建立與完善、數學概念與規律之間聯系的再探究，以及問題解決能力的形成. 這是一個高度系統的過程，也是一個需要教師在復習的過程中不斷摸索的過程. 這個過程中一方面需要教師積累經驗，另一方面需要教師從學生學習心理的角度去了解學生，形成更加智慧的認識.

站在教師的角度來看，高三復習階段更為重要的應是吃透考綱，夯實基礎，把握命題方向，引導學生及時進行反思和總結，理解并掌握數學的本質與精髓，只有這樣才能真正地實現“減負增效”. 值得一提的是，在核心素養的背景下，高三數學復習也需要關注核心素養以及數學學科核心素養的落地，要將學生的解題能力視作關鍵能力的一部分，要在組織數學復習素材的時候，能夠站在數學學科核心素養組成要素的角度，去思考這些組成要素如何落地. 如果說這個目的達到了，那么數學復習的目的也就達到了. 對于高三數學復習，筆者結合個人的教學經驗，談幾點心得體會，以期共鑒.

夯實基礎，優化認知

海市蜃樓雖美，然因沒有根基決定其只能是“曇花一現”，數學學習亦是如此，若沒有扎實的基礎，很難獲得長遠的發展，為此在高三復習的各個階段都應關注“雙基”的鞏固. 這里要防止一個認識誤區，即只談“雙基”就是落后——畢竟這是一個數十年前就已經提出的概念，在當下的課程改革的深水期，在核心素養落實的當下，只強調“雙基”似乎不夠與時俱進. 但實際上，基礎知識與基本技能永遠是數學教學的重要基礎，自然應當是高三復習的重中之重. 在高三數學復習的進程中，尤其在復習之初，一定要幫助學生夯實基礎，幫助學生優化認知. 結合當下的考試評價要求，在高三復習階段，教師要結合考綱和實際學情，精講一些重難點內容，帶領學生探究知識形成的過程，讓學生在參與的過程中建構認知體系，完善認知體系，優化認知體系. 要知道，高考數學題往往會呈現一定的綜合性，只有在扎實的基礎和完善的認知體系下，解題時才能實現知識的靈活調用和遷移.

例1 橢圓+=1的左、右焦點分別為F，F，橢圓的一條弦AB過F，若△ABF的內切圓I的周長為π，A，B兩點的縱坐標分別為y，y，則

y

-y的值為________.

題目解析 部分學生嘗試利用橢圓、直線AB和圓I的方程聯立求解，結果一頭霧水，毫無頭緒，因此解決此題需要另辟蹊徑. 由已知“△ABF的內切圓I的周長為π”，可得其半徑r=. 由橢圓的第一定義可知△ABF的周長為20，而△ABF的面積S=（BF+FA+AB）r=5. 另一方面，△ABF的面積S=3

y

-y，所以

y

-y的值為.

解后反思 回顧以上解題步驟不難發現，這道精彩紛呈的數學題由橢圓的第一定義以及公式S=（a+b+c）r等幾個簡單的知識點構成，所考查的并不是奇思妙想，而是學生對基礎知識的掌握情況. 在高三復習尤其在第一輪復習時，切勿好高騖遠，一定要把基本概念、公式、定理吃透，掌握好解題的通性通法，同時挖掘出知識點間的關鍵節點，通過對各知識點的有效拓展和延伸，將零散的知識點編織成一個巨大的知識網，這樣在應用時才能得心應手、游刃有余. 與此同時，還要進一步強化對第一輪復習的認識. 第一輪復習在重視“雙基”的基礎上，強調知識與技能的結合——這里所說的技能更多指向學生的解題技巧與能力. 這不僅應當成為教師的意識，而且應當成為學生的意識，教師的意識最終也要轉化為學生的意識，只有當學生在復習的過程中，認識到自己的認知體系與高考的解題要求之間總存在差距的時候，才有可能形成知識體系建構的動機;只有當知識體系建構動機形成的時候，學生的認知體系才有可能轉化為解題能力.

精挑細選，深挖內涵

在高三復習教學中，部分教師喜歡追求“難”和“新”，將大部分講評時間都放在“大題”上，而這些“大題”容易使一些基礎薄弱的學生產生不適，進而影響聽課效率和解題信心. 其實，在復習教學中，教師不要盲目地求“大”，可以精挑細選一些絕大部分學生都夠得著的小問題，通過“小”變化，發現其中蘊含的“大”道理，實現“小中見大”，拓展學生的數學思維，促進學生的能力提升. 這是一個很重要的教學思路，尤其在復習的過程中，這一思路更加重要. 教師有必要讓學生認識到在復習的過程中所做的題目，不是面前的攔路虎，而是提升自己解題能力的重要載體. 教師通過精挑細選，給學生呈現最好的題目——所謂的“好”就是能夠簽上學生的知識缺陷，能夠命中學生的解題能力缺陷. 要判斷出這個“好”并不容易，需要教師在研究題目的時候深挖其內涵，只有將題目的形式與實質結合在一起，才是這些題目充分發揮作用的時候.

例2 如圖2所示，設非零向量=a，=b，在平面AOB內，直線l為線段AB的垂直平分線，點P為直線l上的動點，若非零向量=p，a=3，b=2，則p·（a-b）=________.

題目解析 本題為填空題，因此可嘗試應用特殊的方法求解，如建立如圖3所示的坐標系，分別設A（0，3），B（-2，0），P（x，y），則由PA=PB可得=，化簡可得4x+6y-5=0，因此p·（a-b）=（x，y）·（2，3）=2x+3y=.

解后反思 例2是一道“小題”，可以借助特殊的方法來求解，但這個特殊的方法中是否蘊含著一般的規律呢？為了充分發揮“小題”的價值，引導學生體驗由特殊到一般的數學研究方法，在本題順利求解的基礎上，教師可以借助一些拓展問題引導學生探究解題通法，進而提升學生的解題能力.

拓展問題 條件不變，將問題“求p·（a-b）的值”改為“求證：無論點P在l上如何移動，p·（a-b）均為定值”.

變式拓展后，特殊的方法已經難以滿足“大題”的解答要求，雖然特殊的方法失效了，不過其解題思路和結論在解“大題”時依然具有較大的參考價值，有了前面問題的鋪墊，學生解“大題”時不再束手無策，這樣“由小見大”符合學生的認識水平，適合學生發展.

對于拓展問題，教師可以帶領學生沿著例2求解的軌跡進行探究：先建系，再設點A（acosα，asinα），B（bcosβ，bsinβ），P（x，y）（其中正數a，b為定值），由PA=PB建立等量關系，通過化簡轉化可得p·（a-b）=，因為正數a，b為定值，故p·（a-b）為定值.

當然，求解此題不局限于這一種解法，教師還可以引導學生利用“構建向量回路法”進行求解，這里就不再詳解闡述了. 其實很多“小題”的求解思路靈活，若在平時教學時能夠仔細地推敲、巧妙地拓展，會使“小題”變得更加豐富多彩;很多“難題”“新題”都是“簡單題”和“舊題”的變形，因此教學時要重點培養學生扎實的基本功，讓學生擁有“以不變應萬變”的能力. 另外，教學中教師不能簡單地就題論題進行講解，應重視問題的挖掘和拓展，揭示問題的本質，將一些特殊的解題方法逐步提升至通性通法，讓學生既能應用“特殊法”去解決一些“小題”，又能快速地切換“通法”解決一些“大題”，有效提升學生的解題能力.

合理安排，減負增效

高三數學復習時間有限，若想在有限的時間內做更多的事情就需要教師合理安排教學內容，充分調動學生的學習積極性，讓學生能夠精神飽滿地融入課堂教學. 在實際教學中，很多教師感覺時間緊，常想利用“多講”“多做”“多考”來提升教學效率，但講得過多、做得過多、考得過多容易造成學生思維疲勞，出現厭學情緒，影響復習效果. 在解題時，不要過多地追求“量”，應該更多地關注“質”，只有“量”沒有“質”注定是徒勞的，不僅會浪費寶貴的高三復習時間，還會增加學生的課業負擔，影響教學效率的提升. 一個有趣又讓人感到尷尬的現實是，盡管絕大多數教師都認識到了這一點，但是在實際的復習過程中，還是忍不住充分利用所有的時間，讓學生去做更多的題. 這一現實反映了教師的教學期待與教學行為之間的矛盾：教師期待的是學生的高效復習，但又給學生提供了足夠多的題，心里所想的是廣種薄收. 說到底還是教師不相信減負能夠增效. 事實上，減負增效的關鍵在于教師對學生學習進程的合理安排，這里既涉及復習內容的選擇，也涉及復習方式的優化，還涉及教師結合學生的實際學習情況，對復習過程做出動態調整. 這實際上是一個預設與生成的過程. 復習固然需要有計劃的安排，這實際上是在預設學生的復習過程;同時復習過程中又不可避免地存在著生成，教師要基于自身的教學經驗，尤其是復習經驗，根據學生在復習過程中的表現，去判斷他們在知識上有哪些欠缺，在能力上有哪些不足. 事實證明，只要做到了這些，那么就真正做到了合理安排，自然也就能夠達到減負增效的復習效果. 因此，在具體的實踐中，可以通過“多思”來提升學習質量，實現減負增效的效果.

例3 若橢圓+=1（a>b>0）上存在一點P，使PA⊥PO，其中O為原點，點A是橢圓長軸的端點，求橢圓離心率e的取值范圍.

題目解析 根據橢圓的對稱性，不妨設點P為第一象限的點. 仔細探究發現坐標的設法和PA⊥PO的表示方法不唯一，因此解題時教師可以鼓勵學生從不同角度去思考，以此發展學生的數學思維，優化解題過程.

解法1 設P（x，y），代入橢圓方程并化簡得b2x+a2y=a2b2，由A（a，0），PA⊥PO，得·=-1，兩式聯立并化簡得（a2-b2）x-a3x+a2b2=0，此方程的根除了x0=a外，還有另一個根x0=，則<a，即a2>2b2，得a2<2c2，所以離心率e的取值范圍為

，1

.

解法2 設P（acosθ，bsinθ），θ∈

0，

，由⊥可知·=0，則（acosθ，bsinθ）·（a（cosθ-1），bsinθ）=0，化簡得=>，下略.

解法3 以OA為直徑的圓為x（x-a）+y2=0，然后聯立橢圓方程，應用解法1的思路繼續求解.

解后反思 不同學生有不同的認知水平，對知識點的掌握情況也有所不同，因此教師應引導學生利用不同的方法去解題，這樣不僅能夠拓展學生的數學思維，而且通過“多解”可以讓學生全面認識問題. 借助“多解”，學生容易聯想到其他關于橢圓離心率取值范圍的問題. 有效串聯這些問題，讓學生整體認識它們，有利于學生內化和遷移知識，最終提升解題能力和解題信心.

循序漸進，穩步提升

在高三復習時，大多數教師感覺任務重，因此教學顯得過于浮躁，常常追求“大容量”“快節奏”，忽視了學生的思維發展水平，使得學生因為跟不上教師的節奏而影響到了學習信心. 其實，人的思維能力的發展具有梯度性，教師切勿盲目地追求快而忽視了思維發展的客觀規律，進而影響到教學效果. 教學中教師要充分了解學生，借助符合學生認知的梯度問題穩步提高學生的綜合能力.

例如研究“耐克函數”問題時，可以從學生熟悉的函數y=x，y=出發，讓學生逐漸探究y=x+，y=x+（a>0），y=ax+（a>0，b>0）的圖象和性質. 這樣由淺入深逐層推進，讓學生的認知不斷深入，不僅可以優化學生的意志品質，還可以培養學生良好的思維習慣，有利于學生的學習能力螺旋上升.

總之，在高三數學復習中，教師要以學生的認知為出發點，關注“基礎”，堅持“穩扎穩打，循序漸進”的理念，通過巧妙設計和恰當引導，螺旋提升學生的思維，以及綜合能力和數學素養.