關(guān)于空間向量法破解立體幾何線面角問題的探究

張健

[摘 ?要] 空間向量法是破解立體幾何線面角問題的重要方法，可按照既定流程通解問題，具有一定的程序性，思維難度低. 文章對空間向量法的構(gòu)建策略加以探究，并結(jié)合線面角的典型問題加以應(yīng)用剖析，歸納總結(jié)相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 立體幾何;線面角;空間向量法;極值條件;空間直角坐標(biāo)系

問題綜述

立體幾何線面角問題是高中數(shù)學(xué)重要問題，在高考或模考中常作為壓軸題出現(xiàn)，綜合考查學(xué)生的邏輯分析能力與空間幾何觀. 突破該問題通常有兩種方法：一是一般方法，二是空間向量法. 前者側(cè)重空間轉(zhuǎn)換，后者程序性強(qiáng)，思維難度低. 下面結(jié)合考題，具體分析和探究空間向量法破解立體幾何線面角問題的策略.

策略探究

空間向量法是解決立體幾何線面角問題的重要方法，是主要通過空間向量的構(gòu)建，利用向量分析立體幾何線面角問題的一種方法. 其求解關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建坐標(biāo)系”，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;第二，破“求坐標(biāo)系”，準(zhǔn)確求解關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo);第三，破“推導(dǎo)法向量”，即推導(dǎo)出平面的法向量;第四，破“關(guān)系式推導(dǎo)”，即利用線面角關(guān)系式求角度. 具體求解時(shí)，可以按照如下思路來構(gòu)建策略.

第一步，首先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo);

第二步，求出異面直線的空間直角坐標(biāo)系，以及平面的法向量坐標(biāo);

第三步，利用關(guān)系式進(jìn)行推導(dǎo)，以圖1所示的線面關(guān)系為例，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，與平面α所成的角為θ. 若直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ=

cos〈u，n〉

=.

考題突破

高考立體幾何線面角問題的條件多變，綜合性強(qiáng)，需要把握線面關(guān)系，根據(jù)問題特征構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，下面結(jié)合2022年的高考真題具體講解.

1. 題型1——常規(guī)條件下的線面角問題

常規(guī)條件下的線面角問題比較普通，題設(shè)條件一般，直接給定空間圖形，在條件下求解線面角問題. 只需按照空間向量法的構(gòu)建思路，建立坐標(biāo)系，推導(dǎo)向量坐標(biāo)，利用公式求解即可.

例1 （2022年全國甲卷理數(shù)第18題）在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB， AD=DC=CB=1，AB=2，DP=.

（1）證明：BD⊥PA;

（2）求PD與平面PAB所成的角的正弦值.

分析 考題有兩問，第（1）問為常規(guī)的兩線垂直的證明，通過空間轉(zhuǎn)化，在平面內(nèi)證明兩線垂直為關(guān)鍵;第（2）問為線面角問題，可構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法證明.

詳解 在四邊形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，如圖3所示. 因?yàn)镃D∥AB， AD=DC=CB=1，AB=2，所以四邊形ABCD為等腰梯形，則AE=BF=，故DE=，BD==，可得AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD. 因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PD⊥BD. 又PD∩AD=D，所以BD⊥平面PAD. 又PA?平面PAD，所以BD⊥PA.

（2）以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖4所示，則A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，），則=（-1，0，），=（0，-，），=（0，0，）. 設(shè)平面PAB的法向量為n=（x，y，z），則n

·=-x+

z=0，

n

·

=-

y+z=0，取n=（，1，1），可得cos〈n，〉==，所以PD與平面PAB所成的角的正弦值為.

評析 上述題目為傳統(tǒng)的線面角問題，沒有增設(shè)特殊條件，按照空間向量法的步驟求解即可. 解題的關(guān)鍵是注意串聯(lián)上一問，把握“AD⊥BD”這一條件構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系.

2.題型2——極值條件下的線面角問題

該類問題求解時(shí)需要分兩步進(jìn)行：第一步，討論極值條件，確定極值情形;第二步，在極值情形下構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解線面角問題.

例2 （2022年全國乙卷理數(shù)第18題）如圖5所示，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC，E為AC的中點(diǎn).

（1）證明：平面BED⊥平面ACD;

（2）設(shè)AB=BD=2，∠ACB=60°，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求CF與平面ABD所成的角的正弦值.

分析 本題有兩問，第（1）問根據(jù)面面垂直的判定定理探索條件即可求解;第（2）問為面積極值條件下的線面角問題，需要構(gòu)建面積模型，確定極值情形，然后利用空間向量法求解.

詳解 （1）已知AD⊥CD，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，則DE⊥AC. 由條件可證△ABD≌△CBD，則AB=BC. 因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC. 又BE∩DE=E，所以AC⊥平面BED. 因?yàn)锳C?平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.

（2）連接EF，由（1）問可知AC⊥平面BED，因?yàn)镋F?平面BED，所以AC⊥EF，所以△AFC的面積可以表示為S=AC·EF. 分析可知，當(dāng)EF⊥BD時(shí)，EF取得最小值，此時(shí)△AFC的面積最小.

因?yàn)椤鰽BD≌△CBD，所以CB=AB=2. 又∠ACB=60°，所以△ABC為等邊三角形. 因?yàn)辄c(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，所以AE=EC=1，BE=. 結(jié)合AD⊥CD可得DE=AC=1. 在△DEB中，由于DE2+BE2=BD2，所以BE⊥DE.

以點(diǎn)E為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，建立如圖6所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz. 結(jié)合題設(shè)條件，可知E（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，0，0），D（0，0，1），可得=（-1，，0），=（-1，0，1），=（0，，-1），=（0，0，1），=（-1，0，0）.

設(shè)=λ（0≤λ≤1），則=+=+λ=（0，0，1）+λ（0，，-1）=（0，λ，1-λ）. 因?yàn)镋F⊥DB，所以=（0，λ，1-λ）·（0，，-1）=4λ-1=0，解得λ=，所以=-=

1，，

. 設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為n=（x，y，z），則n

·=0，

n

·=0，即

-x+y=0，

-x+z=0，取y=1，則n=（，1，）. 設(shè)CF與平面ABD所成的角為θ，得sinθ===，所以CF與平面ABD所成的角的正弦值為.

評析 本題第（2）問是三角形面積最值情形下的線面角問題. 整體上，解析過程共有三個(gè)階段：第一階段，構(gòu)建面積模型，探尋最值情形;第二階段，進(jìn)行幾何分析，確定關(guān)鍵直角;第三階段，利用空間向量法求解線面角問題. 解析過程充分進(jìn)行了空間轉(zhuǎn)化，利用平面幾何探究直角關(guān)系，構(gòu)建空間向量解析線面關(guān)系.

3. 題型3——開放條件下的線面角問題

開放條件下的線面角問題在高考中十分常見，該類問題的思維發(fā)散性強(qiáng)，給學(xué)生留足了思考空間. 通常有兩種命題形式，一是設(shè)定多組條件，任選一組條件求解線面角問題;二是未設(shè)定限制條件，要求自行補(bǔ)充再進(jìn)行探究. 解析問題時(shí)，需要理解條件，把握圖形特征，根據(jù)自我認(rèn)識來確定條件，逐步探究.

例3 （2022年高考北京卷第17題）如圖7所示，在三棱柱ABC-ABC中，側(cè)面BCCB為正方形，平面BCCB⊥平面ABBA，AB=BC=2，M，N分別為AB，AC的中點(diǎn).

（1）求證：MN∥平面BCCB;

（2）再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成的角的正弦值.

條件①：AB⊥MN;

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

分析 本題第（2）問為開放條件下的線面角問題，其特殊之處在于給定了兩個(gè)條件，任選一個(gè)作為線面角問題求解的條件. 解析問題需要解讀圖形，根據(jù)自我認(rèn)識選用條件，再利用空間向量法求解.

詳解 （1）取AB的中點(diǎn)為K，連接MK，NK，由三棱柱ABC-ABC可得四邊形ABBA為平行四邊形，而BM=MA，BK=KA，則MK∥BB. 又MK?平面CBBC，BB?平面CBBC，故MK∥平面CBBC. 因?yàn)镃N=NA，BK=KA，則NK∥BC，同理可得NK∥平面CBBC. 因?yàn)镹K∩MK=K，NK，MK?平面MKN，所以平面MKN∥平面CBBC，而MN?平面MKN，所以MN∥平面CBBC.

（2）因?yàn)閭?cè)面CBBC為正方形，所以CB⊥BB，而CB?平面CBBC，平面CBBC⊥平面ABBA，平面CBBC∩平面ABBA=BB，故CB⊥平面ABBA. 因?yàn)镹K∥BC，故NK⊥平面ABBA. 因?yàn)锳B?平面ABBA，故NK⊥AB. 下面分別選條件①和條件②來求解線面角問題.

若選條件①，則AB⊥MN，而NK⊥AB，NK∩MN=N，故AB⊥平面MNK，而MK?平面MNK，故AB⊥MK，所以AB⊥BB，結(jié)合CB⊥BB，CB∩AB=B，可得BB⊥平面ABC.

建立如圖8所示以點(diǎn)B為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，可得B（0，0，0），A（0，2，0），N（1，1，0），M（0，1，2），則=（0，2，0），=（1，1，0），=（0，1，2）.

設(shè)平面BNM的法向量為n=（x，y，z），則n

·=0，

n

·=0，即x+y=0，

y+2z=0，取z=-1，則n=（-2，2，-1）. 設(shè)直線AB與平面BNM所成的角為θ，則sinθ=

cos〈n·〉

==.

若選條件②，因?yàn)镹K∥BC，所以NK⊥平面ABBA，而KM?平面MKN，所以NK⊥KM. 因?yàn)锽M=BK=1，NK=1，所以BM=NK. 又BB=MK=2，MB=MN，所以△BBM≌△MKN，所以∠BBM=∠MKN=90°，故AB⊥BB. 又CB⊥BB，CB∩AB=B，所以BB⊥平面ABC. 建立如圖8所示以點(diǎn)B為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，后面求解與上述選取條件①的思路過程一致，不再贅述.

評析 從上述解析過程來看，解決本題共有兩個(gè)階段：第一階段，選定條件，分析幾何要素的空間關(guān)系;第二階段，構(gòu)建空間向量，利用空間向量法逐步突破問題.

教學(xué)反思

1. 深刻理解方法，探索構(gòu)建思路

空間向量法是探究立體幾何線面角問題的重要方法，探究應(yīng)用需要分兩步進(jìn)行：第一步，深刻理解該方法的原理，從向量視角解讀方法，理解線面角轉(zhuǎn)化處理的公式;第二步，探索空間向量法破解線面角問題的思路，即“建立坐標(biāo)系→推導(dǎo)向量→公式推導(dǎo)”. 教學(xué)中要立足向量定理推導(dǎo)空間向量法，結(jié)合模型引導(dǎo)學(xué)生探索線面角與求解公式之間的關(guān)系，結(jié)合實(shí)例指導(dǎo)學(xué)生掌握該方法的構(gòu)建思路.

2. 注重問題總結(jié)，歸類典例探究

本文結(jié)合三道高考真題講解了空間向量法的應(yīng)用，總結(jié)歸納了破解線面角問題的策略. 這三道考題具有一定的代表性，是線面角問題常見的命題方式，包括常規(guī)條件下的線面角問題、極值條件下的線面角問題、開放條件下的線面角問題等. 教學(xué)探究中要注重問題的總結(jié)歸納，可從三個(gè)視角進(jìn)行，一是題設(shè)條件的構(gòu)建特性，二是問題模型的構(gòu)建特征，三是突破思路的構(gòu)建特點(diǎn). 應(yīng)用探究時(shí)要注意選用具有代表性的考題，必要時(shí)可對問題進(jìn)行變式處理，讓學(xué)生充分感悟考題、理解方法.

3. 合理空間轉(zhuǎn)換，培養(yǎng)空間幾何觀

在利用空間向量法破解線面角問題的過程中，需要關(guān)注空間模型的幾何特性，包括線面關(guān)系、線線關(guān)系、點(diǎn)線關(guān)系等. 空間轉(zhuǎn)換是探究幾何關(guān)系的關(guān)鍵，從平面視角可確定兩線的特殊關(guān)系，為空間關(guān)系的探索做好基礎(chǔ)，如線面垂直關(guān)系的判定定理. 因此，教學(xué)中要注意空間轉(zhuǎn)換方法的指導(dǎo)，讓學(xué)生掌握立體幾何問題的分析方法，構(gòu)建“平面特性?空間關(guān)系”的聯(lián)系. 教學(xué)中合理滲透空間幾何觀，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象與空間推理等核心素養(yǎng).